1、2016-2017 学年吉林省松原市油田高中高三（上）第一次段考数学试卷 （文科）一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1设集合 U=1，2，3，4，5，M=1，2，5，N= 2，3，5，则 M（ UN）=（ ）A1 B1，2，3，5 C1，2，4，5 D1，2，3，4，52函数 f（x）= + 的定义域为（ ）A （3， 0 B （ 3，1 C （ ，3）（3，0 D （，3）（3，13设命题 p：nN，n 22 n，则p 为（ ）AnN，n 22 nBnN，n 22 n C nN，n 22 nDnN，n 2=2n
2、4设函数 f（x）= ，则 f（f （ ） ）=（ ）A4 B2 C1 D25已知 a= ，b=log 2 ，c=log ，则（ ）Aabc Ba cb Cc ab Dcba6设 a、b 都是不等于 1 的正数，则“3 a3 b3”是“ loga3log b3”的（ ）A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件7设 f（x）=e x+x4，则函数 f（x）的零点位于区间（ ）A （1， 0） B （0，1） C （1，2） D （2，3）8已知 m，n 是两条不同直线， ， 是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）A若 ， 垂直于同一平面，则 与 平行B若 m，n 平
3、行于同一平面，则 m 与 n 平行C若 ， 不平行，则在 内不存在与 平行的直线D若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面9函数 f（x）=a |x+1|（a0，a1）的值域为1，+） ，则 f（4）与 f（1）的关系是（ ）Af（ 4）f（1） Bf（4）=f（1） Cf（4）f（1） D不能确定10若函数 f（x）=x 2+ax+ 在（ ，+）上是增函数，则 a 的取值范围是（ ）A1， 0 B 1，+ ） C0，3 D3，+ ）11函数 y=x+sinx，x，的大致图象是（ ）A B C D12设定义域为 R 的函数 f（x）= ，若关于 x 的方程 2f2（x） （2a
4、+3）f （x）+3a=0 有五个不同的实数解，则 a 的取值范围是（ ）A （0，1） B C （1，2） D 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知幂函数 f（x）的图象经过（ 9，3） ，则 f（2） f（ 1）= 14曲线 y=xlnx 在点 x=1 处的切线方程是 15设函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且对任意 xR 都有 f（x）=f（x+4） ，当 x（2，0）时，f（x）=2 x，则 f 的值为 16若点 P 是曲线 y=x2lnx 上任意一点，则点 P 到直线 y=x2 的最小距离为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应
5、写出文字说明、证明过程或演算步骤）17设命题 p：f（x）= 在区间（4，+）上是减函数；命题 q：关于 x 的不等式 x2（m+1）x+ 0 在（ ，+）上有解若（p）q 为真，求实数 m 的取值范围18已知 a 为实数，f （x）=（x 24） （xa ） （1）求导数 f（x） ；（2）若 f（1）=0，求 f（x）在 2，2上的最大值和最小值19已知函数 f（x）=ax 2+bx+1（a，bR ） ，x R（1）若函数 f（x）的最小值为 f（ 1）=0 ，求 f（x）的解析式，并写出单调区间；（2）在（1）的条件下，f（ x）x+k 在区间3，1上恒成立，试求 k 的范围20为了迎接
6、第二届国际互联网大会，组委会对报名参加服务的 1500 名志愿者进行互联网知识测试，从这 1500 名志愿者中采用随机抽样的方法抽取 15 人，所得成绩如下：57，63，65，68，72，77，78，78，79，80，83，85，88，90，95（）作出抽取的 15 人的测试成绩的茎叶图，以频率为概率，估计这 1500 志愿者中成绩不低于 90 分的人数；（）从抽取的成绩不低于 80 分的志愿者中，随机选 3 名参加某项活动，求选取的 3 人中恰有一人成绩不低于 90 分的概率21在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱 BB1底面 A1B1C1，D 为 AC 的中点，A1B1=BB1=2， A
7、1C1=BC1，A 1C1B=60（）求证：AB 1平面 BDC1；（）求多面体 A1B1C1DBA 的体积22已知函数 f（x）=ax1lnx（a R） （）讨论函数 f（x）在定义域内的极值点的个数；（）已知函数 f（x）在 x=1 处取得极值，且对 x（0 ，+） ，f（x）bx2 恒成立，求实数 b 的取值范围2016-2017 学年吉林省松原市油田高中高三（上）第一次段考数学试卷 （文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1设集合 U=1，2，3，4，5，M=1，2，5，N= 2，3，
8、5，则 M（ UN）=（ ）A1 B1，2，3，5 C1，2，4，5 D1，2，3，4，5【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据并集与补集的定义，进行计算即可【解答】解：集合 U=1，2，3，4，5，M=1，2，5，N=2，3，5， UN=1，4，M（ UN） =1，2，4，5故选：C2函数 f（x）= + 的定义域为（ ）A （3， 0 B （ 3，1 C （ ，3）（3，0 D （，3）（3，1【考点】函数的定义域及其求法【分析】从根式函数入手，根据负数不能开偶次方根及分母不为 0 求解结果，然后取交集【解答】解：根据题意： ，解得：3x 0定义域为（3，0故选：A3设命题 p：nN，
9、n 22 n，则p 为（ ）AnN，n 22 nBnN，n 22 n C nN，n 22 nDnN，n 2=2n【考点】命题的否定【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论【解答】解：命题的否定是：n N，n 22 n，故选：C4设函数 f（x）= ，则 f（f （ ） ）=（ ）A4 B2 C1 D2【考点】函数的值【分析】先求出 f（ ）=2+4 =4，从而 f（f （ ） ）=f （4） ，由此能求出结果【解答】解：函数 f（x）= ，f（ ）=2+4 =4，f（f（ ） ）=f （4）= =2故选：B5已知 a= ，b=log 2 ，c=log ，则（ ）Aabc Ba cb C
10、c ab Dcba【考点】对数的运算性质【分析】利用指数式的运算性质得到 0a1，由对数的运算性质得到 b0，c1，则答案可求【解答】解：0a= 20=1，b=log2 log 21=0，c=log =log23log 22=1，cab故选：C6设 a、b 都是不等于 1 的正数，则“3 a3 b3”是“ loga3log b3”的（ ）A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】求解 3a3 b3，得出 ab1，loga3 logb3， 或 根据对数函数的性质求解即可，再利用充分必要条件的定义判断即可【解答】解：a、b
11、 都是不等于 1 的正数，3 a3 b3，ab1，log a3log b3， ，即 0，或求解得出：ab1 或 1a b0 或 b1，0a 1根据充分必要条件定义得出：“3 a3 b3”是“log a3log b3”的充分条不必要件，故选：B7设 f（x）=e x+x4，则函数 f（x）的零点位于区间（ ）A （1， 0） B （0，1） C （1，2） D （2，3）【考点】函数的零点与方程根的关系【分析】根据连续函数 f（x）满足 f（1）0，f（2）0，由此可得函数 f（x）的零点所在的区间【解答】解：f（x）=e x+x4，f（1）0，f（2）0，故函数 f（x）的零点位于区间（ 1，
12、2）内，故选 C8已知 m，n 是两条不同直线， ， 是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）A若 ， 垂直于同一平面，则 与 平行B若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行C若 ， 不平行，则在 内不存在与 平行的直线D若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【分析】利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答【解答】解：对于 A，若 ， 垂直于同一平面，则 与 不一定平行，例如墙角的三个平面；故 A 错误；对于 B，若 m，n 平行于同一平面，则 m 与
13、n 平行相交或者异面；故 B 错误；对于 C，若 ， 不平行，则在 内存在无数条与 平行的直线；故 C 错误；对于 D，若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故 D 正确；故选 D9函数 f（x）=a |x+1|（a0，a1）的值域为1，+） ，则 f（4）与 f（1）的关系是（ ）Af（ 4）f（1） Bf（4）=f（1） Cf（4）f（1） D不能确定【考点】指数函数单调性的应用【分析】由题意可得 a1，再根据函数 f（x）=a |x+1|在（1，+）上是增函数，且它的图象关于直线x=1 对称，可得 f（4）与 f（1）的
14、大小关系【解答】解：|x+1|0，函数 f（x）=a |x+1|（a0，a1）的值域为1，+） ，a1由于函数 f（x）=a |x+1|在（1，+）上是增函数，且它的图象关于直线 x=1 对称，可得函数在（ ，1）上是减函数再由 f（1）=f（3） ，可得 f（ 4）f（1） ，故选：A10若函数 f（x）=x 2+ax+ 在（ ，+）上是增函数，则 a 的取值范围是（ ）A1， 0 B 1，+ ） C0，3 D3，+ ）【考点】利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质【分析】求出函数 f（x）的导函数，由导函数在（ ，+）大于等于 0 恒成立解答案【解答】解：由 f（x）=x 2+ax+ ，
15、得 f（x）=2x+a = ，令 g（x）=2x 3+ax21，要使函数 f（x）=x 2+ax+ 在（ ，+）是增函数，则 g（x）=2x 3+ax21 在 x（ ，+）大于等于 0 恒成立，g（x）=6x 2+2ax=2x（3x+a） ，当 a=0 时，g （x）0，g（x）在 R 上为增函数，则有 g（ ）0，解得 + 10，a3（舍） ；当 a0 时，g（x）在（0，+）上为增函数，则 g（ ） 0，解得 + 10，a3；当 a0 时，同理分析可知，满足函数 f（x）=x 2+ax+ 在（ ，+）是增函数的 a 的取值范围是 a3（舍）故选：D11函数 y=x+sinx，x，的大致图象
16、是（ ）A B C D【考点】函数的图象【分析】利用函数的奇偶性，函数的单调性，即可得到选项【解答】解：函数 y=x+sinx，x ，是奇函数，B、C 的图象不满足奇函数的定义，函数 y=x 是增函数，y=sinx 在 x，是增函数，函数 y=x+sinx，x，是增函数，D 不正确，A 正确故选：A12设定义域为 R 的函数 f（x）= ，若关于 x 的方程 2f2（x） （2a+3）f （x）+3a=0 有五个不同的实数解，则 a 的取值范围是（ ）A （0，1） B C （1，2） D 【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】作出 f（x）的图象，利用换元法结合一元二次函数的图象和性质即可
17、【解答】解：作出 f（x）的图象如图：设 t=f（x） ，则方程等价为 2t2（2a+3）t+ 3a=0，由图象可知，若关于 x 的方程 2f2（x）（2a+3）f（x）+3a=0 有五个不同的实数解，即要求对应于 f（x）等于某个常数有 3 个不同实数解，故先根据题意作出 f（x）的简图：由图可知，只有当 f（x）=a 时，它有三个根所以有：1a2 再根据 2f2（x）（2a+3）f （x）+3a=0 有两个不等实根，则判别式=（2a+3） 2423a0，解得 a ，故 1a 或 x2，故选：D二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知幂函数 f（x）的图象经过（
18、 9，3） ，则 f（2） f（ 1）= 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】根据已知条件将幂函数的解析式求出来，在将 2 和 1 代入求 f（2）f（1）的值【解答】解：因为函数为幂函数，所以设其解析式为 y=x，因为函数图象经过（9，3） ，所以 3=9=32，所以 ，所以幂函数的解析式为 ，所以 f（2） f（1）= ，故答案为 14曲线 y=xlnx 在点 x=1 处的切线方程是 xy 1=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求导函数，确定切线的斜率，求得切点坐标，进而可求切线方程【解答】解：求导函数，可得 y=lnx+1x=1 时，y =1， y=0曲线
19、y=xlnx 在点 x=1 处的切线方程是 y=x1即 xy1=0故答案为：xy 1=015设函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且对任意 xR 都有 f（x）=f（x+4） ，当 x（2，0）时，f（x）=2 x，则 f 的值为 【考点】函数奇偶性的性质；函数的周期性；函数的值【分析】根据题意，可得函数 f（x）是周期为 4 的函数，所以 f=0，f=2 1，从而得出 f 的值【解答】解：对任意 xR 都有 f（x）=f（x+4） ，函数 f（x）是周期为 4 的函数故 f，f又f（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x（ 2，0）时， f（x）=2 x，f（0）=0 ，f（1）=2 1
20、=因此 f=0 =故答案为：16若点 P 是曲线 y=x2lnx 上任意一点，则点 P 到直线 y=x2 的最小距离为 【考点】点到直线的距离公式【分析】由题意知，当曲线上过点 P 的切线和直线 y=x2 平行时，点 P 到直线 y=x2 的距离最小求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于 1，可得且点的坐标，此切点到直线 y=x2 的距离即为所求【解答】解：点 P 是曲线 y=x2lnx 上任意一点，当过点 P 的切线和直线 y=x2 平行时，点 P 到直线 y=x2 的距离最小直线 y=x2 的斜率等于 1，令 y=x2lnx 的导数 y=2x =1，x=1 ，或 x= （舍去） ，故曲线
21、y=x2lnx 上和直线 y=x2 平行的切线经过的切点坐标（1，1） ，点（1，1）到直线 y=x2 的距离等于 ，故点 P 到直线 y=x2 的最小距离为 ，故答案为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17设命题 p：f（x）= 在区间（4，+）上是减函数；命题 q：关于 x 的不等式 x2（m+1）x+ 0 在（ ，+）上有解若（p）q 为真，求实数 m 的取值范围【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假【分析】若（p）q 为真，则 p 假 q 真，进而得到答案【解答】解：若命题 p：f（x ）= 在区间（4，+）上是减函数为真命题
22、，则 m4，若命题 q：关于 x 的不等式 x2（m +1）x+ 0 在（ ，+）上有解则=（m+1） 2（m+7）0，即 m2+m60，解得：m3，或 m2，若（p）q 为真，则 p 假 q 真，即 m（4， 32，+） 18已知 a 为实数，f （x）=（x 24） （xa ） （1）求导数 f（x） ；（2）若 f（1）=0，求 f（x）在 2，2上的最大值和最小值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】 （1）f（x）=（x 24） （xa）=x 3ax24x+4a，能求出导数 f（x） ；（2）由 f（1） =3+2a4=0，得 a= 由 f（x）=3x 2x4=0，得 x1=1
23、， ，然后分别求出和 f（2） ，由此能得到 f（x）在2，2上的最大值和最小值【解答】解：（1）f（x） =（x 24） （xa）=x3ax24x+4a，f（x）=3x 22ax4（2）f（1） =3+2a4=0，a= f（x）=（x 24） （x ）由 f（x）=3x 2x4=0，得 x1=1， ， =0，= ，= ，f（x）在 2，2上的最大值为 ，最小值为 19已知函数 f（x）=ax 2+bx+1（a，bR ） ，x R（1）若函数 f（x）的最小值为 f（ 1）=0 ，求 f（x）的解析式，并写出单调区间；（2）在（1）的条件下，f（ x）x+k 在区间3，1上恒成立，试求 k 的
24、范围【考点】二次函数的性质；函数恒成立问题【分析】 （1）若函数 f（x）的最小值为 f（ 1）=0 ，则 f（1）=ab+1=0，且 =1，解得函数的解析式，进而得到函数的单调区间；（2）f（x）x+k 在区间3，1上恒成立，转化为 x2+x+1k 在区间 3，1上恒成立设 g（x）=x2+x+1，x3，1，求出函数的最值，可得答案【解答】解 （1）函数 f（ x）的最小值为 f（ 1）=0 ，f（ 1）=ab+ 1=0，且 =1，a=1，b=2f（x）=x 2+2x+1，由函数的图象是开口朝上，且以直线 x=1 为对称轴的抛物线，故单调减区间为（， 1，单调增区间为 1，+）（2）f（x）
25、x+k 在区间3，1上恒成立，转化为 x2+x+1k 在区间3， 1上恒成立设 g（x）=x 2+x+1，x 3，1，则 g（x）在3 ， 1上递减g（x） min=g（ 1）=1k1，即 k 的取值范围为（，1） 20为了迎接第二届国际互联网大会，组委会对报名参加服务的 1500 名志愿者进行互联网知识测试，从这 1500 名志愿者中采用随机抽样的方法抽取 15 人，所得成绩如下：57，63，65，68，72，77，78，78，79，80，83，85，88，90，95（）作出抽取的 15 人的测试成绩的茎叶图，以频率为概率，估计这 1500 志愿者中成绩不低于 90 分的人数；（）从抽取的成
26、绩不低于 80 分的志愿者中，随机选 3 名参加某项活动，求选取的 3 人中恰有一人成绩不低于 90 分的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】 （）以十位数为茎，以个位数为叶，能作出抽取的 15 人的成绩茎叶图，由样本得成绩在 90 分以上频率为 ，由此能计这 1500 志愿者中成绩不低于 90 分的人数（）设抽取的 15 人中，成绩在 80 分以上（包含 80 分）志愿者为 A，B，C，D，E，F，其中 E，F 的成绩在 90 分以上（含 90 分） ，利用列举法能求出选取的 3 人中恰有一人成绩在 90 分以上的概率【解答】解：（）以十位数为茎，以个位数为叶，作出抽取的
27、 15 人的成绩茎叶图如右图所示，3 分由样本得成绩在 90 分以上频率为 ，故志愿者测试成绩在 90 分以上（包含 90 分）的人数约为 =200 人5 分（）设抽取的 15 人中，成绩在 80 分以上（包含 80 分）志愿者为 A，B，C，D，E，F，其中 E，F 的成绩在 90 分以上（含 90 分） ，6 分成绩在 80 分以上（包含 80 分）志愿者中随机选 3 名志愿者的不同选法有：A，B，C ， A，B ，D，A，B ，E，A，B ，F ， A，C，D，A，C，E，A，C，F，A，D，F，A，D，E，A，E ，F ，B ，C，D，B ，C，E，B，C，F ，B，D，E，B，D，F
28、，C，D，E，C，D，F ，D，E，F，B，E ，F ，C，E，F，共 20 种，8 分其中选取的 3 人中恰有一人成绩在 90 分以上的不同取法有：A，B，E，A，B，F ，A，C ，E，A，C ，F ，A，D，F，A，D ，E，B ，C，E，B，C ，F，B，D，E，B，D，F ，C，D，E，C，D，F ，共 12 种，10 分选取的 3 人中恰有一人成绩在 90 分以上的概率为= = 12 分21在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱 BB1底面 A1B1C1，D 为 AC 的中点，A1B1=BB1=2， A1C1=BC1，A 1C1B=60（）求证：AB 1平面 BDC1；（）求多面体
29、 A1B1C1DBA 的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【分析】 （）证明 AB1平面 BDC1，证明 ODAB 1 即可；（）利用割补法，即可求多面体 A1B1C1DBA 的体积【解答】 （）证明：连 B1C 交 BC1 于 O，连接 OD，在CAB 1 中，O，D 分别是 B1C，AC 的中点，ODAB 1，而 AB1平面 BDC1，OD平面 BDC1，AB 1平面 BDC1；（）解：连接 A1B，作 BC 的中点 E，连接 DE，A 1C1=BC1，A 1C1B=60，A 1C1B 为等边三角形，侧棱 BB1底面 A1B1C1，BB 1A 1B1，BB 1B 1C
30、1，A 1C1=BC1=A1B=2 ，B 1C1=2，A 1C12=B1C12+A1B12，A 1B1C1=90，A 1B1B 1C1，A 1B1平面 B1C1CB，DEABA 1B1，DE平面 B1C1CB，DE 是三棱锥 DBCC1 的高， = = ，多面体 A1B1C1DBA 的体积 V= =（ ）2 = 22已知函数 f（x）=ax1lnx（a R） （）讨论函数 f（x）在定义域内的极值点的个数；（）已知函数 f（x）在 x=1 处取得极值，且对 x（0 ，+） ，f（x）bx2 恒成立，求实数 b 的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数在某点取得极值的条件【
31、分析】 （）由 f（x）=ax1lnx 可求得 f（x）= ，对 a 分 a0 与 a0 讨论 f（x）的符号，从而确定 f（x）在其定义域（0， +）单调性与极值，可得答案；（）函数 f（x）在 x=1 处取得极值，可求得 a=1，于是有 f（x）bx 21+ b，构造函数g（x）=1+ ，g（x） min 即为所求的 b 的值【解答】解：（）f（x） =ax1lnx，f（x）=a = ，当 a0 时，f（ x）0 在（0，+）上恒成立，函数 f（x）在（0，+）单调递减，f（x）在（0，+）上没有极值点；当 a0 时，f（ x）0 得 0x ，f（x）0 得 ，f（x）在（0， 上递减，在 ，+ ）上递增，即 f（ x）在 处有极小值当 a0 时 f（x）在（0，+）上没有极值点，当 a0 时，f（x）在（0，+）上有一个极值点（）函数 f（x）在 x=1 处取得极值，a=1，f（x）bx 21+ b，令 g（x）=1+ ，则 g（x）= = （2 lnx） ，由 g（x）0 得，xe 2，由 g（x）0 得，0xe 2，g（x）在（0，e 2上递减，在e 2，+ ）上递增， ，即 b1 2017 年 1 月 6 日
