1、2015-2016 学年广东省揭阳市普宁市华美实验学校高三（上）暑期检测数学试卷（理科）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1设集合 M=1，2，3，N=x|log 2x1） ，则 MN=（ ）A3 B2，3 C1，3 D1，2，32已知命题 p：xR，x2lgx，命题 q：xR，x 20，则（ ）A命题 pq 是假命题 B命题 pq 是真命题C命题 p（q）是真命题 D命题 p（q）是假命题3函数 的零点所在的区间为（ ）A （0，1） B （l，2） C （2，3） D （3，4）4已知函数 f（x）= ，则下列结论正确的是（ ）Af（x）是偶函数 Bf（x）在 R
2、 上是增函数Cf（x）是周期函数 Df（x）的值域为 B （，1 C D10已知奇函数 f（x）和偶函数 g（x）分别满足 f（x）= ，g（x）=x 2+4x4（x0） ，若存在实数 a，使得 f（a）g（b）成立，则实数 b 的取值范围是（ ）A （1，1） B （ ， ） C （3，1）（1，3） D （，3）（3，+）11函数 f（x）=sinx+2|sinx|（x B （1，3） C （1，0）（0，3） D12已知 f（x）=x 36x 2+9xabc，abc，且 f（a）=f（b）=（c）=0，现给出如下结论：f（0）=f（3） ；f（0）f（1）0；f（1）f（3）0；a 2+
3、b2+c2=18其中正确结论个数为（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13函数 f（x）= 的值域为 14若不等式（a2）x 2+2（a2）x4 的解集为 R，则实数 a 的取值范围是 15已知 ax|log 2x+x=0，则 f（x）=log a（x 22x3）的增区间为 16已知函数 y=f（x）xR 有下列 4 个命题：若 f（1+x）=f（1x） ，则 f（x）的图象关于直线 x=1 对称；若 f（3+x）+f（1x）=4，则 f（x）的图象关于点（2，2）对称；若 f（x）为偶函数，且 f（2+x）=f（x） ，则 f
4、（x）的图象关于直线 x=2 对称；若 f（x）为奇函数，且 f（x）=f（x2） ，则 f（x）的图象关于直线 x=1 对称其中正确的命题为 三、解答题（第 17、18、19、20、21 题各 12 分，第 22（23）题 12 分，共 70 分） 17 （12 分） （2014 秋温州校级期中）已知函数 f（x）=sin cos + cos2 （）求该函数图象的对称轴；（）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 b2=ac，求 f（B）的取值范围18 （12 分） （2015 秋普宁市校级月考）设函数 f（x）= ，（1）证明：函数 f（x）是 R 上的增函数；（
5、2）证明：对任意的实数 t，都有 f（t）+f（1t）=1；（3）求值： 19 （12 分） （2012 秋大连期末）已知函数 g（x）=x 23，f（x）是二次函数，当 x时 f（x）的最小值为 1，且 f（x）+g（x）为奇函数，求函数 f（x）的解析式20 （12 分） （2014东港区校级模拟）已知函数 g（x）=ax 22ax+b+1（a0）在区间上有最大值 4 和最小值 1设 f（x）= （1）求 a、b 的值；（2）若不等式 f（2 x）k2 x0 在 x上有解，求实数 k 的取值范围21 （12 分） （2014漳州一模）巳知函数 f（x）=x 22ax2alnx，g（x）=l
6、n 2x+2a2，其中 x0，aR（）若 x=1 是函数 f（x）的极值点，求 a 的值；（）若 f（x）在区间（2，+）上单调递增，求 a 的取值范围；（）记 F（x）=f（x）+g（x） ，求证： 请考生在第 22、23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分） （2014福州一模）在平面直角坐标系 xoy 中，以 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 sin 2=4cos，直线 l 的参数方程为： （t 为参数） ，两曲线相交于 M，N 两点（）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方
7、程；（）若 P（2，4） ，求|PM|+|PN|的值选修 4-5：不等式选讲23 （2014泉州模拟）已知函数 f（x）=|x1|+|x+1|；（）求不等式 f（x）3 的解集；（）若关于 x 的不等式 f（x）a 2a 恒成立，求实数 a 的取值范围2015-2016 学年广东省揭阳市普宁市华美实验学校高三（上）暑期检测数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1设集合 M=1，2，3，N=x|log 2x1） ，则 MN=（ ）A3 B2，3 C1，3 D1，2，3考点： 交集及其运算专题： 集合分析： 求出 N 中不等式的解集确定出 N
8、，找出 M 与 N 的交集即可解答： 解：由 N 中不等式变形得：log 2x1=log 22，即 x2，N=x|x2，M=1，2，3，MN=3故选：A点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2已知命题 p：xR，x2lgx，命题 q：xR，x 20，则（ ）A命题 pq 是假命题 B命题 pq 是真命题C命题 p（q）是真命题 D命题 p（q）是假命题考点： 全称命题；复合命题的真假专题： 常规题型分析： 先判断出命题 p 与 q 的真假，再由复合命题真假性的判断法则，即可得到正确结论解答： 解：由于 x=10 时，x2=8，lgx=lg10=1，故命题 p 为真命题
9、，令 x=0，则 x2=0，故命题 q 为假命题，依据复合命题真假性的判断法则，得到命题 pq 是真命题，命题 pq 是假命题，q 是真命题，进而得到命题 p（q）是真命题，命题 p（q）是真命题故答案为 C点评： 本题考查复合命题的真假，属于基础题3函数 的零点所在的区间为（ ）A （0，1） B （l，2） C （2，3） D （3，4）考点： 函数的零点；函数零点的判定定理专题： 函数的性质及应用分析： 由函数的解析式可得 f（1）0，f（2）0，故有 f（1）f（2）0根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间解答： 解：由函数 ，可得 f（1）=10，f（2）=1 = 0，f（1
10、）f（2）0根据函数零点的判定定理可得，函数 的零点所在的区间为（1，2） ，故选 B点评： 本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题4已知函数 f（x）= ，则下列结论正确的是（ ）Af（x）是偶函数 Bf（x）在 R 上是增函数Cf（x）是周期函数 Df（x）的值域为，当 x0 时，值域为（1，+） ，函数的值域为 B （，1 C D考点： 其他不等式的解法专题： 压轴题；不等式的解法及应用分析： 由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数 y=|f（x）|的图象，和函数 y=ax 的图象，由导数求切线斜率可得 l 的斜率，进而数形结合可得 a 的范围解答： 解：由题意可
11、作出函数 y=|f（x）|的图象，和函数 y=ax 的图象，由图象可知：函数 y=ax 的图象为过原点的直线，当直线介于 l 和 x 轴之间符合题意，直线 l 为曲线的切线，且此时函数 y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为 y=x22x，求其导数可得 y=2x2，因为 x0，故 y2，故直线 l 的斜率为2，故只需直线 y=ax 的斜率 a 介于2 与 0 之间即可，即 a故选：D点评： 本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题10已知奇函数 f（x）和偶函数 g（x）分别满足 f（x）= ，g（x）=x 2+4x4（x0） ，若存在实数 a，使得 f（a）g（b）成立
12、，则实数 b 的取值范围是（ ）A （1，1） B （ ， ） C （3，1）（1，3） D （，3）（3，+）考点： 分段函数的应用专题： 计算题；数形结合；函数的性质及应用分析： 由 f（x） 、g（x）的奇偶性，画出它们的图象，求出 x0 时，f（x）的最小值，以及 g（x）=x 2+4|x|4，由存在实数 a，使得 f（a）g（b）成立，只需 g（b）f（1） ，即可得到 b 的取值范围解答： 解：f（x）为奇函数，且 f（x）= ，f（x）的图象关于原点对称，如右图，当 x0 时，f（1）取最大值，且为 1；当 x0 时，f（1）最小，且为1g（x）为偶函数，且 g（x）=x 2+4
13、x4（x0） ，g（x）的图象关于 y 轴对称，如图，且g（x）=x 2+4|x|4，存在实数 a，使得 f（a）g（b）成立，g（b）1，即b 2+4|b|41，b 24|b|+30，即 1|b|3，1b3 或3b1b 的取值范围是（1，3）（3，1） 故选：C点评： 本题考查函数的奇偶性和应用，以及函数的最值，同时考查存在性问题的解决方法，存在x，af（x）成立，只需 af（x）的最小值，本题属于中档题11函数 f（x）=sinx+2|sinx|（x B （1，3） C （1，0）（0，3） D考点： 正弦函数的图象专题： 三角函数的图像与性质分析： 根据 sinx0 和 sinx0 对应
14、的 x 的范围，去掉绝对值化简函数解析式，再由解析式画出函数的图象，由图象求出 k 的取值范围解答： 解：由题意知，f（x）=sinx+2|sinx|（x的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的交点故选：B点评： 本题的考点是正弦函数的图象应用，即根据 x 的范围化简函数解析式，根据正弦函数的图象画出原函数的图象，再由图象求解，考查了数形结合思想和作图能力12已知 f（x）=x 36x 2+9xabc，abc，且 f（a）=f（b）=（c）=0，现给出如下结论：f（0）=f（3） ；f（0）f（1）0；f（1）f（3）0；a 2+b2+c2=18其中正确结论个数为（ ）A1 个 B2 个 C3
15、 个 D4 个考点： 二次函数的性质专题： 函数的性质及应用分析： 根据 f（x）=x 36x 2+9xabc，abc，且 f（a）=f（b）=f（c）=0，确定函数的极值点及a、b、c 的大小关系，由此可得结论解答： 解：求导函数可得 f（x）=3x 212x+9=3（x1） （x3）当 1x3 时，f（x）0；当 x1，或 x3 时，f（x）0所以 f（x）的单调递增区间为（，1）和（3，+）单调递减区间为（1，3）所以 f（x）极大值=f（1）=16+9abc=4abc，f（x）极小值=f（3）=2754+27abc=abc要使 f（x）=0 有三个解 a、b、c，那么结合函数 f（x）
16、草图可知：a1b3c及函数有个零点 x=b 在 13 之间，所以 f（1）=4abc0，且 f（3）=abc0所以 0abc4f（0）=abc，f（0）=f（3）f（0）0f（0）f（1）0，f（1）f（3）0，f（a）=f（b）=（c）=0，x 36x 2+9xabc=（xa） （xb） （xc）=x3（a+b+c）x 2+（ab+ac+bc）xabc，a+b+c=6，ab+ac+bc=9，把代入 2得：a 2+b2+c2=18；故答案为：点评： 本题考查函数的零点、极值点，解不等式，综合性强，利用数形结合可以使本题直观二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13函数 f（
17、x）= 的值域为 考点： 一元二次不等式的解法专题： 分类讨论；不等式的解法及应用分析： 把不等式化为（a2）x 2+2（a2）x40，讨论 a 的取值，求出使不等式的解集为 R 的 a 的取值范围即可解答： 解：原不等式可化为（a2）x 2+2（a2）x40，当 a2=0，即 a=2 时，40 恒成立，此时不等式的解集为 R；当 a20，即 a2 时，对应二次函数 y=（a2）x 2+2（a2）x4 的图象开口向上，不满足不等式的解集为 R；当 a20，即 a2 时，=4（a2） 24（4）（a2）0，即（a+2） （a2）0，解得2a2，此时不等式的解集为 R；综上，实数 a 的取值范围是
18、（2，2故答案为：（2，2点评： 本题考查了求含有字母系数的不等式的解集的问题，解题时应对字母系数进行讨论，是基础题目15已知 ax|log 2x+x=0，则 f（x）=log a（x 22x3）的增区间为 （，1） 考点： 对数函数的单调性与特殊点专题： 计算题分析： 先求出函数 f（x）的定义域为（，1）（3，+） ，根据在（，1）上，t 是减函数，f（x）=log at 是增函数，在（3，+）上，t 是增函数，f（x）=log at 是减函数，得出结论解答： 解：由 log2x+x=0，可得 0x1，从而可得 0a1令 t=x22x3=（x3） （x+1）0，可得 x1，或 x3，故函数
19、 f（x）的定义域为（，1）（3，+） 在（，1）上，t 是减函数，f（x）=log a（x 22x3）=log at 是增函数在（3，+）上，t 是增函数，f（x）=log a（x 22x3）=log at 是减函数则 f（x）=log a（x 22x3）的增区间为 （，1） ，故答案为 （，1） 点评： 本题主要考查对数函数的定义域及对数函数的单调性和特殊点，注意对数函数的定义域及复合函数的单调性：“同增异减” ，属于中档题16已知函数 y=f（x）xR 有下列 4 个命题：若 f（1+x）=f（1x） ，则 f（x）的图象关于直线 x=1 对称；若 f（3+x）+f（1x）=4，则 f（
20、x）的图象关于点（2，2）对称；若 f（x）为偶函数，且 f（2+x）=f（x） ，则 f（x）的图象关于直线 x=2 对称；若 f（x）为奇函数，且 f（x）=f（x2） ，则 f（x）的图象关于直线 x=1 对称其中正确的命题为 考点： 命题的真假判断与应用专题： 函数的性质及应用分析： 利用奇偶函数的定义和性质，得 f（x）与 f（x）的关系，再利用函数图象关于直线 x=a 对称的条件 f（2ax）=f（x）分别进行判断即可解答： 解：若 f（1+x）=f（1x） ，则 f（x）的图象关于直线 x=1 对称；故正确，f（3+x）+f（1x）=4，f（2+x）+f（2x）=4，即 ，即 f
21、（x）的图象关于点（2，2）对称；故正确，f（2+x）=f（x） ，f（2x）=f（x）=f（2+x） ，f（x）的图象自身关于直线 x=2 对称，故正确，f（x）为奇函数，且 f（x）=f（x2）f（x+2）=f（x）=f（x）f（x）的图象自身关于直线 x=1 对称，故正确，综上正确的命题是，故答案为：点评： 本题主要考查了奇偶函数的定义和图象的对称性，同时考查了学生综合应用条件的能力，是个中档题三、解答题（第 17、18、19、20、21 题各 12 分，第 22（23）题 12 分，共 70 分） 17 （12 分） （2014 秋温州校级期中）已知函数 f（x）=sin cos +
22、cos2 （）求该函数图象的对称轴；（）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 b2=ac，求 f（B）的取值范围考点： 两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性；余弦定理专题： 高考数学专题；三角函数的图像与性质分析： （）利用两角和与差的三角函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求该函数图象的对称轴；（）通过在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 b2=ac，利用余弦定理求出 B 地方我，得到相位的范围，即可求解 f（B）的取值范围解答： 解：（）由 即即对称轴为 （6 分）（）由已知 b2=ac， ， ， ， ， 1即 f（B）
23、的值域为 （14 分）点评： 本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的图象与性质的应用，考查计算能力18 （12 分） （2015 秋普宁市校级月考）设函数 f（x）= ，（1）证明：函数 f（x）是 R 上的增函数；（2）证明：对任意的实数 t，都有 f（t）+f（1t）=1；（3）求值： 考点： 函数与方程的综合运用；函数单调性的判断与证明；函数的值专题： 函数的性质及应用分析： （1）直接利用函数的单调性的定义证明即可（2）代入函数的解析式，利用有理指数幂的运算法则化简求解即可（3）利用（2）的结果，配对求解即可解答： 解：（1）证明：设任意 x1x 2，则 f（x 1）f（x 2）=
24、= ，x 1x 2， ， ，又表达式的分母为正；f（x 1）f（x 2）0，f（x 1）f（x 2）f（x）在 R 上是增函数 （4 分）（2）对任意 t，f（t）+f（1t）= + = + = =1对于任意 t，f（t）+f（1t）=1 （8 分）（3）由（2）知 ，点评： 本题考查函数与方程的应用，函数的单调性的证明以及函数的值的求法，考查分析问题解决问题的能力19 （12 分） （2012 秋大连期末）已知函数 g（x）=x 23，f（x）是二次函数，当 x时 f（x）的最小值为 1，且 f（x）+g（x）为奇函数，求函数 f（x）的解析式考点： 二次函数的性质；函数奇偶性的性质专题：
25、函数的性质及应用分析： 根据题意设 f（x）=ax 2+bx+c（a0） ，再由 f（x）+g（x）为奇函数求出 a、c 的值，再求对称轴，根据所给的区间进行分类讨论，分别求出 f（x）的最小值列出方程，求出 b 的值解答： 解：设 f（x）=ax 2+bx+c（a0） ，则 f（x）+g（x）=（a1）x 2+bx+c3，f（x）+g（x）为奇函数，a=1，c=3f（x）=x 2+bx+3，对称轴 x= ，当 2，即 b4 时，f（x）在上为减函数，f（x）的最小值为 f（2）=4+2b+3=1，b=3，此时无解当1 2，即4b2 时，f（x） min=f（ ）=3 =1，b=2b=2 ，此
26、时 f（x）=x 22 x+3，当 1s 时，即 b2 时，f（x）在上为增函数，f（x）的最小值为 f（1）=4b=1，b=3，f（x）=x 2+3x+3，综上所述，f（x）=x 22 x+3，或 f（x）=x 2+3x+3点评： 本题考查了函数性质的综合应用，待定系数法求函数的解析式，以及分类讨论思想求二次函数在定区间上的最值问题20 （12 分） （2014东港区校级模拟）已知函数 g（x）=ax 22ax+b+1（a0）在区间上有最大值 4 和最小值 1设 f（x）= （1）求 a、b 的值；（2）若不等式 f（2 x）k2 x0 在 x上有解，求实数 k 的取值范围考点： 二次函数在
27、闭区间上的最值；函数的零点与方程根的关系专题： 函数的性质及应用分析： （1）由函数 g（x）=a（x1） 2+1+ba，a0，所以 g（x）在区间上是增函数，故 ，由此解得 a、b 的值（2）不等式可化为 2 x+ 2k2 x，故有 kt 22t+1，t，求出 h（t）=t 22t+1 的最大值，从而求得 k 的取值范围解答： 解：（1）函数 g（x）=ax 22ax+b+1=a（x1） 2+1+ba，因为 a0，所以 g（x）在区间上是增函数，故 ，解得 （6 分）（2）由已知可得 f（x）=x+ 2，所以，不等式 f（2 x）k2 x0 可化为 2 x+ 2k2 x，可化为 1+ 2 k
28、，令 t= ，则 kt 22t+1因 x，故 t故 kt 22t+1 在 t上能成立记 h（t）=t 22t+1，因为 t，故 h（t） max =h（2）=1，所以 k 的取值范围是（，1 （14 分）点评： 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，函数的零点与方程根的关系，函数的恒成立问题，属于中档题21 （12 分） （2014漳州一模）巳知函数 f（x）=x 22ax2alnx，g（x）=ln 2x+2a2，其中 x0，aR（）若 x=1 是函数 f（x）的极值点，求 a 的值；（）若 f（x）在区间（2，+）上单调递增，求 a 的取值范围；（）记 F（x）=f（x）+g（x） ，求证
29、： 考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性专题： 导数的综合应用分析： （）根据极点的定义很容易求出 a 的值，由于只是导函数在一点的导数等于 0，不能说明这一点是极点，所以求出 a 之后需验证它是否是极点（）由 f（x）在区间（2，+）上单调递增，便得到在该区间上 f（x）0，然后用 x 表示 a，即得到 ，只需求 的范围即可（）求出 F（x）=x 22ax2alnx+ln 2x+2a2，通过观察 F（x）的解析式的形式，能够想到解析式里可能存在完全平方式，所以试着构造完全平方式，结果能构造出完全平方式，并得到：F（x）=，所以只要 xlnx1 即可，这点的说明，利用求导数
30、，根据单调性判断即可解答： 解：（） ；x=1 是函数 f（x）的极值点；f（1）=22a2a=0，解得 ；经检验 x=1 为函数 f（x）的极值点，所以 （II）f（x）在区间（2，+）上单调递增； 在区间（2，+）上恒成立； 对区间（2，+）恒成立；令 ，则 ；当 x（2，+）时，M（x）0，有 ；a 的取值范围为 （）F（x）=x 22ax2alnx+ln 2x+2a2= ；令 ；则 =；令 Q（x）=xlnx，则 ；显然 Q（x）在（0，1上单调递减，在（1，+）上单调递增；则 Q（x） min=Q（1）=1，则 ；故 点评： 第一问中的 a 是比较容易求出的，然而需验证求的 a 符合
31、题意，这需要理解极值的定义第二问是根据函数导数符号与函数单调性的关系去求解的，而比较关键的是得到 第三问的关键是构造完全平方式，使一个完全平方式里含 a，另一个不含 a，因为 a 的值不确定，并且要证的不等式的右边不含 a请考生在第 22、23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分） （2014福州一模）在平面直角坐标系 xoy 中，以 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 sin 2=4cos，直线 l 的参数方程为： （t 为参数） ，两曲线相交于 M，N 两点（）写出曲线 C 的直角坐标方程
32、和直线 l 的普通方程；（）若 P（2，4） ，求|PM|+|PN|的值考点： 简单曲线的极坐标方程专题： 坐标系和参数方程分析： （）根据 x=cos、y=sin，写出曲线 C 的直角坐标方程；用代入法消去参数求得直线 l的普通方程（）把直线 l 的参数方程代入 y2=4x，得到 ，设 M，N 对应的参数分别为 t1，t 2，利用韦达定理以及|PM|+|PN|=|t 1+t2|，计算求得结果解答： 解：（）根据 x=cos、y=sin，求得曲线 C 的直角坐标方程为 y2=4x，用代入法消去参数求得直线 l 的普通方程 xy2=0（）直线 l 的参数方程为： （t 为参数） ，代入 y2=4
33、x，得到 ，设 M，N 对应的参数分别为 t1，t 2，则 t 1+t2=12 ，t 1t2=48，|PM|+|PN|=|t 1+t2|= 点评： 本题主要考查把参数方程、极坐标化为直角坐标方程的方法，韦达定理的应用，参数的几何意义，属于基础题选修 4-5：不等式选讲23 （2014泉州模拟）已知函数 f（x）=|x1|+|x+1|；（）求不等式 f（x）3 的解集；（）若关于 x 的不等式 f（x）a 2a 恒成立，求实数 a 的取值范围考点： 不等式的证明；函数恒成立问题专题： 不等式的解法及应用分析： （I）通过对 x 与1 的关系分类讨论即可去掉绝对值符号，解出即可；（II）由（I）可知：在 R 上 f（x）的最小值，而关于 x 的不等式在 f（x）a 2a 上恒成立a2a min解出即可解答： 解：（I）f（x）= ，f（x）3 等价于 或 或 ，解得 ， 故不等式 f（x）3 的解集是x| 或 （II）由（I）可知：在 R 上， min=2关于 x 的不等式在 f（x）a 2a 上恒成立a 2a min=2a 2a20，解得1a2实数 a 的取值范围是点评： 熟练掌握分类讨论方法解含绝对值符号的不等式、恒成立问题等价转化方法等是解题的关键
