1、高三数学（理）模拟（一）试卷第 1 页（共 4 页）NMD1 C1ACBA通州区 2015 年高三年级模拟考试（一）数学（理）试卷 2015 年 4 月 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分，共 150 分考试时间长 120 分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第卷 （选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1复数 在复平面内对应的点所在的象限是2ziA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2已知双曲线 离心率是 ，那么 等于2104xyb52b
2、A1 B2 C D 253在正方体 中，已知 ， 分别是 ， 的中点，过点 ，1CDAMN1B， 的截面截正方体所得的几何体，如图所示，那么该几何体的侧视图是N1A B C D4已知 ， ，那么“ ”是“ ”的1a32logbmab3mA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5已知函数 那么该函数是fx2,04 1ai = i+1结束输出 a是否高三数学（理）模拟（一）试卷第 3 页（共 4 页）11 题 12 题12如图，已知 是圆 的切线，切点为 ， 过圆心 ，且与圆 交于 ， 两PAOAPCOBC点，过 点作 ，垂足为 ， ， ，那么CD46B_.D13
3、11 位数的手机号码，前七位是 ，如果后四位只能从数字 ， ， 中选取，15870137且每个数字至少出现一次，那么存在 与 相邻的手机号码的个数是_.314如图，在四边形 中， ， ， ，AB920AC2C，4动点 在 内（含边界）运动，设 ，MCDMBDurur则 的取值范围是_三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15 （本题满分 13 分）在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，已知 ， ，ABCCabc523B的面积是 153.4（）求 的值；b（）求 的值cos2A16 （本题满分 13 分）随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口
4、在不断减少， “延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组对某社区随机抽取了 人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：50年龄 2,3,53,40,5人数 4 5 8 5 3年龄 ,0,6,6,7人数 6 7 3 5 4MBA高三数学（理）模拟（一）试卷第 4 页（共 4 页）OB1A1 C1CBA年龄在 ， 的被调查者中赞成人数分别是 人和 人，现从这两25,30,632组的被调查者中各随机选取 人，进行跟踪调查. 2（）求年龄在 的被调查者中选取的 人都是赞成的概率；,（）求选中的 人中，至少有 人赞成的概率；4（）若选中的 人中，不
5、赞成的人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望.X17 （本题满分 14 分）如图，在各棱长均为 2 的三棱柱 中，侧面1ABC底面 ，且 ，点 为 的中点. 1AC31O（）求证： 平面 ；O（）求二面角 的余弦值；1B（）若点 关于 的对称点是 D，在直线 上是否存在点 ，使 平面1P/D.若存在，请确定点 的位置；若不存在，请说明理由. 1ACP18 （本题满分 13 分）已知椭圆 的左焦点是 ，上顶点是 ，且2:1(0)xyab1,0FB，直线 与椭圆 相交于 ， 两点.BFkCMN（）求椭圆 的标准方程；C（）若在 轴上存在点 ，使得 与 的取值无关，求点 的坐标. xPurkP19
6、 （本题满分 13 分）已知函数 ，1xfae.aR（）当 时，求曲线 在 处的切线方程； 1yf,0f（）若对任意 ， 恒成立，求 的取值范围；,0a（）当 时，求证：x212.xex20 （本题满分 14 分）设函数 ，方程 有唯一解，数列 满足2xfmfna，且 ，数列 满足1naN123anb43.nN（）求证：数列 是等差数列；n高三数学（理）模拟（一）试卷第 5 页（共 4 页）（）数列 满足 ，其前 项和为 ，若存在 ，使nc1nnNb nnSN成立，求 的最小值；142kSkRk（）若对任意 ，使不等式 成立，求实数*N1212ntbbL的最大值t高三数学（理科）考试参考答案2
7、015 年 4 月 一选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D A B C B D A C二填空题：9. 或 10. 11. 2463012. 13. 14. 5231,42三解答题： 15 （本小题 13 分）高三数学（理）模拟（一）试卷第 6 页（共 4 页）解：（）因为 的面积是 ， ， ，ABC1534c23B所以 即1sin2ac53.42a.所以 4 分.由余弦定理 ，22cosbB得 259349.所以 7 分7.（）由正弦定理 .siniabAB所以 10 分3si.7214所以 13 分2371cosin.9816 （本题 13 分） 解： () 设“年龄在 的被
8、调查者中选取的 人都是赞成”为事件 ，,25302A所以 3 分235.1CPA() 设“选中的 人中，至少有 3 人赞成”为事件 ，4B所以 7 分211223553531.CB（） 的可能取值为 ， ， ，X0.所以 ， ，2351()P1213352()CPX， 21325()0C2153().高三数学（理）模拟（一）试卷第 7 页（共 4 页） 11 分所以 的分布列是X 12 分所以 13 分0EX12513052.117 （本小题 14 分）解：（）连结 ，因为 ， ， ，点 为1ACA3CABO的中点， 所以 ，1O.B因为 ，所以 平面 4 分AC.1（）因为侧面 底面 ，AC
9、所以 平面 所以 5 分1O.B.1OB所以以 为坐标原点，分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴建立空间直1xyz角坐标系，所以 ， ， ， ， ，,01A,30,C,103A,13B所以 ， ，123AB.2设平面 的法向量为 ， 所以即1C,nxyz,1nAC,.20xyz所以 . 7 分,0n因为平面 的法向量为 ， 所以AB10,3AO132cos,.n所以二面角 的余弦值是 9 分1C2.（）存在. X0123P5015高三数学（理）模拟（一）试卷第 8 页（共 4 页）因为点 关于 的对称点是 D，所以点 10 分 BAC,.30假设在直线 上存在点 符合题意，则点 的坐标设为 ，1
10、PP,xyz1.AP所以 所以 ,.Pxyz,.01所以 12 分3,D因为 平面 ，平面 的法向量为 ， /1ABC11,0n所以由 ，得0.Pn.30所以 13 分.所以在直线 上存在点 ， 使 平面 ，且点 恰为 点. 14 分1A/DP1ABCP1A18 （本小题 13 分）解：（）因为椭圆 的左焦点是 ，且 ，C1,0F12F所以 ， 1 分1c2.a所以由 ，得 2 分2b3.所以椭圆 的标准方程是 3 分C21.4xy（）因为直线 与椭圆 相交于 , 两点，()ykCMN联立方程组 消去 ，得21,43xy22348410.kxk 5 分所以 6 分210.k所以设点 ， ， ，
11、1,Mxy2,Nxy0,Px所以 ， 7 分122834k214.3kA高三数学（理）模拟（一）试卷第 9 页（共 4 页）所以 1020,PMNxyxy 102012xxy120212xk00kxx222 200481334kk242242001kxx 9 分20208534xxk因为 与 的取值无关，PMN所以 12 分085.123x所以 所以点 的坐标是 13 分0.P1,0.819 （本小题 13 分）解：（）因为 ， ，xfaea所以 所以.1xfe.1xfe所以 ，02f所以切线方程是 ，即 3 分yx20.y（）由 可得 fx.1ae所以 4 分.1a令 所以 xgxe.0xg
12、e所以 在 上单调递增. 6 分,0高三数学（理）模拟（一）试卷第 10 页（共 4 页）所以 所以 8 分.10gx1.a（）令 2xhex所以 9 分.2由（）可知，当 时， 11 分a.10xfe所以 .0hx所以 在 上单调递减. 12 分,所以 x所以 13 分.21ex20 （本题 14 分） 解：（）因为 ，方程 有唯一解，fmxfx所以 即 有唯一解. .2x210所以 所以 2 分410.所以 .2xf所以 所以.1nnaf .120nnaa所以 所以 3 分.10n.1n因为 ，所以23fa.123a所以 .1高三数学（理）模拟（一）试卷第 11 页（共 4 页）所以数列 首项为 ，公差为 的等差数列. 4 分1na12（） 由（）得 所以.n2.1na因为 ，所以43nab21.nb所以 1 1.2nnc n所以 12352nS 7 分1.n因为 ，所以42nkS217417.2kn所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立. 175所以 的最小值是 9 分k.（）因为 ，1212ntbbL所以 121.nt 令 10 分121.nbbgnL因为 ，所以 11 分01n 0.g高三数学（理）模拟（一）试卷第 12 页（共 4 页）所以 123nbg 13 分221.484n所以 是递增数列. 所以gn3.g所以 23.t所以 的最大值是 . 14 分t
