1、第 1 页（共 30 页）2017 届河南省顶级名校高三（上）10 月月考数学试卷（文科）一、选择题（每题 5 分，共 60 分）1已知集合 A=x|y= ，A B=，则集合 B 不可能是（ ）Ax |4x2 x+1 B（x，y）|y=x1C y=x1 Dy|y=log 2（x 2+2x+1）2i 是虚数单位，若 =a+bi（a，b R） ，则 log2（a b）的值是（ ）A 1 B1 C0 D3曲线 和直线 在 y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 P1，P 2，P 3，则|P 2P4|等于 （ ）A B2 C3 D44一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（ ）A
2、 B C D5某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）第 2 页（共 30 页）Af （x）=x 2 Bf（x）= Cf（x）=e x Df （x）=sinx6已知函数 f（x）=ax 21 的图象在点 A（1，f（1） ）处的切线 l 与直线 8xy+2=0平行，若数列 的前 n 项和为 Sn，则 S2015 的值为（ ）A B C D7已知函数 f（x）=x 22cosx，对于 上的任意 x1，x 2，有如下条件：x 1x 2； ； |x 1|x 2； x 1|x 2|，其中能使 恒成立的条件个数共有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个8已知 O 为坐标原点
3、，双曲线 C： =1（a0，b0）的左焦点为F（c， 0） （c 0 ） ，以 OF 为直径的圆交双曲线 C 的渐近线于 A，B ，O 三点，且（ + ） =0，若关于 x 的方程 ax2+bxc=0 的两个实数根分别为 x1 和 x2，则以|x 1|，|x 2|，2 为边长的三角形的形状是（ ）A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D等腰直角三角形9设 F1、F 2 是双曲线 x2 =1 的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点 第 3 页（共 30 页）P，使（ + ） =0（ O 为坐标原点）且且 |PF1|=|PF2|，则 的值为（ ）A2 B C3 D10已知函数 在其定义域内的一
4、个子区间（a1，a +1）内不是单调函数，则实数 a 的取值范围是（ ）A B C D11在平面直角坐标系中，点 P 是由不等式组 所确定的平面区域内的动点，M ， N 是圆 x2+y2=1 的一条直径的两端点，则 的最小值为（ ）A4 B C D712已知定义在1，+）上的函数 ，当x2n1，2 n（nN *）时，函数 f（x）的图象与 x 轴围成的图象面积为 Sn，则S1+S2+Sn=（ ）A2 n B2n C2 n+12 Dn 2+n二、填空题（每题 5 分，共 20 分）13若数列a n是正项数列，且 + + =n2+3n（n N*） ，则+ + = 14已知 P、A、B、C 是球 O
5、 球面上的四点，ABC 是正三角形，三棱锥 PABC的体积为 ，且APO=BPO= CPO=30，则球 O 的表面积为 15已知双曲线 =1（a0，b0）的一条渐近线与圆（ x3） 2+y2=9 相交第 4 页（共 30 页）于 A，B 两点，若|AB|=2，则该双曲线的离心率为 16给出下列命题：函数 f（x ）=x 3+ax2+axa 既有极大值又有极小值，则 a0 或 a3；若 f（ x）=（x 28）e x，则 f（x）的单调递减区间为（4，2） ；过点 A（a，a）可作圆 x2+y22ax+a2+2a3=0 的两条切线，则实数 a 的取值范围为 a3 或 a1 ；双曲线 =1（a0，
6、b0）的离心率为 e1，双曲线 =1 的离心率为 e2，则 e1+e2 的最小值为 2 其中为真命题的序号是 三、解答题（题型注释）17 （10 分）已知函数 f（ x）=2sinxcosx +2 cos2x（1）求函数 f（x）的最小正周期和单调减区间；（2）已知ABC 的三个内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c，其中 a=7，若锐角 A 满足 f（ ）= ，且 sinB+sinC= ，求 bc 的值18 （12 分）已知数列a n是递增的等比数列，满足 a1=4，且 的等差中项，数列b n满足 bn+1=bn+1，其前 n 项和为 sn，且 S2+S6=a4（1）求数列a n，b
7、 n的通项公式（2）数列a n的前 n 项和为 Tn，若不等式 nlog2（T n+4）b n+73n 对一切nN*恒成立，求实数 的取值范围19 （12 分）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者现从符合条件的志愿者中随机抽取 100 名按年龄分组：第 1 组20，25） ，第 2 组25 ，30） ，第 3 组30，35） ，第 4 组35， 40） ，第 5 组40，45，得到的频率分布直方图如图所示（1）若从第 3，4，5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参广场的宣传活动，应从第 3，4，5 组各抽取多少名志愿者？第 5 页（共 30 页）（2）在（1）的条件下
8、，该县决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验，求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率20 （12 分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥 PABCD 中，ABAC ，PA平面 ABCD，且 PA=AB，点 E 是 PD 的中点（1）证明：ACPB；（2）证明：PB平面 AEC；（3）求二面角 EACB 的大小21 （12 分）已知直线 l：y=x+1，圆 O： ，直线 l 被圆截得的弦长与椭圆 C： 的短轴长相等，椭圆的离心率 e= （）求椭圆 C 的方程；（）过点 M（0， ）的动直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点 T，使得无论 l
9、 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过定点T？若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由22 （12 分）已知函数 f（ x）=a x+x2xlna（a0 且 a1）（1）求函数 f（x）在点（ 0，f（0） ）处的切线方程；（2）求函数 f（x）单调区间；第 6 页（共 30 页）（3）若存在 x1，x 21，1，使得|f（x 1） f（x 2）|e 1（e 是自然对数的底数），求实数 a 的取值范围第 7 页（共 30 页）2017 届河南省顶级名校高三（上）10 月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每题 5 分，共 60 分）1已知集合 A=x|y= ，A B=，则集
10、合 B 不可能是（ ）Ax |4x2 x+1 B（x，y）|y=x1C y=x1 Dy|y=log 2（x 2+2x+1）【分析】求出 A 中 x 的范围确定出 A，分别求出选项中集合 B，根据 AB=，作出判断即可【解答】解：由 A 中 y= ，得到 x10，解得：x1，即 A=x|x1，A、由集合中不等式变形得：2 2x=4x2 x+1，即 2xx+1，解得：x1，即 B=x|x1，满足 AB=；B、B=（x ，y ）|y=x1，满足 AB=；C、 B=y=x1，满足 AB=；D、由 y=log2（ x2+2x+1） =log2（x1） 2+21，即 B=y|y1，此时 AB=1，AB，故
11、选：D【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2i 是虚数单位，若 =a+bi（a，b R） ，则 log2（a b）的值是（ ）A 1 B1 C0 D【分析】把复数方程化简，利用复数相等的定义，求解方程组，可解得 ab 的第 8 页（共 30 页）值，再根据对数的性质即可求出【解答】解：因为 ，所以由复数相等的定义可知 ，所以 log2（ab）=log 22=1故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算和对数的运算性质，属基础题3 （2014浦东新区三模）曲线 和直线 在 y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 P1，P 2，P 3，则|P 2P4|等于 （ ）
12、A B2 C3 D4【分析】本题考查的知识点是诱导公式，二倍角公式及函数图象的交点，将=sin2x+1 令 y= ，解得 x=k （kN） ，代入易得|P 2P4|的值【解答】解：=2sin（x + ）cos （x ）=2cos（x ）cos（x ）=cos2（x ）+1=sin2x+1若 =则 2x=2k+ （k N）x=k （kN）故|P 2P4|=故选：A【点评】求两个函数图象的交点间的距离，关于是要求出交点的坐标，然后根据两点间的距离求法进行求解第 9 页（共 30 页）4 （2015南昌模拟）一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（ ）A B C D【分析】由三视
13、图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥（图中红色部分） ，它是一个正四棱锥的一半，其中底面是一个两直角边都为 6 的直角三角形，高为 4设其外接球的球心 O 必在高线 EF 上，利用外接球的半径建立方程，据此方程可求出答案【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥（图中红色部分） ，它是一个正四棱锥的一半，其中底面是一个两直角边都为 6 的直角三角形，高 EF=4设其外接球的球心为 O，O 点必在高线 EF 上，外接球半径为 R，则在直角三角形 AOF 中， AO2=OF2+AF2=（EFEO） 2+AF2，即 R2=（4R） 2+（2 ） 2，解得：R=故选 C第 10 页（共
14、 30 页）【点评】本题考查由三视图还原实物图考查多面体的外接球的运算，考查空间想象力这是一个综合题目5 （2015宁城县三模）某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）Af （x）=x 2 Bf（x）= Cf（x）=e x Df （x）=sinx【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件f（x ）+f（ x）=0，即函数 f（x）为奇函数f（ x）存在零点，即函数图象与 x 轴有交点逐一分析四个答案中给出的函数的性质，不难得到正确答案【解答】解：A：f（x）=x 2、C：f（x ）=e x，不是奇函数，故不满足条件又
15、B：f（x ）= 的函数图象与 x 轴没有交点，故不满足条件而 D：f（x ） =sinx 既是奇函数，而且函数图象与 x 也有交点，第 11 页（共 30 页）故 D：f（x ） =sinx 符合输出的条件故选 D【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码） ，从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模6 （2015 秋龙泉驿区校级期中）已知函数 f（x）=ax 21 的图象在点A（
16、1 ，f（1） ）处的切线 l 与直线 8xy+2=0 平行，若数列 的前 n 项和为Sn，则 S2015 的值为（ ）A B C D【分析】函数 f（x）=ax 21 的图象在点 A（1，f（ 1） ）处的切线 l 与直线8xy+2=0 平行，可得 f（x ）| x=1=（2ax ）| x=1=2a=8，解得 a可得 f（x）=4x 21，= = 利用“ 裂项求和”即可得出【解答】解：函数 f（x ）=ax 21 的图象在点 A（1，f（1） ）处的切线 l 与直线8xy+2=0 平行，f（x）| x=1=（2ax）| x=1=2a=8，解得 a=4f（ x）=4x 21，f（n）=4n 2
17、1 = = 数列 的前 n 项和为 Sn= +第 12 页（共 30 页）= 则 S2015= 故选：C【点评】本题考查了利用导数研究切线、 “裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7 （2015 秋莱芜期末）已知函数 f（x）=x 22cosx，对于 上的任意x1， x2，有如下条件：x 1x 2； ； | x1|x 2； x 1|x 2|，其中能使 恒成立的条件个数共有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】利用导数可以判定其单调性，再判断出奇偶性，即可判断出结论【解答】解：f（x）=x 22cosx，f （x）=2x+2sinx，当 x=0 时，f （0）=0；当
18、x ，0）时，f（x）0，函数 f（x）在此区间上单调递减；当 x（0， 时，f （x）0 ，函数 f（x）在此区间上单调递增函数 f（x ）在 x=0 时取得最小值， f（0）=0 1=1x ， ，都有 f（x）=f （x） ，f（x ）是偶函数根据以上结论可得：当 x1x 2 时，则 f（x 1）f（x 2）不成立；当 x12x 22 时，得|x 1|x 2|，则 f（|x 1|）f（|x 2|） ，f（x 1）f （x 2）恒成立；当|x 1|x 2 时，由函数 f（x）=x 22cosx 是偶函数，知 f（x 1）=f（|x 1|）f（ x2）不恒成立；x 1|x 2|时，则 f（x
19、1）f（|x 2|）=f （x 2）恒成立第 13 页（共 30 页）综上可知：能使 f（x 1）f（x 2）恒成立的有故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，熟练掌握利用导数研究函数的单调性、判定函数的奇偶性等是解题的关键8 （2016成都模拟）已知 O 为坐标原点，双曲线 C： =1（a0，b0）的左焦点为 F（c，0） （c0） ，以 OF 为直径的圆交双曲线 C 的渐近线于A，B ，O 三点，且（ + ） =0，若关于 x 的方程 ax2+bxc=0 的两个实数根分别为 x1 和 x2，则以|x 1|，|x 2|，2 为边长的三角形的形状是（ ）A钝角三角形 B直角三角形C锐
20、角三角形 D等腰直角三角形【分析】运用向量的加减运算和数量积的性质可得|AF|=|AO|，AOF 为等腰直角三角形，求得渐近线的斜率，进而得到 c= a，方程 ax2+bxc=0 即为 x2+x=0，求得两根，求得平方，运用余弦定理，即可判断三角形的形状【解答】解：由（ + ） =0，可得（ + ）（ ）=0，即有 2 2=0，即|AF|= |AO|，AOF 为等腰直角三角形，可得AOF=45，由渐近线方程 y= x，可得 =1，c= a，则关于 x 的方程 ax2+bxc=0 即为 x2+x =0，即有 x1x2= ，x 1+x2=1，即有 x12+x22=1+2 4，可得以|x 1|，|x
21、 2|，2 为边长的三角形的形状是钝角三角形第 14 页（共 30 页）故选：A【点评】本题考查三角形的形状的判断，注意运用余弦定理，考查双曲线的渐近线方程的运用，以及向量的数量积的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题9 （2016衡水校级模拟）设 F1、F 2 是双曲线 x2 =1 的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点 P，使（ + ） =0（ O 为坐标原点）且且|PF1|=|PF2|，则 的值为（ ）A2 B C3 D【分析】设点 P（ ，m） ，由 =0 解出 m，根据双曲线的第二定义得 e= = ，求出|PF 2|的值，再利用第一定义求出 |PF1|的值，即得 值【解答】解：
22、由题意得 a=1，b=2 ，c= ，F 1（ ，0） ，F 2 （ ，0） ，e=设点 P（ ，m ） ， =（ + ，m）（ ，m）=1+ 5+m2=0，m 2= ，m= 由双曲线的第二定义得 e= = ，|PF 2|=2，|PF 1|=2a+|PF2|=4，= = =2，第 15 页（共 30 页）故选 A【点评】本题考查两个向量坐标形式的运算，双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用10 （2016 秋 河南月考）已知函数 在其定义域内的一个子区间（a1 ，a +1）内不是单调函数，则实数 a 的取值范围是（ ）A B C D【分析】先求出函数的导数，令导函数为 0，求
23、出 x 的值，得到不等式解出 k的值即可【解答】解：函数的定义域为（0，+） ，所以 a10 即 a1，f（x ）=2x = ，令 f（x）=0，得 x= 或 x= （不在定义域内舍） ，由于函数在区间（a1，a+ 1）内不是单调函数，所以 （a1，a +1） ，即 a1 k+1，解得： k ，综上得 1k ，故选：D【点评】本题考查了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题11 （2016陕西校级模拟）在平面直角坐标系中，点 P 是由不等式组所确定的平面区域内的动点，M，N 是圆 x2+y2=1 的一条直径的两端点，则 的最小值为（ ）A4 B C D7【分析】设出 M，N ，P 的坐标，根据
24、向量数量积的公式进行转化，利用数形结合转化为线性规划进行求解即可【解答】解：M，N 是圆 x2+y2=1 的一条直径的两端点，第 16 页（共 30 页）设 M（a， b） ，N （a，b ） ，则满足 a2+b2=1，设 P（ x，y） ，则 =（ ax，by） （a x， by）=（a x） （a+x）（by ） （b +y）=a2+x2b2+y2=x2+y2（a 2+b2）=x 2+y21，设 z=x2+y2，则 z 的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，作出不等式组对应的平面区域如图：则原点到直线 x+y4=0 的距离最小，此时 d= =2 ，则 z=d2=（2 ） 2=8，则 =x
25、2+y21=81=7，故选：D【点评】本题主要考查向量数量积以及线性规划的应用，利用坐标系结合斜率数量积的公式转化为线性规划问题是解决本题的关键考查学生的转化能力12 （2016西安校级二模）已知定义在1，+）上的函数，当 x2n1，2 n（n N*）时，函数 f（x）的图象与 x 轴围成的图象面积为 Sn，则 S1+S2+Sn=（ ）A2 n B2n C2 n+12 Dn 2+n第 17 页（共 30 页）【分析】作出函数 f（x）的图象，求出三角形的高，结合三角形的面积公式进行求解即可【解答】解：作出函数 f（x ）在1，+）上的图象如图：当 n=1 时，x 1，2 ，此时三角形的高为 f
26、（ ）=4，则 S1= 14=2，当 n=2 时，x 2，4 ，此时三角形的高为 f（3）= f（ ）= 4=2，则S2= 22=2，当 n=3 时，x 4，8 ，此时三角形的高为 f（6）= f（3 ）= 2=1，则S3= 41=2，综上当 x2n1，2 n（nN *）时，函数 f（x）的最高点为 23n，与 x 轴围成的面积为 Sn= 23n2n1=2则 S1+S2+Sn=2+2+2=2n，故选：B【点评】本题主要考查分段函数的应用，根据分段函数作出函数的图象，求出对应三角形的高，结合三角形的面积公式是解决本题的关键二、填空题（每题 5 分，共 20 分）13 （2016青浦区二模）若数列
27、a n是正项数列，且+ + =n2+3n（n N*） ，则 + + = 2n 2+6n 【分析】根据题意先可求的 a1，进而根据题设中的数列递推式求得+ + =（n1） 2+3（n 1）与已知式相减即可求得数列a n的通项第 18 页（共 30 页）公式，进而求得数列 的通项公式，可知是等差数列，进而根据等差数列的求和公式求得答案【解答】解：令 n=1，得 =4，a 1=16当 n2 时，+ + =（n1） 2+3（n 1） 与已知式相减，得=（ n2+3n）（n1） 23（n 1）=2n+2，a n=4（n+1 ） 2，n=1 时，a 1 适合 ana n=4（n+1 ） 2， =4n+4，
28、 + + = =2n2+6n故答案为 2n2+6n【点评】本题主要考查了利用数列递推式求数列的前 n 项和解题的关键是求得数列a n的通项公式14 （2016衡阳三模）已知 P、A、B 、C 是球 O 球面上的四点， ABC 是正三角形，三棱锥 PABC 的体积为 ，且APO=BPO=CPO=30，则球 O 的表面积为 16 【分析】设ABC 的中心为 S，球 O 的半径为 R，ABC 的边长为 2a，由已知条件推导出 a= R，再由三棱锥 PABC 的体积为 ，求出 R=2，由此能求出球O 的表面积【解答】解：如图，P，A，B ，C 是球 O 球面上四点，ABC 是正三角形，设ABC 的中心
29、为 S，球 O 的半径为 R，ABC 的边长为 2a，APO=BPO=CPO=30，OB=OP=R，第 19 页（共 30 页）OS= ，BS= ， = ，解得 a= R，2a= R，三棱锥 PABC 的体积为 ， = ，解得 R=2，球 O 的表面积 S=4R2=16故答案为：16【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时确定球 O 的半径是关键15 （2016 秋 河南月考）已知双曲线 =1（a 0，b0）的一条渐近线与圆（x3） 2+y2=9 相交于 A，B 两点，若|AB |=2，则该双曲线的离心率为 3 【分析】双曲线的渐近线方程为：bx ay=0，取 AB 中点为 M，圆心
30、 C 到 M 的距离丨 CM 丨=2 ， =tanBAC=2 ，双曲线的离心率 e= = ，即可求得双曲线的离心率【解答】解：由题意知，双曲线过第一、三象限的渐近线方程为 bxay=0，取AB 中点为 M，如图所示，第 20 页（共 30 页）由勾股定理，可知圆心 C（3，0） ，到 M 的距离丨 CM 丨=2 ， =tanBAC=2 ，双曲线的离心率 e= = = =3，故答案为：3【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，考查勾股定理的应用及双曲线离心率的求法，属于基础题16 （2015 秋 天津期末）给出下列命题：函数 f（x ）=x 3+ax2+axa 既有极大值又有极小值，则 a0 或
31、a3；若 f（ x）=（x 28）e x，则 f（x）的单调递减区间为（4，2） ；过点 A（a，a）可作圆 x2+y22ax+a2+2a3=0 的两条切线，则实数 a 的取值范围为 a3 或 a1 ；双曲线 =1（a0，b0）的离心率为 e1，双曲线 =1 的离心率为 e2，则 e1+e2 的最小值为 2 其中为真命题的序号是 【分析】根据函数极值和导数之间的关系进行判断令 f（x）=（x+4） （x2 ）e x0，解得即可得出 f（x）的单调递减区间；根据点与圆的位置关系进行判断由于 e1+e2= + = 即可判断出第 21 页（共 30 页）【解答】解：f（x） =x3+ax2+axa，
32、f（x ）=3x 2+2ax+a若函数 f（x ）=x 3+ax2+axa 既有极大值又有极小值= （ 2a） 243a0，a3 或 a0，故正确，若 f（ x）=（x 28）e x，则 f（x）= （x 2+2x8）e x，由 f（x）0，得 x2+2x80即4x2，即 f（x ）的单调递减区间为（4，2） ；故正确，过点 A（a，a）可作圆 x2+y22ax+a2+2a3=0 的两条切线，则点 A 在圆的外部，圆的标准方程为（x a） 2+y2=32a，可得圆心 P 坐标为（ a，0 ） ，半径 r= ，且 32a0，即 a ，点 A 在圆外，是|AP|= r= ，即有 a23 2a，整理
33、得：a 2+2a30，即（a+3） （a 1）0，解得：a3 或 a1 ，又 a ，可得 a3 或 1a ，故错误；双曲线 =1 的离心率为 e1，双曲线 =1 的离心率为 e2，则 e1+e2= + = =2 ，当且仅当 a=b 时取等号其最小值为 2 ，正确故答案为：【点评】本题考查了命题的真假判断，涉及利用导数研究函数的单调性极值、圆锥曲线的标准方程及其性质，点与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，涉及的指数点交点，综合性较强三、解答题（题型注释）17 （10 分） （2016 春 天水校级期末）已知函数 f（x）=2sinxcosx+2 cos2x第 22 页（共 30 页）（1）
34、求函数 f（x）的最小正周期和单调减区间；（2）已知ABC 的三个内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c，其中 a=7，若锐角 A 满足 f（ ）= ，且 sinB+sinC= ，求 bc 的值【分析】 （1）f（x）解析式利用二倍角正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出 的值，代入周期公式求出最小正周期，由正弦函数的单调性确定出 f（x ）的单调递减区间即可；（2）由 f（x）解析式，以及 f（ ）= ，求出 A 的度数，将 sinB+sinC=，利用正弦定理化简，求出 bc 的值即可【解答】解：（1）f（x）=2sinxcosx+2 cos
35、2x =sin2x+ cos2x=2sin（2x+ ） ，=2，f（ x）的最小正周期 T=，2k+ 2x+ 2k + ，k Z，f（ x）的单调减区间为 k+ ，k+ ，k Z；（2）由 f（ ）=2sin2（ ）+ =2sinA= ，即 sinA= ，A 为锐角，A= ，由正弦定理可得 2R= = = ，sinB+sinC= = ，b+c= =13，由余弦定理可知：cosA= = = ，整理得：bc=40 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握定理是解本题的关键18 （12 分） （2016湖南四模）已知数列a n是递增的等比数列，满足 a1=4，且 的等
36、差中项，数列b n满足 bn+1=bn+1，其前 n 项和为 sn，且第 23 页（共 30 页）S2+S6=a4（1）求数列a n，b n的通项公式（2）数列a n的前 n 项和为 Tn，若不等式 nlog2（T n+4）b n+73n 对一切nN*恒成立，求实数 的取值范围【分析】 （1）利用 的等差中项，求出公比，可求数列a n的通项公式；数列b n为等差数列，公差 d=1，可求数列b n的通项公式；（2）不等式 nlog2（T n+4） bn+73n 化为 n2n+7（n +1） ，可得对一切 nN*恒成立，利用不等式，即可得出结论【解答】解：（1）设等比数列a n的公比为 q，则 是
37、 a2 和 a4 的等差中项， ，q1，q=2，依题意，数列b n为等差数列，公差 d=1又 ，b 1=2，b n=n+1（6 分）（2） 不等式 nlog2（T n+4）b n+73n 化为 n2n+7 （n+1）n N*（9 分） 对一切 nN*恒成立而当且仅当 ，第 24 页（共 30 页）即 n=2 时等式成立，3（12 分）【点评】本题考查数列的通项于求和，着重考查等比数列的通项公式的应用，突出考查基本不等式的运用，考查运算、分析、求解的能力，属于中档题19 （12 分） （2016玉溪三模）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者现从符合条件的志愿者中随机抽取 10
38、0 名按年龄分组：第1 组20 ，25 ） ，第 2 组25 ，30） ，第 3 组30，35 ） ，第 4 组35，40） ，第 5 组40，45，得到的频率分布直方图如图所示（1）若从第 3，4，5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参广场的宣传活动，应从第 3，4，5 组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该县决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验，求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率【分析】 （1）先分别求出这 3 组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案；（2）利用古典概型的概率计算公式、互斥事件及相互独立事件的概率计算公式即可得出【解答】解：（
39、1）第 3，4，5 组中的人数分别为0.065100=30，0.04 5100=20，0.025100=10从第 3，4，5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者，应从第 3，4，5 组各抽取人数为 ， ， =1；（2）设“第 4 组至少有一名志愿者被抽中”为事件 A，则 P（A）第 25 页（共 30 页）= = 【点评】熟练掌握频率分布直方图、分层抽样的定义、古典概型的概率计算公式、互斥事件及相互独立事件的概率计算公式是解题的关键20 （12 分） （2010湖北模拟）如图，在底面为平行四边形的四棱锥 PABCD 中，ABAC，PA平面 ABCD，且 PA=AB，点 E 是 PD 的中点
40、（1）证明：ACPB；（2）证明：PB平面 AEC；（3）求二面角 EACB 的大小【分析】 （1）利用线面垂直的性质及判定定理，即可证明 AC平面 PAB，从而可得 ACPB；（2）连结 BD，与 AC 相交于 O，连结 EO，证明 PBEO，即可证明 PB平面AEC；（3）过 O 作 FGAB，交 AD 于 F，交 BC 于 G，则EOG 是二面角 EACB 的平面角，连结 EF，即可求二面角 EACB 的大小【解答】 （1）证明：PA平面 ABCD，AC 在平面 ABCD 内，AC PA又 ACAB，PAAB=A，AC平面 PAB（2 分）又 PB 在平面 PAB 内，ACPB（4 分）
41、（2）证明：连结 BD，与 AC 相交于 O，连结 EOABCD 是平行四边形，O 是 BD 的中点又 E 为 PD 中点，PBEO （6 分）又 PB 在平面 AEC 外，EO 在 AEC 平面内，PB 平面 AEC（8 分）第 26 页（共 30 页）（3）解：过 O 作 FGAB，交 AD 于 F，交 BC 于 G，则 F 为 AD 中点ABAC，OGAC又由 （1） （2）知，AC PB，EOPB，ACEO（10 分）EOG 是二面角 EACB 的平面角连结 EF，在EFO 中，又 PA=AB，EFFO，EOF=45EOG=135，即二面角 EACB 的大小为 135 （12 分）【点
42、评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面平行，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题21 （12 分） （2015银川模拟）已知直线 l：y=x +1，圆 O： ，直线 l 被圆截得的弦长与椭圆 C： 的短轴长相等，椭圆的离心率 e=（）求椭圆 C 的方程；（）过点 M（0， ）的动直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点 T，使得无论 l 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过定点T？若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】 （）由题设可知 b=1，利用 ，即可求得椭圆 C 的方程；（）先猜测 T 的坐标，再进行
43、验证若直线 l 的斜率存在，设其方程代入椭圆的方程，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量第 27 页（共 30 页）的坐标运算公式即可证得【解答】解：（）则由题设可知 b=1， （2 分）又 e= ， = ， a 2=2 （3 分）所以椭圆 C 的方程是 +y2=1（4 分）（）若直线 l 与 y 轴重合，则以 AB 为直径的圆是 x2+y2=1若直线 l 垂直于 y 轴，则以 AB 为直径的圆是 （6 分）由解得 由此可知所求点 T 如果存在，只能是（ 0，1） （7 分）事实上点 T（0，1）就是所求的点证明如下：当直线 l 的斜率不存在，即直线 l 与 y
44、轴重合时，以 AB 为直径的圆为 x2+y2=1，过点 T（0，1） ；当直线 l 的斜率存在，设直线方程为 ，代入椭圆方程，并整理，得（18k 2+9）x 212kx16=0（8 分）设点 A、B 的坐标分别为 A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2） ，则 x1+x2= ，x 1x2= =（ x1， y11） ， =（x 2，y 21） =x1x2+（y 11） （y 21）= （k 2+1）x 1x2 （x 1+x2）+ = ，即以 AB 为直径的圆恒过定点 T（0，1） （11 分）综上可知，在坐标平面上存在一个定点 T（0 ，1）满足条件（12 分）【点评】本小题主要考查椭圆的
45、标准方程、向量的坐标运算、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想属于中档题第 28 页（共 30 页）22 （12 分） （2016 春 习水县校级期中）已知函数 f（x）=a x+x2xlna（a 0 且a 1）（1）求函数 f（x）在点（ 0，f（0） ）处的切线方程；（2）求函数 f（x）单调区间；（3）若存在 x1，x 21，1，使得|f（x 1） f（x 2）|e 1（e 是自然对数的底数），求实数 a 的取值范围【分析】 （1）先求 f（x） ，再计算 f（0） ，和 f（0） ，即可得到切线方程；（2）先求函数的导数 f（x ）=a xlna+2
46、xlna=2x+（a x1）lna，并且 f（0）=0 ，判断零点两侧的正负，得到单调区间；（3）将存在性问题转化为|f（x 1）f（x 2）| maxe 1，即 f（x） maxf（x）mine 1，根据上一问的单调性得到最小值 f（0） ，再计算端点值 f（1）和 f（1）比较大小因为 ，再令令，求其导数，分情况比较大小，计算 a 的取值范围【解答】解：（1）因为函数 f（x ）=a x+x2xlna（a0，a 1） ，所以 f（x）=a xlna+2xlna，f（0）=0，又因为 f（0）=1，所以函数 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程为 y=1；（2）由（1） ，f（x）=a xlna+2xlna=2x+（a x1）lna当 a1 时，lna0， （a x1）lna 在 R 上递增；当 0a1 时，lna0
