1、学习目标：一、知识与技能1探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法； 2会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题； 3学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 4理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释学习过程：一、问题情景1.提问： 与 哪个大？ 2ab2.基本不等式 的几何背景：如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗
2、？二、学生活动问题 1 我们把“风车”造型抽象成上图在正方形 中有 4 个全等ABCD的直角三角形设直角三角形的长为 ，那么正方形的边长为多少？面积为ab、多少呢？问题 2 那 4 个直角三角形的面积和呢？问题 3 好，根据观察 4 个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式， .什么时候这两部分面积相等呢？来源:学优高考网 GkStK.三、建构数学1重要不等式：一般地，对于任意实数 、 ，我们有 ，当ab2ab且仅当 时，等号成立ab问题 4：你能给出它的证明吗？(学生尝试证明后口答,老师板书)注意：（1）等号成立的条件， “当且仅当”指充要条件；（2） 公式中的字母和既可
3、以是具体的数字，也可以是比较复杂的变量式，因此应用范围比较广泛问题 5：将 降次为 , 降次为 ,则由这个不等式可以得出什么结论？ab来源:GkStK.Com2基本不等式：对任意正数 、 ，有 当且仅当 时等号成ab,2abab立 来源:高考试题库 GkStK说明： 把 和 分别叫做正数 的算术平均数和几何平均数，上2b,述不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 注意：（1）基本不等式成立的条件是： ；0,ab（2）不等式证明的三种方法：比较法（证法 1） 、分析法（证法 2） 、综合法（证法 3） ；（3） 的几何解释：（如图 1）以 为直径作圆，在直径ab2 ba上取一
4、点 ， 过 作弦 ，则 ，从而 ，ABCDABCBA2 abD而半径 基本不等式 几何意义是：“半径不小于半弦” ；2ab（4）当且仅当 时，取“ ”的含义：一方面是当 时取等号，即ab；另一方面是仅当 时取等号，即 ；abab2ab（5）如果 ，那么 （当且仅当 时取“ ”） ；Rba, 22ba（6）如果把 看作是正数 、 的等差中项， 看作是正数 、 的abab等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项四、数学运用 1例题例 1 设 为正数，证明下列不等式成立：（1） ；（2）,ab ba.2a例 2 已知 为两两不相等的实数，求证： .cba, cabcba22例 3 已知 都是正数，求证 .,abcd()()4abcdabcdBC（图 1）2练习来源:学优高考网（1）已知 都是正数，求证： ；,xy233()()8xyxy（2）已知 都是正数，求证： ；abcabcabc（3）思考题：若 ，求 的最大值.0xx1五、要点归纳与方法小结六、课外作业课后练习第 2 题、第 3 题；习题 3.4 第 1 题、第 2 题、第 3 题来源:高考试题库 GkStK高考试题库
