1、1 页2016-2017 学年河南省天一大联考高三（上）段考数学试卷（文科） （2 ）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 A=x|y= ，B= 2，1，1，2，则 AB=（ ）A1 ，2 B （1，2） C 1，2 D1，+）2 （5 分）在等比数列a n中，若 a4a5a6=27，则 a1a9=（ ）A3 B6 C27 D93 （5 分）已知命题 ，则p 为（ ）A xR，x 2+4x+60 BC xR，x 2+4x+60 D4 （5 分）已知函数 f（x）= ，则 f（f （1） ）=
2、（ ）A B3 C1 D5 （5 分）已知向量 ， 的夹角为 ，且 =（3，4） ，| |=2，则|2 + |=（ ）A2 B2 C2 D846 （5 分）函数 f（x ）=|xx |的图象大致是（ ）A B C D7 （5 分）将函数 f（x ） =sin（x+ ） （0， ）图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半，再向右平移 个单位长度得到函数 y=sinx 的图象，则 ， 的值分别为（ ）A ， B2， C2， D ，8 （5 分）曲线 y=axcosx+16 在 x= 处的切线与直线 y=x+1 平行，则实数 a 的值为（ ）2 页A B C D9 （5 分）过双曲线 =1（a0，b0）
3、的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于A，B 两点，与双曲线的渐进线交于 C，D 两点，若|AB | |CD|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ，+） B ， +） C （1， D （1， 10 （5 分）设函数 f（x ） = ，若关于 x 的方程 f（x）log a（x +1）=0（a0 且 a1）在区间0，5内恰有 5 个不同的根，则实数 a 的取值范围是（ ）A （1 ， ） B （ ， +） C （ ，+） D （ ， ）11 （5 分）对于正整数 k，记 g（k）表示 k 的最大奇数因数，例如 g（1）=1，g（2）=1，g（10 ）=5设 Sn=g（1）+g（2）+g（3
4、）+g（2 n） 给出下列四个结论：g （3）+g（4）=10；mN *，都有 g（2m）=g（m） ；S 1+S2+S3=30；S nSn1=4n1，n2，n N*则其中所有正确结论的序号为（ ）A B C D12 （5 分）已知等腰直角三角形 AOB 内接于抛物线 y2=2px（p 0 ） ，O 为抛物线的顶点，OAOB，AOB 的面积为 16，F 为抛物线的焦点，N（1，0） ，若 M 是抛物线上的动点，则的最大值为（ ）A B C D二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）已知 sin+cos= ，则 sin（ 2）= 14 （5 分）已知圆 M
5、与圆 O：x 2+y2=3+2 相内切，且和 x 轴的正半轴，y 轴的正半轴都相切，则圆 M 的标准方程是 3 页15 （5 分）已知数列a n是公差不为 0 的等差数列，a 1+1，a 2+1，a 4+1 成等比数列，且a2+a3=12，则 an= 16 （5 分）在ABC 中，若 3AB=2AC，点 E，F 分别是 AC，AB 的中点，则 的取值范围为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17 （10 分）已知函数 f（ x）= sin2xcos2xm（1）求函数 f（x）的最小正周期与单调递增区间；（2）若 x ， 时，函数 f（x）
6、的最大值为 0，求实数 m 的值18 （12 分）已知圆（x1） 2+y2=25，直线 axy+5=0 与圆相交于不同的两点 A、B（1）求实数 a 的取值范围；（2）若弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P（ 2，4） ，求实数 a 的值19 （12 分）已知等差数列a n满足（a 1+a2）+（a 2+a3）+（a n+an+1）=2n（n+1） （n N*） （1）求数列a n的通项公式；（2）设 bn= ，求证： + + 120 （12 分）已知函数 f（ x）=log 2g（x）+（k 1）x（1）若 g（log 2x）=x+1，且 f（x ）为偶函数，求实数 k 的值；（2）当 k=
7、1，g（x）=ax 2+（a+1）x+a 时，若函数 f（x）的值域为 R，求实数 a 的取值范围21 （12 分）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率 e= ，且椭圆 C 经过点P（2 ，3） ，过椭圆 C 的左焦点 F1 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆 C 于 A，B 两点（1）求椭圆 C 的方程；（2）设线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G，求PF 1G 的面积 S 的取值范围22 （12 分）已知函数 f（ x）=blnx（）当 b=1 时，若函数 F（x）=f （x）+ax 2x 在其定义域上为增函数，求 a 的取值范围；（）若在1，e上存在 x0，使得 x
8、0f（x 0） 成立，求 b 的取值范围4 页2016-2017 学年河南省天一大联考高三（上）段考数学试卷（文科）（2）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分） （2016 秋 济源月考）已知集合 A=x|y= ，B=2，1，1，2，则 AB=（ ）A1 ，2 B （1，2） C 1，2 D1，+）【分析】求出 A 中 x 的范围确定出 A，找出 A 与 B 的交集即可【解答】解：由 A 中 y= ，得到 x10，解得：x1，即 A=1，+） ，B=2，1，1，2，AB=1，2，故选
9、：A【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2 （5 分） （2016 秋 济源月考）在等比数列a n中，若 a4a5a6=27，则 a1a9=（ ）A3 B6 C27 D9【分析】直接根据等比数列中的：m+n=p+q aman=apaq 这一结论即可得到答案【解答】解：在等比数列a n中，a 4a5a6=27，a 4a6=a5a5，（a 5） 3=27，a 5=3，a 1a9=a5a5=9，故选 D【点评】本题主要考查等比数列的性质：若 m+n=p+q，则 aman=apaq是对基础知识和计算能力的考查5 页3 （5 分） （2016 秋 济源月考）已知命题 ，则p
10、为（ ）A xR，x 2+4x+60 BC xR，x 2+4x+60 D【分析】运用特称命题的否定是全称命题，即可得到【解答】解：命题 ，则p 为xR ，x 2+4x+60故选：A【点评】本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的互化，属于基础题4 （5 分） （2016 秋 济源月考）已知函数 f（x）= ，则 f（f（1） ）=（ ）A B3 C1 D【分析】利用分段函数的解析式，逐步求解函数值即可【解答】解：函数 f（x） = ，则 f（f（1） ）=f（lg1 ）=f（0）=3 01= 故选：A【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力5 （5 分） （2016 秋
11、济源月考）已知向量 ， 的夹角为 ，且 =（3， 4） ，| |=2，则|2 + |=（ ）A2 B2 C2 D84【分析】根据平面向量的数量积公式计算模长即可【解答】解：向量 ， 的夹角为 ，且 =（3， 4） ，| |= =5，又| |=2， =4 +4 +6 页=452+452cos +22=84，|2 + |= =2 故选：C【点评】本题考查了平面向量的数量积应用问题，是基础题目6 （5 分） （2016 秋 济源月考）函数 f（x）= |xx |的图象大致是（ ）A B C D【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数零点的个数，利用排除法，可得答案【解答】解：令 f（x）=|xx |
12、=0，即 x=x ，解得：x=1，或 x=0，故函数 f（x ）=|xx |有三个零点，故排除 A，B，C ，故选：D【点评】本题考查的知识点是零点的个数，函数的图象，难度不大，属于基础题7 （5 分） （2016 秋 济源月考）将函数 f（x）=sin（x +） （0， ）图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半，再向右平移 个单位长度得到函数 y=sinx 的图象，则， 的值分别为（ ）A ， B2， C2， D ，【分析】根据三角函数的图象平移变换关系进行逆推即可得到结论【解答】解：将 y=sinx 的图象向左平移 个单位长度定点 y=sin（x+ ） ，然后图象上所有点的横坐标伸长为原来的
13、 2 得 y=sin（ x+ ） ，7 页f（ x）=sin（x+） ，= ，= ，故选：A【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，根据三角函数的图象变换关系，利用逆推法是解决本题的关键8 （5 分） （2016 秋 济源月考）曲线 y=axcosx+16 在 x= 处的切线与直线 y=x+1 平行，则实数 a 的值为（ ）A B C D【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a 的值【解答】解：y=axcosx +16 的导数为 y=a（cosxxsinx） ，可得在 x= 处的切线斜率为 a（cos sin ）= a，由切线与直线 y=x+1 平行
14、，可得 a=1，解得 a= 故选：A【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，正确求导和运用两直线平行的条件是解题的关键，属于基础题9 （5 分） （2016 秋 济源月考）过双曲线 =1（a 0，b0）的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，与双曲线的渐进线交于 C，D 两点，若|AB | |CD|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ，+） B ， +） C （1， D （1， 【分析】将 x=c 代入 =1 和 y= x，求出 A，B，C，D 的坐标，由两点之间的距离公式8 页求得|AB|，|CD|，由|AB | |CD|，求得 a 和 c 的关系，
15、根据离心率公式，即可求得离心率的取值范围【解答】解：当 x=c 时代入 =1 得 y= ，则 A（c， ） ，B（c ， ） ，则AB= ，将 x=c 代入 y= x 得 y= ，则 C（c， ） ，D（c， ） ，则|CD|= ，|AB| |CD| ，即 b c，则 b2 c2=c2a2，即 c2a 2，则 e2= ，则 e ，故选：B【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据方程求出交点坐标，结合距离公式进行求解是解决本题的关键，属于中档题10 （5 分） （2016 秋 昭通期末）设函数 f（x）= ，若关于 x 的方程f（x）log a（x+1）=0 （a 0 且 a1）在区间0，5
16、 内恰有 5 个不同的根，则实数 a 的取值范围是（ ）A （1 ， ） B （ ， +） C （ ，+） D （ ， ）【分析】画出函数的图象，利用数形结合，推出不等式，即可得到结果【解答】解：函数 f（x） = ，x 在区间1，5上的图象如图：关于 x 的方程 f（x）log a（x +1）=0（a0 且 a1）在区间0，5内恰有 5 个不同的根，就是f（x）=log a（ x+1）恰有 5 个不同的根，9 页函数 y=f（x）与函数 y=loga（x +1）恰有 5 个不同的交点，由图象可得： ，解得 a 故选：C【点评】本题考查函数零点个数的判断，考查数形结合，分析问题解决问题的能力1
17、1 （5 分） （2016 秋 济源月考）对于正整数 k，记 g（k ）表示 k 的最大奇数因数，例如g（ 1）=1，g （2）=1 ，g （10）=5设 Sn=g（1）+g（2）+g（3）+g （2 n） 给出下列四个结论：g （3）+g（4）=10；mN *，都有 g（2m）=g（m） ；S 1+S2+S3=30；S nSn1=4n1，n2，n N*则其中所有正确结论的序号为（ ）A B C D【分析】根据已知中 g（ k）表示 k 的最大奇数因数， Sn=g（1）+g（2）+g （3）+g（2 n） 逐一分析四个结论的真假，可得答案【解答】解：g（k ）表示 k 的最大奇数因数，S n=
18、g（1）+g（2）+g （3）+g（2 n） g （ 3）+ g（4）=3+1=410，故错误；mN *，都有 g（2m）=g（m） ，故正确；S 1+S2+S3=（1+1）+（1+1+3+1）+（1+1+3+1+5+3+7+1）=30，故正确；10 页当 n2 时，Sn=g（1）+g（2）+g（3）+g （4）+g（2 n1）+g（2 n）=g（1）+g（ 3）+g（5） +g（2 n1）+g（2）+g（4）+g （2 n）=1+3+5+（ 2n1）+g（21）+g（22）+g（2 2n1）= +g（1）+g（2）+g（2 n1）=4 n1+Sn1，于是 SnSn1=4n1，n2，n N*故
19、正确；故选：B【点评】本题考查新定义，考查数列的求和，解题的关键是正确理解新定义，正确求数列的和是关键12 （5 分） （2016 秋 济源月考）已知等腰直角三角形 AOB 内接于抛物线 y2=2px（p0） ，O为抛物线的顶点，OAOB，AOB 的面积为 16， F 为抛物线的焦点，N（1，0） ，若 M 是抛物线上的动点，则 的最大值为（ ）A B C D【分析】设等腰直角三角形 OAB 的顶点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，利用 OA=OB 可求得 x1=x2，进而可求得 AB=4p，从而可得 SOAB 设过点 N 的直线方程为 y=k（x+1） ，代入 y2=4x，过
20、 M作准线的垂线，垂足为 A，则|MF |=|MA|，考虑直线与抛物线相切及倾斜角为 0，即可得出结论【解答】解：设等腰直角三角形 OAB 的顶点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则y12=2px1，y 22=2px2，由 OA=OB 得：x 12+y12=x22+y22，x 12x22+2px12px2=0，即（x 1x2） （x 1+x2+2p）=0 ，x 10，x 20，2p0，x 1=x2，即 A，B 关于 x 轴对称直线 OA 的方程为：y=xtan45=x ，由 解得 或 ，故 AB=4p，11 页S OAB = 2p4p=4p2AOB 的面积为 16，p=2 ，设
21、过点 N 的直线方程为 y=k（x+1） ，代入 y2=4x 可得 k2x2+（2k 24）x+k 2=0，由=（2k 24） 24k4=0，可得 k=1，此时直线的倾斜角为 45过 M 作准线的垂线，垂足为 A，则|MF|=|MA|， =直线的倾斜角为 45或 135时， 取得最大值 故选：C【点评】本题考查抛物线的简单性质，求得 A，B 关于 x 轴对称是关键，考查抛物线的定义，正确运用抛物线的定义是关键，属于中档题二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分） （2016 秋 济源月考）已知 sin+cos= ，则 sin（2 ）= 【分析】将 sin+c
22、os= 平方求得 2sincos= ，然后由诱导公式和二倍角公式进行求值【解答】解：由 sin+cos= ，得（sin+cos） 2= ，则 2sincos= ，sin （2）=sin2=2sincos= ，故答案是： 12 页【点评】本题考查了三角函数的化简求值，注意二倍角公式的应用14 （5 分） （2016 秋 济源月考）已知圆 M 与圆 O：x 2+y2=3+2 相内切，且和 x 轴的正半轴，y 轴的正半轴都相切，则圆 M 的标准方程是 （x 1） 2+（y 1） 2=1 【分析】设出圆心坐标与半径，利用两个圆内切，列出方程求出圆心坐标与半径，即可求出所求圆的方程【解答】解：圆 O：x
23、 2+y2=3+2 ，即圆心坐标（0 ，0） ，半径为 +1设圆 M 的圆心坐标（ a，a） ，半径为 a（a0） ，因为圆 M 与圆 O：x 2+y2=3+2 相内切，所以 a= +1a，所以 a=1所以所求圆 C 的方程为：（ x1） 2+（y 1） 2=1故答案为：（x1） 2+（y1） 2=1【点评】本题考查两个圆的位置关系，直线与圆相切关系的应用，考查计算能力15 （5 分） （2016 秋 济源月考）已知数列a n是公差不为 0 的等差数列，a 1+1，a 2+1，a 4+1成等比数列，且 a2+a3=12，则 an= 2n1 【分析】由等差数列通项公式和等比数列性质，列出方程组，
24、求出首项和公差，由此能求出an【解答】解：数列a n是公差不为 0 的等差数列，a1+1， a2+1， a4+1 成等比数列，且 a2+a3=12， ，解得 a1=3，d=2，an=3+（ n1） （2）= 2n1故答案为：2n1【点评】本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、13 页等比数列的性质的合理运用16 （5 分） （2016 秋 济源月考）在ABC 中，若 3AB=2AC，点 E，F 分别是 AC，AB 的中点，则 的取值范围为 （ ， ） 【分析】设 AB=c，AC=b ，BC=a ，利用中线长定理可得 c2+a2=2BE2+ ，b 2+a2=2C
25、F2+ ，由于3c=2b可得 = = ，利用三角形三边大小关系可得：ab+c，且a+cb，即可得出【解答】解：设 AB=c，AC=b，BC=a ，E 、F 分别是 AC，AB 的中点，c 2+a2=2BE2+ ，b 2+a2=2CF2+ ，3AB=2AC，即 3c=2b2BE 2=a2 ，2CF2=a2+ = = = ，a b +c，且 a+cb， ，且 3 （ ） 29 （ ， ） （ ， ） 故答案为：（ ， ） 14 页【点评】本题考查了余弦定理、中线长定理、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程
26、或演算步骤. ）17 （10 分） （2016 秋 济源月考）已知函数 f（x）= sin2xcos2xm（1）求函数 f（x）的最小正周期与单调递增区间；（2）若 x ， 时，函数 f（x）的最大值为 0，求实数 m 的值【分析】 （1）化简 f（x） ，求出 f（x）在最小正周期，解不等式，求出函数的递增区间即可；（2）根据 x 的范围，求出 2x 的范围，得到关于 m 的方程，解出即可【解答】解：（1）f（x） = sin2xcos2xm= sin2x cos2x m=sin（2x ） m ，则函数 f（x ）的最小正周期 T=，根据 +2k2x +2k，k Z，得 +kx +k，kZ，
27、所以函数 f（x）的单调递增区间为 +k， +k，kZ ；（2）因为 x ， ，所以 2x ， ，则当 2x = ，即 x= 时，函数取得最大值 0，即 1m =0，解得：m= 【点评】本题考查了三角函数的周期和函数的单调区间，考查函数的最值问题，是一道中档题18 （12 分） （2016 秋 济源月考）已知圆（x1） 2+y2=25，直线 axy+5=0 与圆相交于不同的两15 页点 A、B（1）求实数 a 的取值范围；（2）若弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P（ 2，4） ，求实数 a 的值【分析】 （1）由题设知 5，即可求实数 a 的取值范围；（2）若弦 AB 的垂直平分线 l 过点
28、 P（ 2，4） ，P （2，4）代入 axy+5=0 可求实数 a 的值【解答】解：（1）由题设知 5，故 12a25a0，所以，a0，或 a 故实数 a 的取值范围为（，0）（ ，+） ；（2）P （2，4）代入 axy+5=0 可得 2a4+5=0，a= 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点与直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题19 （12 分） （2016 秋 济源月考）已知等差数列a n满足（a 1+a2）+（a 2+a3）+（a n+an+1）=2n（n+1） （nN *） （1）求数列a n的通项公式；（2）设 bn= ，求证： + + 1【分析】 （1）由 n=
29、1 时，a 1+a2=4，当 n=2 时，a 1+a2+a2+a3=12，4a 2=12，a 2=3，即可求得a1=1，则 d=a2a1=2，根据等差数列的通项公式即可求得 an=2n1；（2）由（1）可知：b n= = ，采用“裂项法”即可求得 + + =11【解答】解：（1）设等差数列a n的公差为 d，当 n=1 时，a 1+a2=4，当 n=2 时，a 1+a2+a2+a3=12，即 4a2=12，a 2=3，a 1=1，d=a2a1=2，16 页等差数列a n的通项公式 an=1+2（n 1）=2n1；a n=2n1；（2）证明：由（1）得 bn= = ， = = ， + + =（1
30、 ）+（ ）+（ ） ，=1 + + ，=1 1， + + 1 【点评】本题考查等差数列的性质及通项公式，考查“裂项法”求数列的前 n 项和，考查计算能力，属于中档题20 （12 分） （2016 秋 济源月考）已知函数 f（x）=log 2g（x）+（k1）x（1）若 g（log 2x）=x+1，且 f（x ）为偶函数，求实数 k 的值；（2）当 k=1，g（x）=ax 2+（a+1）x+a 时，若函数 f（x）的值域为 R，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）令 t=log2x，则 x=2t，代入 g（log 2x）=x +1，求得函数 f（x）的解析式，由f（x）=f（x） ，代入即可
31、求得 k 的取值范围；（2）k=1，f（ x）=log 2ax2+（a+1）x+a，当 a0 时， ，求得 0a 1，当 a=0 时，f（x）=log 2x，函数 f（x）的值域为 R，即可求得实数 a 的取值范围【解答】解：（1）令 t=log2x，则 x=2t，代入 g（log 2x）=x +1，g （t）=2 t+1，f（ x）=log 2（2 x+1）+（k1）x，由函数 f（x ）为偶函数，f（ x）=f（x） ，log 2（2 x+1）+（k1 ）x=log 2（2 x+1） （k 1）x ，x=2（k1）x，对一切 xR 恒成立，17 页2（k 1）=1，k= ，（2）k=1，f
32、（ x）=log 2ax2+（a+1）x+a，当 a0 时，要使函数 f（x ）的值域为 R，要求一元二次方程：ax 2+（a+1）x +a=0， ，即 ，解得：0a1，当 a=0 时，f （x）=log 2x，函数 f（x ）的值域为 R，综合可知：实数 a 的取值范围0，1【点评】本题考查复合函数的单调性及奇偶性的判断，考查函数性质的综合应用，考查换元法及一元二次方程判别式的应用，属于中档题21 （12 分） （2016 秋 济源月考）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率 e=，且椭圆 C 经过点 P（2，3） ，过椭圆 C 的左焦点 F1 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆
33、 C 于A，B 两点（1）求椭圆 C 的方程；（2）设线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G，求PF 1G 的面积 S 的取值范围【分析】 （1）设椭圆的标准方程为： （ab 0） ，e= = ，即a=2c，b 2=a2c2=3c2，将点 P（2，3） ，代入即可求得 a 和 b 的值，求得椭圆 C 的方程；（2）设直线 AB 方程为 y=k（x+2） ，代入椭圆方程，由韦达定理及中点坐标公式求得 M（， ） ，求得 MG 的方程为 y= （xx 0） ，由 xG（ ，0） ， = 丨 F1G 丨丨yP 丨 = 丨 xG+2 丨，即可求得PF 1G 的面积 S 的取值范围【解答】解：（1
34、）由题意可知：焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为：（ab0） ，由椭圆的离心率 e= = ，即 a=2c，18 页b2=a2c2=3c2，将 P（ 2，3）代入椭圆方程： ，解得：c 2=4，a 2=16，b 2=12，椭圆的标准方程为： ；（2）设直线 AB 方程为 y=k（x+2） ，A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2） ，AB 中点 M（x 0，y 0） ， ，整理得：（3+4k 2）x 2+16k2x+16（k 23）=0，由0，由韦达定理可知：x 1+x2= ，x 1x2= ，则 x0= = ，y 0=k（x 0+2）= ，M（ ， ） ，线段 AB 的垂直平分线 MG
35、的方程为 y= （x x0） ，令 y=0，得 xG=x0+ky0= + = ，由 k0 ， x G0，由 = 丨 F1G 丨 丨 yP 丨= 丨 xG+2 丨，x G（ ，0 ） ，S 求PF 1G 的面积的取值范围是（ ，3） 【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式及三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中档题22 （12 分） （2016 秋 济源月考）已知函数 f（x）=blnx19 页（）当 b=1 时，若函数 F（x）=f （x）+ax 2x 在其定义域上为增函数，求 a 的取值范围；（）若在1，e上存在 x0，使得 x
36、0f（x 0） 成立，求 b 的取值范围【分析】 （）求出函数 F（x ）的导数，问题转化为 2a = + 在x（0，+）上恒成立，求出 a 的范围即可；（）设 h（x）=x blnx+ ，问题转化为函数 h（x）=xblnx+ 在1 ，e上的最小值小于零，通过讨论 b 的范围，求出 h（x）的单调区间，从而进一步确定 b 的范围即可【解答】解：（）b=1 时，F （x）=f （x）+ax 2x=lnx+ax2x，x （0 ，+） ，F（ x）= +2ax10 在 x（0，+）恒成立，则 2a = + 在 x（0，+）上恒成立，2a ，a ；（）设 h（x）=x blnx+ ，若在1，e上存在
37、 x0，使得 x0f（x 0） ，即 x0blnx0+ 0 成立，则只需要函数 h（x）=x blnx+ 在1 ，e 上的最小值小于零又 h（x ）=1 = ，令 h（x ）=0，得 x=1（舍去）或 x=1+b当 1+be，即 be1 时，h （x ）在1，e 上单调递减，故 h（x）在1，e上的最小值为 h（e） ，由 h（e）=e+ b0，可得 b ，因为 e1，所以 b ；当 1+b1，即 b0 时，h（x）在1，e上单调递增，故 h（x）在1，e上的最小值为 h（1） ，由 h（1） =1+1+b0，可得 b2（满足 b0） 20 页当 11+be，即 0be 1 时，h （x ）在（1，1+b）上单调递减，在（1+b ，e ）上单调递增，故 h（x）在1，e上的最小值为 h（1+b）=2+b bln（1+b） 因为 0ln（1+b）1，所以 0bln （1+b ）b，所以 2+bbln（1+b）2，即 h（1+b ）2，不满足题意，舍去综上可得 b2 或 b ，所以实数 b 的取值范围为（ ，2）（ ， +） 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题21 页2017 年 2 月 14 日
