1、2016-2017 学年河南省天一大联考高三（上）段考数学试卷（理科） （2 ）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 A=x|y= ，B= 2，1，1，2，则 AB=（ ）A1 ，2 B （1，2） C 1，2 D1，+）2 （5 分）在等比数列a n中，若 a4a5a6=27，则 a1a9=（ ）A3 B6 C27 D93 （5 分）已知命题 ，则p 为（ ）A xR，x 2+4x+60 BC xR，x 2+4x+60 D4 （5 分）设函数 f（x ） = 则 的值为（ ）A1 B0 C
2、2 D25 （5 分）已知向量 ， 的夹角为 ，且 =（3，4） ，| |=2，则|2 + |=（ ）A2 B2 C2 D846 （5 分）函数 f（x ）=|xx |的图象大致是（ ）A B C D7 （5 分）将函数 f（x ） =sin（x+ ） （0， ）图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半，再向右平移 个单位长度得到函数 y=sinx 的图象，则 ， 的值分别为（ ）A ， B2， C2， D ，8 （5 分）曲线 y=axcosx+16 在 x= 处的切线与直线 y=x+1 平行，则实数 a 的值为（ ）A B C D9 （5 分）过双曲线 =1（a0，b0）的右焦点且垂直于 x
3、轴的直线与双曲线交于A，B 两点，与双曲线的渐进线交于 C，D 两点，若|AB | |CD|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ，+） B ， +） C （1， D （1， 10 （5 分）设函数 f（x ） = ，若关于 x 的方程 f（x）log a（x +1）=0（a0 且 a1）在区间0，5内恰有 5 个不同的根，则实数 a 的取值范围是（ ）A （1 ， ） B （ ， +） C （ ，+） D （ ， ）11 （5 分）对于正整数 k，记 g（k）表示 k 的最大奇数因数，例如 g（1）=1，g（2）=1，g（10 ）=5设 Sn=g（1）+g（2）+g（3）+g（2 n） 给出
4、下列四个结论：g （3）+g（4）=10；mN *，都有 g（2m）=g（m） ；S 1+S2+S3=30；S nSn1=4n1，n2，n N*则其中所有正确结论的序号为（ ）A B C D12 （5 分）等腰直角三角形 AOB 内接于抛物线 y2=2px（p 0 ） ，O 为抛物线的顶点，OAOB，AOB 的面积是 16，抛物线的焦点为 F，若 M 是抛物线上的动点，则 的最大值为（ ）A B C D二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）已知 sin+cos= ，则 sin（ 2）= 14 （5 分）过点 C（3，4）作圆 x2+y2=5 的两条切线，
5、切点分别为 A、B ，则点 C 到直线 AB的距离为 15 （5 分）已知数列a n是公差不为 0 的等差数列，a 1+1，a 2+1，a 4+1 成等比数列，且a2+a3=12，则 an= 16 （5 分）在ABC 中，若 3sinC=2sinB，点 E，F 分别是 AC，AB 的中点，则 的取值范围为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17 （10 分）已知函数 f（ x）= sin2xcos2xm（1）求函数 f（x）的最小正周期与单调递增区间；（2）若 x ， 时，函数 f（x）的最大值为 0，求实数 m 的值18 （12 分）已
6、知圆（x1） 2+y2=25，直线 axy+5=0 与圆相交于不同的两点 A、B（1）求实数 a 的取值范围；（2）若弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P（ 2，4） ，求实数 a 的值19 （12 分）已知等差数列a n满足（a 1+a2）+（a 2+a3）+（a n+an+1）=2n（n+1） （n N*） （1）求数列a n的通项公式；（2）求数列 的前 n 项和 Sn20 （12 分）已知函数 f（ x）=log 2g（x）+（k 1）x（1）若 g（log 2x）=x+1，且 f（x ）为偶函数，求实数 k 的值；（2）当 k=1，g（x）=ax 2+（a+1）x+a 时，若函数 f
7、（x）的值域为 R，求实数 a 的取值范围21 （12 分）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率 e= ，且椭圆 C 经过点P（2 ，3） ，过椭圆 C 的左焦点 F1 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆 C 于 A，B 两点（1）求椭圆 C 的方程；（2）设线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G，求PF 1G 的面积 S 的取值范围22 （12 分）已知函数 f（ x）=blnx（1）当 b=1 时，求函数 G（x）=x 2xf（x ）在区间 上的最大值与最小值；（2）若在1，e上存在 x0，使得 x0f（x 0） 成立，求 b 的取值范围2016-2017 学年河南省天
8、一大联考高三（上）段考数学试卷（理科）（2）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分） （2016 秋 济源月考）已知集合 A=x|y= ，B=2，1，1，2，则 AB=（ ）A1 ，2 B （1，2） C 1，2 D1，+）【分析】求出 A 中 x 的范围确定出 A，找出 A 与 B 的交集即可【解答】解：由 A 中 y= ，得到 x10，解得：x1，即 A=1，+） ，B=2，1，1，2，AB=1，2，故选：A【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2 （5
9、分） （2016 秋 济源月考）在等比数列a n中，若 a4a5a6=27，则 a1a9=（ ）A3 B6 C27 D9【分析】直接根据等比数列中的：m+n=p+q aman=apaq 这一结论即可得到答案【解答】解：在等比数列a n中，a 4a5a6=27，a 4a6=a5a5，（a 5） 3=27，a 5=3，a 1a9=a5a5=9，故选 D【点评】本题主要考查等比数列的性质：若 m+n=p+q，则 aman=apaq是对基础知识和计算能力的考查3 （5 分） （2016 秋 济源月考）已知命题 ，则p 为（ ）A xR，x 2+4x+60 BC xR，x 2+4x+60 D【分析】运用
10、特称命题的否定是全称命题，即可得到【解答】解：命题 ，则p 为xR ，x 2+4x+60故选：A【点评】本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的互化，属于基础题4 （5 分） （2016 秋 沙市区校级期末）设函数 f（ x）= 则 的值为（ ）A1 B0 C2 D2【分析】由已知先求出 f（13）=f（9）=log 39=2，f（ ）=log 3 =1，由此能求出【解答】解：函数 f（x ）= ，f（ 13）=f（9）=log 39=2，f（ ） =log3 =1，=2+2（1）=0故选：B【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用5 （5 分） （
11、2016 秋 济源月考）已知向量 ， 的夹角为 ，且 =（3， 4） ，| |=2，则|2 + |=（ ）A2 B2 C2 D84【分析】根据平面向量的数量积公式计算模长即可【解答】解：向量 ， 的夹角为 ，且 =（3， 4） ，| |= =5，又| |=2， =4 +4 +=452+452cos +22=84，|2 + |= =2 故选：C【点评】本题考查了平面向量的数量积应用问题，是基础题目6 （5 分） （2016 秋 济源月考）函数 f（x）= |xx |的图象大致是（ ）A B C D【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数零点的个数，利用排除法，可得答案【解答】解：令 f（x）=|
12、xx |=0，即 x=x ，解得：x=1，或 x=0，故函数 f（x ）=|xx |有三个零点，故排除 A，B，C ，故选：D【点评】本题考查的知识点是零点的个数，函数的图象，难度不大，属于基础题7 （5 分） （2016 秋 济源月考）将函数 f（x）=sin（x +） （0， ）图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半，再向右平移 个单位长度得到函数 y=sinx 的图象，则， 的值分别为（ ）A ， B2， C2， D ，【分析】根据三角函数的图象平移变换关系进行逆推即可得到结论【解答】解：将 y=sinx 的图象向左平移 个单位长度定点 y=sin（x+ ） ，然后图象上所有点的横坐标伸长
13、为原来的 2 得 y=sin（ x+ ） ，f（ x）=sin（x+） ，= ，= ，故选：A【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，根据三角函数的图象变换关系，利用逆推法是解决本题的关键8 （5 分） （2016 秋 济源月考）曲线 y=axcosx+16 在 x= 处的切线与直线 y=x+1 平行，则实数 a 的值为（ ）A B C D【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a 的值【解答】解：y=axcosx +16 的导数为 y=a（cosxxsinx） ，可得在 x= 处的切线斜率为 a（cos sin ）= a，由切线与直线 y=x+1 平
14、行，可得 a=1，解得 a= 故选：A【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，正确求导和运用两直线平行的条件是解题的关键，属于基础题9 （5 分） （2016 秋 济源月考）过双曲线 =1（a 0，b0）的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，与双曲线的渐进线交于 C，D 两点，若|AB | |CD|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ，+） B ， +） C （1， D （1， 【分析】将 x=c 代入 =1 和 y= x，求出 A，B，C，D 的坐标，由两点之间的距离公式求得|AB|，|CD|，由|AB | |CD|，求得 a 和 c 的关系，根据
15、离心率公式，即可求得离心率的取值范围【解答】解：当 x=c 时代入 =1 得 y= ，则 A（c， ） ，B（c ， ） ，则AB= ，将 x=c 代入 y= x 得 y= ，则 C（c， ） ，D（c， ） ，则|CD|= ，|AB| |CD| ，即 b c，则 b2 c2=c2a2，即 c2a 2，则 e2= ，则 e ，故选：B【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据方程求出交点坐标，结合距离公式进行求解是解决本题的关键，属于中档题10 （5 分） （2016 秋 昭通期末）设函数 f（x）= ，若关于 x 的方程f（x）log a（x+1）=0 （a 0 且 a1）在区间0，5 内
16、恰有 5 个不同的根，则实数 a 的取值范围是（ ）A （1 ， ） B （ ， +） C （ ，+） D （ ， ）【分析】画出函数的图象，利用数形结合，推出不等式，即可得到结果【解答】解：函数 f（x） = ，x 在区间1，5上的图象如图：关于 x 的方程 f（x）log a（x +1）=0（a0 且 a1）在区间0，5内恰有 5 个不同的根，就是f（x）=log a（ x+1）恰有 5 个不同的根，函数 y=f（x）与函数 y=loga（x +1）恰有 5 个不同的交点，由图象可得： ，解得 a 故选：C【点评】本题考查函数零点个数的判断，考查数形结合，分析问题解决问题的能力11 （5
17、分） （2016 秋 济源月考）对于正整数 k，记 g（k ）表示 k 的最大奇数因数，例如g（ 1）=1，g （2）=1 ，g （10）=5设 Sn=g（1）+g（2）+g（3）+g （2 n） 给出下列四个结论：g （3）+g（4）=10；mN *，都有 g（2m）=g（m） ；S 1+S2+S3=30；S nSn1=4n1，n2，n N*则其中所有正确结论的序号为（ ）A B C D【分析】根据已知中 g（ k）表示 k 的最大奇数因数， Sn=g（1）+g（2）+g （3）+g（2 n） 逐一分析四个结论的真假，可得答案【解答】解：g（k ）表示 k 的最大奇数因数，S n=g（1）+
18、g（2）+g （3）+g（2 n） g （ 3）+ g（4）=3+1=410，故错误；mN *，都有 g（2m）=g（m） ，故正确；S 1+S2+S3=（1+1）+（1+1+3+1）+（1+1+3+1+5+3+7+1）=30，故正确；当 n2 时，Sn=g（1）+g（2）+g（3）+g （4）+g（2 n1）+g（2 n）=g（1）+g（ 3）+g（5） +g（2 n1）+g（2）+g（4）+g （2 n）=1+3+5+（ 2n1）+g（21）+g（22）+g（2 2n1）= +g（1）+g（2）+g（2 n1）=4 n1+Sn1，于是 SnSn1=4n1，n2，n N*故正确；故选：B【点
19、评】本题考查新定义，考查数列的求和，解题的关键是正确理解新定义，正确求数列的和是关键12 （5 分） （2016 秋 河南月考）等腰直角三角形 AOB 内接于抛物线 y2=2px（p0） ，O 为抛物线的顶点，OAOB，AOB 的面积是 16，抛物线的焦点为 F，若 M 是抛物线上的动点，则 的最大值为（ ）A B C D【分析】设等腰直角三角形 OAB 的顶点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，利用 OA=OB 可求得 x1=x2，进而可求得 AB=4p，从而可得 SOAB 设过点 N 的直线方程为 y=k（x+1） ，代入 y2=4x，过 M作准线的垂线，垂足为 A，则|MF
20、 |=|MA|，考虑直线与抛物线相切及倾斜角为 0，即可得出p设 M 到准线的距离等于 d，由抛物线的定义，化简为 = = = ，换元，利用基本不等式求得最大值【解答】解：设等腰直角三角形 OAB 的顶点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则y12=2px1，y 22=2px2由 OA=OB 得：x 12+y12=x22+y22，x 12x22+2px12px2=0，即（x 1x2） （x 1+x2+2p）=0 ，x 10，x 20，2p0，x 1=x2，即 A，B 关于 x 轴对称直线 OA 的方程为：y=xtan45=x ，与抛物线联立，解得 或 ，故 AB=4p，S OAB
21、 = 2p4p=4p2AOB 的面积为 16，p=2 ；焦点 F（ ，0） ，设 M（m，n） ，则 n2=2m，m0 ，设 M 到准线 x= 的距离等于 d，则 = = = 令 m =t，t ，则 m=t+ ，= （当且仅当 t= 时，等号成立） 故 的最大值为 ，故选 C【点评】本题考查抛物线的简单性质，求得 A，B 关于 x 轴对称是关键，考查抛物线的定义，基本不等式的应用，体现了换元的思想，正确运用抛物线的定义是关键，属于难题二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分） （2016 秋 济源月考）已知 sin+cos= ，则 sin（2 ）= 【分析】
22、将 sin+cos= 平方求得 2sincos= ，然后由诱导公式和二倍角公式进行求值【解答】解：由 sin+cos= ，得（sin+cos） 2= ，则 2sincos= ，sin （2）=sin2=2sincos= ，故答案是： 【点评】本题考查了三角函数的化简求值，注意二倍角公式的应用14 （5 分） （2016 秋 河南月考）过点 C（3，4）作圆 x2+y2=5 的两条切线，切点分别为A、B ，则点 C 到直线 AB 的距离为 2 【分析】由圆的切线性质以及直角三角形中的边角关系可得 cosACO= ，CA=2 ，根据三角函数得出结论【解答】解：如图所示：直角三角形 CAO 中，CO
23、=5，半径 OA= ，cosACO= ，CA=2 设点 C 到直线 AB 的距离为 h=CD，直角三角形 ACD 中，cosACO= ，CD=CAcosACO=2 =2，故答案为 2【点评】本题考查直线和圆的位置关系，直角三角形中的边角关系，求出cosACO= ，CA=2 是解题的关键15 （5 分） （2016 秋 济源月考）已知数列a n是公差不为 0 的等差数列，a 1+1，a 2+1，a 4+1成等比数列，且 a2+a3=12，则 an= 2n1 【分析】由等差数列通项公式和等比数列性质，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出an【解答】解：数列a n是公差不为 0 的等差数列，a1+
24、1， a2+1， a4+1 成等比数列，且 a2+a3=12， ，解得 a1=3，d=2，an=3+（ n1） （2）= 2n1故答案为：2n1【点评】本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用16 （5 分） （2016 秋 河南月考）在ABC 中，若 3sinC=2sinB，点 E，F 分别是 AC，AB 的中点，则 的取值范围为 【分析】由已知及正弦定理得 AC= AB，AE= AC，AF= ，由余弦定理可求BE2= AB2 AB2cosA，CF 2= AB2 AB2cosA，从而化简可得 = ，结合范围cosA（1，1） ，可求 的
25、取值范围【解答】解：3sinC=2sinB，可得：3AB=2AC ，即：AC= AB，又点 E，F 分别是 AC，AB 的中点，AE= AC，AF= ，在ABE 中，由余弦定理可得：BE 2=AB2+AE22ABAEcosA=AB2+（ AB） 22AB ABcosA= AB2 AB2cosA，在ACF 中，由余弦定理可得：CF 2=AF2+AC22AFACcosA=（ AB） 2+（ AB） 22 AB ABcosA= AB2 AB2cosA， = = ，A （0，） ，cosA （1，1） ，可得： （ ， ） ，可得： = 故答案为： 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，不等式的解
26、法在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17 （10 分） （2016 秋 济源月考）已知函数 f（x）= sin2xcos2xm（1）求函数 f（x）的最小正周期与单调递增区间；（2）若 x ， 时，函数 f（x）的最大值为 0，求实数 m 的值【分析】 （1）化简 f（x） ，求出 f（x）在最小正周期，解不等式，求出函数的递增区间即可；（2）根据 x 的范围，求出 2x 的范围，得到关于 m 的方程，解出即可【解答】解：（1）f（x） = sin2xcos2xm= sin2x
27、cos2x m=sin（2x ） m ，则函数 f（x ）的最小正周期 T=，根据 +2k2x +2k，k Z，得 +kx +k，kZ，所以函数 f（x）的单调递增区间为 +k， +k，kZ ；（2）因为 x ， ，所以 2x ， ，则当 2x = ，即 x= 时，函数取得最大值 0，即 1m =0，解得：m= 【点评】本题考查了三角函数的周期和函数的单调区间，考查函数的最值问题，是一道中档题18 （12 分） （2016 秋 济源月考）已知圆（x1） 2+y2=25，直线 axy+5=0 与圆相交于不同的两点 A、B（1）求实数 a 的取值范围；（2）若弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P（
28、 2，4） ，求实数 a 的值【分析】 （1）由题设知 5，即可求实数 a 的取值范围；（2）若弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P（ 2，4） ，P （2，4）代入 axy+5=0 可求实数 a 的值【解答】解：（1）由题设知 5，故 12a25a0，所以，a0，或 a 故实数 a 的取值范围为（，0）（ ，+） ；（2）P （2，4）代入 axy+5=0 可得 2a4+5=0，a= 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点与直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题19 （12 分） （2016 秋 河南月考）已知等差数列a n满足（a 1+a2）+（a 2+a3）+（a n+an+
29、1）=2n（n+1） （nN*） （1）求数列a n的通项公式；（2）求数列 的前 n 项和 Sn【分析】 （1）根据数列的递推公式求出公差 d，即可求出数列a n的通项公式，（2）根据错位相减法即可求出前 n 项和【解答】解：（a 1+a2）+（a 2+a3）+ +（a n+an+1） =2n（n +1） ，（a 1+a2）+（a 2+a3）+（a n1+an）=2n（n 1） ，由可得，a n+an+1=4n，令 n=n1，可得 an+an1=4（n 1） ，由可得 2d=4，d=2，a 1+a2=4，a 1=1，a n=1+2（n 1）=2n 1，（2） =（2n1）（ ） n1，S n
30、=1（ ） 0+3（ ） 1+5（ ） 2+（2n1）（ ） n1， Sn=1（ ） 1+3（ ） 2+5（ ） 3+（2n3） （ ） n+（2n1）（ ） n， Sn=1+2（ ） 1+2（ ） 2+2（ ） 3+2（ ） n1（2n1）（ ）n=1+2 （2n 1） （ ） n=3（2n +3） （ ） n，S n=6（2n +3）（ ） n1【点评】本题考查了利用数列的递推公式求出通项公式和利用错位相减法求前 n 项和，属于中档题20 （12 分） （2016 秋 济源月考）已知函数 f（x）=log 2g（x）+（k1）x（1）若 g（log 2x）=x+1，且 f（x ）为偶函数，
31、求实数 k 的值；（2）当 k=1，g（x）=ax 2+（a+1）x+a 时，若函数 f（x）的值域为 R，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）令 t=log2x，则 x=2t，代入 g（log 2x）=x +1，求得函数 f（x）的解析式，由f（x）=f（x） ，代入即可求得 k 的取值范围；（2）k=1，f（ x）=log 2ax2+（a+1）x+a，当 a0 时， ，求得 0a 1，当 a=0 时，f（x）=log 2x，函数 f（x）的值域为 R，即可求得实数 a 的取值范围【解答】解：（1）令 t=log2x，则 x=2t，代入 g（log 2x）=x +1，g （t）=2 t+1
32、，f（ x）=log 2（2 x+1）+（k1）x，由函数 f（x ）为偶函数，f（ x）=f（x） ，log 2（2 x+1）+（k1 ）x=log 2（2 x+1） （k 1）x ，x=2（k1）x，对一切 xR 恒成立，2（k 1）=1，k= ，（2）k=1，f（ x）=log 2ax2+（a+1）x+a，当 a0 时，要使函数 f（x ）的值域为 R，要求一元二次方程：ax 2+（a+1）x +a=0， ，即 ，解得：0a1，当 a=0 时，f （x）=log 2x，函数 f（x ）的值域为 R，综合可知：实数 a 的取值范围0，1【点评】本题考查复合函数的单调性及奇偶性的判断，考查函
33、数性质的综合应用，考查换元法及一元二次方程判别式的应用，属于中档题21 （12 分） （2016 秋 济源月考）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率 e=，且椭圆 C 经过点 P（2，3） ，过椭圆 C 的左焦点 F1 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆 C 于A，B 两点（1）求椭圆 C 的方程；（2）设线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G，求PF 1G 的面积 S 的取值范围【分析】 （1）设椭圆的标准方程为： （ab 0） ，e= = ，即a=2c，b 2=a2c2=3c2，将点 P（2，3） ，代入即可求得 a 和 b 的值，求得椭圆 C 的方程；（2）设直线 A
34、B 方程为 y=k（x+2） ，代入椭圆方程，由韦达定理及中点坐标公式求得 M（， ） ，求得 MG 的方程为 y= （xx 0） ，由 xG（ ，0） ， = 丨 F1G 丨丨yP 丨 = 丨 xG+2 丨，即可求得PF 1G 的面积 S 的取值范围【解答】解：（1）由题意可知：焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为：（ab0） ，由椭圆的离心率 e= = ，即 a=2c，b2=a2c2=3c2，将 P（ 2，3）代入椭圆方程： ，解得：c 2=4，a 2=16，b 2=12，椭圆的标准方程为： ；（2）设直线 AB 方程为 y=k（x+2） ，A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2）
35、，AB 中点 M（x 0，y 0） ， ，整理得：（3+4k 2）x 2+16k2x+16（k 23）=0，由0，由韦达定理可知：x 1+x2= ，x 1x2= ，则 x0= = ，y 0=k（x 0+2）= ，M（ ， ） ，线段 AB 的垂直平分线 MG 的方程为 y= （x x0） ，令 y=0，得 xG=x0+ky0= + = ，由 k0 ， x G0，由 = 丨 F1G 丨 丨 yP 丨= 丨 xG+2 丨，x G（ ，0 ） ，S 求PF 1G 的面积的取值范围是（ ，3） 【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式及三角形面
36、积公式的应用，考查计算能力，属于中档题22 （12 分） （2016 秋 河南月考）已知函数 f（x）=blnx（1）当 b=1 时，求函数 G（x）=x 2xf（x ）在区间 上的最大值与最小值；（2）若在1，e上存在 x0，使得 x0f（x 0） 成立，求 b 的取值范围【分析】 （1）求出函数 G（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数在闭区间的最大值和最小值即可；（2）设 若在1，e上存在 x0，使得 ，即成立，则只需要函数 在1，e上的最小值小于零，通过讨论 b 的范围，求出 h（x）的单调区间，从而进一步确定 b 的范围即可【解答】解：（1）当 b=1 时，G （x）=x 2
37、xf（x ）=x 2xlnx（x 0） ， ，令 G（x）=0，得 x=1，当 x 变化时，G（x） ，G（x）的变化情况如下表：x （0 ，1）1 （1 ，+）g（x） 0 +G（x ） 极小值因为 ，G（1 ）=0，G（e）=e 2e1=e（e 1）11，所以 G（x）=x 2xf（x ）在区间 上的最大值与最小值分别为：，G（x ） min=G（1）=0 （2）设 若在1，e上存在 x0，使得 ，即 成立，则只需要函数 在1，e上的最小值小于零又 = ，令 h（x ）=0，得 x=1（舍去）或 x=1+b当 1+be，即 be1 时，h （x ）在1，e 上单调递减，故 h（x）在1，e
38、上的最小值为 h（e） ，由 ，可得 因为 ，所以 当 1+b1，即 b0 时，h（x）在1，e上单调递增，故 h（x）在1，e上的最小值为 h（1） ，由 h（1） =1+1+b0，可得 b2（满足 b0） 当 11+be，即 0be 1 时，h （x ）在（1，1+b）上单调递减，在（1+b ，e ）上单调递增，故 h（x）在1，e上的最小值为 h（1+b）=2+b bln（1+b） 因为 0ln（1+b）1，所以 0bln （1+b ）b，所以 2+bbln（1+b）2，即 h（1+b ）2，不满足题意，舍去综上可得 b2 或 ，所以实数 b 的取值范围为 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题2017 年 2 月 14 日
