1、2017 届云南大理州高三上学期统测(一)期中数学（理）试题一、选择题1设集合 ，则 （ ）2|4,|1AxZBxABA B 0, 0C D,2【答案】D【解析】试题分析：因为，所以2|4| ,10,2|1AxZxZxBx，故选 D.0,1B【考点】集合运算2在复平面内，复数 对应的点位于（ ）52iA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】B【解析】试题分析：因为 ，所以其对应的点525102ii iii位于第二象限，故选 B.【考点】复数的运算3在等差数列 中，若 ，那么 等于（ ）na3456745a5aA4 B5 C9 D18【答案】C【解析】试题分析：根据等差数列的性质可
2、知 ，所以3456754aa故选 C.59,a【考点】等差中项42016 年 1 月某校高三年级 1600 名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩 （试卷满分为 150 分） 统计结果显示数学考试成绩在 80 分20,XN:到 120 分之间的人数约为总人数的 ，则此次统考中成绩不低于 120 分的学生人数约34为（ ）A80 B100 C120 D200【答案】D【解析】试题分析：正态曲线图象的对称轴为 ，根据其对称性可知， 成绩不10X低于 分的学生人数约为 人，故选 D.120316024【考点】正态分布5已知向量 与 的夹角为 30，且 ，则 等于（ ）ab,ababA1
3、B 13C13 D 72【答案】A【解析】试题分析： ，所以cos,3abab，故选 A.22641ab【考点】平面向量的数量积6函数 在 时取得最大值，则 等于（ ）3sin6fxxtanA B 3C D3【答案】D【解析】试题分析：由题意可知 ，所以 ，2,6k2,3k，故选 D.tan3【考点】正弦函数的性质7下边程序框图的算法思路源于欧几里得名著几何原本中的“辗转相除法” ，执行该程序框图，若输入 分别为 225、135，则输出的 （ ）,mnmA5 B9 C45 D90【答案】C【解析】试题分析：根据程序框图可知“辗转相除法”是求 的最大公约数，因为,mn的最大公约数为 ，故选 C.
4、25,345【考点】程序框图8已知三个函数 的零点依次为 ，22,1,logxfgxhx,abc则（ ）A B abcbacC D【答案】D【解析】试题分析： 均为 上的增函数，有唯一零点，因为,fxghxR，所以 ， 可得 ，所以110022f12a0gx1， ，所以 ，所以 ，故选b,33hh 3cacbD.【考点】函数的零点与二分法9某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A B 4283438C D 2【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为底部为正方体，上部为正四棱锥的组合体，所以其体积为 ,故选 B.14322183V【考点】三视图与几何体的体积10已知三棱锥 的所有
5、顶点都在球 的球面上， 为球 的直径，若该ABCDOABO三棱锥的体积为 ， ，则球 的表面积为（ ）4304,3,9CDA B 120C D25【答案】A【解析】试题分析：设棱锥的高为 ，因为 ,所以h1232BCDS，所以 ，因此点 到平面 的距离为 ，1433ABCDBVSh2O1外接圆的直径为 ，所以 ,所以球 的表面积为77142B，故选 A.241Sr考点:球与棱锥的组合体及棱锥的体积与表面积公式.【方法点晴】本题主要考查了球与棱锥的组合体问题、棱锥的体积和球的体积表面积等基础知识，考查考生的空间想象能力和计算能力，属于中档题.解答本题的关键是根据棱锥的体积公式求出点 到平面 的距
6、离，再由球的截面性质求出球的半径，ABCD解答时要注意根据 判断截面圆的直径，最后根据球的表面积公式得到答09案.11已知双曲线 与不过原点 且不平行于坐标轴的直线 相交于 两21xyOl,MN点，线段 的中点为 ，设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，则 （ MNPl1kOP2k12）A B 1212C2 D-2【答案】A【解析】试题分析：设 ，则120,MxyNPxy，根据点差法可得 ，221,xyy 12121212xx所以直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，l 01212xyxkyOP02ykx，故选 A.012xyk【考点】双曲线的方程【方法点晴】本题主要考查了双曲线的方程及点差法，
7、属于中档题.解答本题的关键是根据直线 与双曲线相交于 两点，即 两点在双曲线上，其坐标满足双曲线l,MN,方程，再由 为 的中点，据此表示出直线 的斜率表达式，根据斜率公式表示出P, l的斜率，即可求得结论.这种方法常称为点差法，往往涉及二次曲线的中点弦时，O考虑用这种方法处理.12定义在 上的函数 的导函数为 ，若对任意实数 ，有 ，Rfxfx xffx且 为奇函数，则不等式 的解集是（ ）2017fx2017eA B ,C D,e1,e【答案】B【解析】试题分析：设 ，则 ，所以 是xfge0xffgegx上的减函数，由于 为奇函数，所以 ，R2017f217,217f因为 即 ，结合函数
8、的单调性可知2017xxfe0gx，所以不等式 的解集是 ，故选 B.x2017fe,【考点】利用导数研究函数的单调性【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了考生的发散思维能力，属于中档题.本题解答的关键是根据条件 ，进行联想构造函数fxf，并得到其单调性，把要解得不等式转化为 ，由xfge 2017xe为奇函数得到 ，即可得到不等式的解集.2017f0217g二、填空题13设 满足约束条件 ，则 的最大值为_,xy1yx2y【答案】 5【解析】试题分析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示.目标函数 表示2xy可行域内的点到原点的距离的平方，显然顶点 到原点的距离最大，所以
9、2,1A2max5.y【考点】简单的线性规划14 的二次展开式中，所有项的二项式系数之和为 256，则展开式中 项2nx 4x的系数为_【答案】 1【解析】试题分析：由二项式系数的性质可知 ，所以256,8n，展开式的通项公式 ，82nxx 182218rrrrrTCxCx令 得 ，所以展开式中 项的系数为 .4r4x0881rr【考点】二项式定理15在直角坐标系 中，有一定点 ，若线段 的垂直平分线过抛物线xOy1,2MO的焦点，则该抛物线的准线方程是_20xpy【答案】 54【解析】试题分析：线段 的中点为 ， 所以线段 的垂直平OM1,22OMk分线方程为 ，即 ，其 轴的交点为 ,所以
10、该12yx50yy504F抛物线的准线方程是 .54【考点】抛物线的标准方程【方法点晴】本题主要考查了抛物线的标准方程，属于基础题.本题解答的关键是通过求线段 的垂直平分线方程，得到其与 轴的交点即抛物线的焦点坐标，根据标准OMy形式的抛物线特征得到其准线方程.求线段的垂直平分线方程把握好“垂直”和“平分”，垂直得到斜率，平分即垂直平分线过线段中点，据此求出垂直平分线方程.16若数列 的首项 ，且 ；令 ，则na12*132naN3log1nnba_1230bb【答案】 5【解析】试题分析：由 可知 ，*132na113,3nnnaa所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ，n ,n
11、n所以 ，因此3log1nnba1231005.2bb【考点】等比数列的通项公式与等差数列求和【方法点晴】本题主要考查了等比数列的通项公式与等差数列求和，属于中档题.本题解答的关键是根据递推式 构造数列 是以 为首项，*132naN1na3为公比的等比数列.据此得到数列 的通项公式，根据对数运算得到 是通项3n nb公式，可判断其为等差数列，由等差数列的前 项和公式求解.三、解答题17在 中，角 所对的边分别为 ，且 ABC, ,abc3os,24AC（1）求 的值；sin（2）若 ，求 的面积 的值4aS【答案】 （1） ；（2） .5761574【解析】试题分析：（1）根据条件易得 ,结合
12、三角形的内角公式可得cosinC，根据和角公式即可求得 的值；（2）根据正弦定理求得边siniBACB由三角形的面积公式 求解其面积.,b1sin2Sab试题解析：（1）由 得 1 分3co47iA 2 分221cossin8CA进一步可求得 3 分37i又因为 4 分,sinisinBAC所以 6 分57siniicosi16AC（2）由正弦定理 得 9 分siinabBniaA所以 的面积 12 分B15724S【考点】正弦定理解三角形18某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对 100 名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳 不喜欢
13、游泳 合计男生 10女生 20合计已知在这 100 人中随机抽取 1 人抽到喜欢游泳的学生的概率为 35（1）请将上述列联表补充完整：并判断是否有 99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；（2）针对于问卷调查的 100 名学生，学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取 6 人成立游泳科普知识宣传组，并在这 6 人中任选 2 人作为宣传组的组长，设这两人中男生人数为 ，求 的分布列和数学期望.X下面的临界值表仅供参考： 2PKk0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
14、 10.828（参考公式： ，其中 ）22nadbcdnabcd【答案】 （1）列联表见解析，有 的把握认为喜欢游泳与性别有关；（2）分布9.%列见解析， .43【解析】试题分析：（1）根据题意完成 列联表，根据给出的公式2求出相关系数的值，对比临界值表，若22nadbcKd，则有 的把握认为喜欢游泳与性别有关，否则无关；（2） 的210.89.%X所有可能取值为 ，根据 取各值的数学意义求出其概率，得到分布列和数学期,X望.试题解析：（1）因为在 100 人中随机抽取 1 人抽到喜欢游泳的学生的概率为 ，35所以喜欢游泳的学生人数为 人 1 分31065其中女生有 20 人，则男生有 40
15、人，列联表补充如下：喜欢游泳 不喜欢游泳 合计男生 40 10 50女生 20 30 50合计 60 40 100 3 分因为 5 分221043016.710.8265K所以有 99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关 6 分（2）喜欢游泳的共 60 人，按分层抽样抽取 6 人，则每个个体被抽到的概率均为 ，10从而需抽取男生 4 人，女生 2 人 故 的所有可能取值为 0，1，2 7 分X，21 242466680; ;5515CCCPPXPX的分布列为：X0 1 2P58 10 分 12 分124053EX【考点】相关性检验与离散型分布列的数学期望19在四棱锥中 ，底面 是正方形，侧面 底
16、面 ，且PABCDPADBC，分别为 的中点.2AEF、 、 PB、（1）求证： 平面 ；/（2）在线段 上是否存在点 ，使得二面角 的余弦值为 ，若存在，ABGCPDG3请求出点 的位置；若不存在，请说明理由.G【答案】 （1）证明见解析；（2）存在， 为 的中点.GAB【解析】试题分析：（1）根据题意可连接 ，与 相交于点 ，易证 ，CDF/EPA根据线面平行的判定定理即可证得 平面 ；（2）取 的中点 ，连接/EFPAO，可证得 平面 ，以 为原点，分别以射线 和 为,OPFO,轴， 轴和 轴建立空间直角坐标系 ，不妨设 ，xyzxyz10,Ga，分别求出平面 和平面 的法向量，根据二面
17、角的求法得到 的02aCPDG方程，求出其值，若满足 ，则存在，否则不存在.02a试题解析：（1）证明：连接 ，由正方形性质可知， 与 相交于点 ，AACBDF所以，在 中， 1 分/EF又 平面 平面 3 分PA,所以 平面 4 分/D（2）取 的中点 ，连接 ，O,P因为 ，所以 ，A又因为侧面 底面 ，交线为 ，所以 平面 ，PBCDPOABCD以 为原点，分别以射线 和 为 轴， 轴和 轴建立空间直角坐标系，,Fxyz，不妨设 6 分Oxyz2D则有 ，假设在 上存在点 ，0,1,01,0PAB1,02Ga则 7 分2,CGa因为侧面 底面 ，交线为 ，且底面是正方形，ABCD所以 平
18、面 ，则 ，DP由 得 ，22PA所以 ，即平面 的一个法向量为 81,0A分设平面 的法向理为 ，由 即 ，亦即G,nxyz0PDnG:2xza，可取 9 分2zxya,2na所以 10 分23cos, 4mna:解得 （舍去） 11 分1,a所以线段 上存在点 ，且 为 的中点，使得二面角 的余弦值为ABGABCPDG 12 分3【考点】空间线面平行关系及二面角的求法20已知椭圆 的短轴长为 ，离心率 2:10xyCab2312e（1）求椭圆 的标准方程；（2）若 分别是椭圆 的左、右焦点，过 的直线 与椭圆 交于不同的两点12F、 2FlC，求 的内切圆半径的最大值.AB、 【答案】 （
19、1） ；（2） .2143xy34【解析】试题分析：（1）根据题意列出待定系数的方程组，即可求得方程；（2）设的内切圆的半径为 ，FABR易得 的周长为 ，所以 ，因此148a1142FABSAFBR最大， 就最大. 把 分解为 和 ,从而得到1FABS 212，整理方程组， 求出两根和与两根既即得到面积112212yy:与 的函数关系，通过换元，利用均值不等式即可求得 的最大值 ，此时m1FABS3.ax34R试题解析：（1）由题意可得 2 分2231bca解得 3 分2,3ab故椭圆的标准方程为 4 分214xy（2）设 ，设 的内切圆的半径为 ，12,AxyB1FABR因为 的周长为 ，
20、 ，F48a1142SFB因此 最大， 就最大 6 分1ABSR，121212Fyy:由题意知，直线 的斜率不为零，可设直线 的方程为 ，l l1xmy由 得 ，2143xmy24690ym所以， 8 分1212,34y又因直线 与椭圆 交于不同的两点，lC故 ，即 ，则0260,mmR 122122121121434FAB mSyyy:10 分令 ，则 ，2tmt122141343FABStt令 ，由函数的性质可知，函数 在 上是单调递增函数，3fttft3，即当 时， 在 上单调递增，1tf1,因此有 ，所以 ，4313FABS即当 时， 最大，此时 ，,0tm1FABmax4R故当直线
21、的方程为 时， 内切圆半径的最大值为 12 分lx1 34【考点】椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，考查了待定系数法、转化的思想方法和函数的思想，属于中档题.求椭圆方程要注意 的关系,abc，本题解答的关键是第（2）中，把 的内切圆半径最大转化为其面2abc1ABF积的最大值，通过分解其面积，表示出面积与参数的函数关系，通过换元，最后根据均值不等式求出其最大值.21设函数 ln1lGxx（1）求 的最小值；（2）记 的最小值为 ，已知函数 ，若xe12210xafea:对于任意的 ，恒有 成立，求实数 的取值范围.0,0fx【
22、答案】 （1） ；（2） .ln1ae【解析】试题分析：（1）求出函数 的定义域，并利用导数研究其在定义域上的Gx单调性，找到最小值点即可求得最小值；（2） ，把分子设为21xaef:新函数 ，并用导数研究其单调性，可知 在 上单21xgae: g0,调递增，由于 ，且当 时， ，所以存在 ，0xxx使 ，且 在 上单调递减，在 上单调递增，所以必有0xfx0, 0,，据此求得 ，分类参数即00min12affe: 012x可求得参数 的范围.a试题解析：（1）由已知得 1,lnln1xGxx分令 ，得 ；令 ，得 ，0Gx12012所以 的单调减区间为 ，单调增区间为 3 分,从而 4 分m
23、in1lln22x（2）由（1）中 得 5lc12xafe:分所以 6 分21xaef:令 ，则 7 分2xg20xgxae所以 在 上单调递增，0,因为 ，且当 时， ，01gax0gx所以存在 ，使 ，且 在 上单调递减，在 上,x0gf,0,x单调递增 8 分因为 ，所以 ，即 ，因为对0201xgae:021xae:021xae:于任意的 ，恒有 成立，,f所以 9 分00min120xafxfe:所以 ，即 ，亦即 ，所以201a20x201x 10 分x因为 ，所以 ，021ae:021xae:又 ，所以 ，从而 ，0x00所以 ，故 12 分ea1【考点】利用导数研究函数的单调性
24、和极值、最值.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值、最值，函数的恒成立问题，属于中档题.利用导数研究函数的单调性和极值、最值，首先应把握定义域优先的原则，忽略定义域是最常见的错误，通过解不等式求出单调区间，得到最值点求得最值；函数的恒成立问题，通过分类参数转化为函数的求函数的最值，求解时要注意研究的目标，把握函数的关键部分，通过设出最小值点，研究单调性求得范围.22选修 4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，现以原点C12cosinxy为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程x l为 4cosin（1）求曲线 的普
25、通方程和直线 的直角坐标方程；l（2）在曲线 上是否存在一点 ，使点 到直线 的距离最小？若存在，求出距离的CPl最小值及点 的直角坐标；若不存在，请说明理由.P【答案】 （1） ， ；（2） ，2214xy0xy2.2,【解析】试题分析：（1）把曲线 的参数方程分类参数，根据同角三角函数的基本关C系消去参数得到其普通方程，根据 把直线的极坐标方程化成直cos,inxy角坐标方程；（2）设 ，由点到直线的距离公式得到距离12cos,inP关于参数的 的函数关系，通过三角恒等变换和三角函数的性质得到最小值和相应d点的坐标.试题解析：（1）由题意知曲线 的参数方程 可化简为 ，C12cosinxy
26、2214xy 3 分由直线 的极坐标方程可得直角坐标方程为 5 分l 40x（2）若点 是曲线 上任意一点，则可设 ，PC12cos,inP设其到直线 的距离为 ，则 7 分ldsi化简得 ，当 ，即 时，2cos4d2k4k 9 分min此时点 的坐标为 10 分P12,【考点】圆的参数方程与普通方程及直线的极坐标方程和直角坐标方程的互化，直线参数方程的应用.23选修 4-5：不等式选讲已知函数 .3fx（1）解关于 的不等式 ；5fx（2）设 ，试比较 与 的大小.,|mny4mn2n【答案】 （1） ；（2） .,8,34【解析】试题分析：（1）讨论 的范围，去掉绝对值符号，分段求出不等式的解，取x并集即得原不等式的解集；（2）由（1）易知 ，所以 ，作差并3fx,3mn因式分解判断出差的符号即可得到 与 的大小.4mn2n试题解析：（1） 2 分3,02,xfx从面得 或 或 ，解之得 或 或0325x3x25x23x，8x所以不等式的解集为 5 分,8,3（2）由（1）易知 ，所以 7 分fx,3mn由于 8 分 4242mn n且 ，所以 ，即 ，3,0,0所以 10 分2【考点】绝对值不等式的解法及比较法比较大小.
