1、2015-2016 学年广西钦州市钦州港经济技术开发区中学高三（下）3 月月考数学试卷（理科）一、选择题1若曲线 f（x）=x sinx+1 在 x= 处的切线与直线 ax+2y+1=0 互相垂直，则实数 a 等于（ ）A2 B1 C1 D22若函数 f（x）=（ax 1）e x（ aR）在区间0，1上是单调增函数，则实数 a 的取值范围是（ ）A （0，1） B （0，1 C （1，+） D1，+ ）3二项式（ax ） 3 的展开式的第二项的系数为 ，则 x2dx 的值为（ ）A3 B C3 或 D3 或4由曲线 y=x2 和直线 y=t2（0t 1） ，x=1 ，x=0 所围城的图形的面积
2、的最小值为（ ）A B C D5有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是（ ）A26 B31 C32 D366回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如 22，121，3443，94249 等显然 2 位回文数有 9 个：11，22，33，99.3 位回文数有 90 个：101，111，121，191，202，999则2n+1（nN *）位回文数的个数为（ ）A910 n1 个 B910 n 个 C910 n+1 个 D910 n+2 个7已知复数 z= （i 是虚数单位） ，则 z 在复平面上对应的点在（ ）A第一象限 B第二象
3、限 C第三象限 D第四象限8设函数 f（x）是定义在（ ，0）上的可导函数，其导函数为 f（x） ，且有 2f（x）+xf（x）x 2，则不等式（x+2014） 2f（x+2014 ）4f（2）0 的解集为（ ）A （，2012） B （ 2012，0） C （ ，2016） D （2016，0）9设函数 f（x）是定义在（ ，0）上的可导函数，其导函数为 f（x） ，且有 f（x）+xf（x）x，则不等式（x+2014）f（x+2014） +2f（ 2）0 的解集为（ ）A （，2012） B （ 2012，0） C （ ，2016） D （2016，0）10已知 A（2，1） ，B（3，2
4、） ，C（ 1，4） ，则ABC 是（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D任意三角形11在平面直角坐标系 xOy 中，直线 3x+4y5=0 与圆 x2+y2=4 相交于 A、B 两点，则弦 AB 的长等于（ ）A3 B2 C D112直线 x=2 的倾斜角为（ ）A1 B不存在 C D2二、填空题13过点 A（0， ） ，B（7，0）的直线 l1 与过（2，1） ， （3，k+1）的直线 l2 和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数 k 的值为 14直线 l 与圆 x2+y2+2x4y+a=0（a3）相交于两点 A，B，弦 AB 的中点为（0，1） ，则直线 l 的方程为 1
5、5若过点 P（1 a，1+a ）和 Q（3，2a）的直线的倾斜角 为钝角，则实数 a 的取值范围为 16已知点 A（1，0）和 B（1，0） 若直线 y=2x+b 与线段 AB 相交，则 b 的取值范围是 17给定平面上四点 O，A，B，C 满足 OA=4，OB=3，OC=2， =3，则ABC 面积的最大值为 三、解答题18设等差数列a n的公差为 d，且 a1，dN *若设 M1 是从 a1 开始的前 t1 项数列的和，即 M1=a1+（1t 1，t 1N*） ，M 2=at1+1+at1+2+at2（1t 2N*） ，如此下去，其中数列M i是从第ti1+1（t 0=0）开始到第 ti（1
6、 ti）项为止的数列的和，即 Mi=ati1+1+ati（1t i，t iN*） （1）若数列 an=n（1n13，nN *） ，试找出一组满足条件的 M1，M 2，M 3，使得：M 22=M1M3；（2）试证明对于数列 an=n（nN *） ，一定可通过适当的划分，使所得的数列M n中的各数都为平方数；（3）若等差数列a n中 a1=1，d=2试探索该数列中是否存在无穷整数数列t n， （1t 1t 2t 3t n） ，nN*，使得M n为等比数列，如存在，就求出数列M n；如不存在，则说明理由19某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满 400 元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下
7、：奖盒中放有除颜色外完全相同的 1 个红球，1 个黄球，1 个白球和 1 个黑球顾客不放回的每次摸出 1 个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球规定摸到红球奖励 20 元，摸到白球或黄球奖励 10 元，摸到黑球不奖励（1）求 1 名顾客摸球 2 次停止摸奖的概率；（2）记 X 为 1 名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量 X 的分布列和数学期望20做抛掷两颗骰子的试验：用（x，y）表示结果，其中 x 表示第一颗骰子出现的点数，y 表示第二颗骰子出现的点数（1）写出试验的基本事件；（2）求事件“出现点数之和大于 8”的概率21在平面直角坐标系 xOy 中，平面区域 W 中的点的坐标（ x，y
8、）满足 从区域 W 中随机取点 M（x，y） （1）若 xZ，yZ，求点 M 位于第一象限的概率（2）若 xR，yR，求|OM|2 的概率22试用等值算法求四个数 84，108，132，156 的最大公约数2015-2016 学年广西钦州市钦州港经济技术开发区中学高三（下）3 月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1若曲线 f（x）=x sinx+1 在 x= 处的切线与直线 ax+2y+1=0 互相垂直，则实数 a 等于（ ）A2 B1 C1 D2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数 f（x）=xsinx+1 在点 处的导数值，这个导数值即函数图象在该点处的切线
9、的斜率，然后根据两直线垂直的条件列方程求解 a【解答】解：f（x）=sinx+xcosx， ，即函数 f（x）=xsinx+1 在点 处的切线的斜率是 1，直线 ax+2y+1=0 的斜率是 ，所以 ，解得 a=2故选 D2若函数 f（x）=（ax 1）e x（ aR）在区间0，1上是单调增函数，则实数 a 的取值范围是（ ）A （0，1） B （0，1 C （1，+） D1，+ ）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】求导数，分离参数，即可得出结论【解答】解：f（x）=（ax1）e x，f（x）=（a+ ax1）e x，f（x）区间0，1上是单调增函数，f（x）0 对于 x0，1恒成立，即
10、 a+ax10 对于 x0，1恒成立，即 a 对于 x0，1恒成立，y= 在 x0，1上单调递减，函数的最大值为 1，a1故选：D3二项式（ax ） 3 的展开式的第二项的系数为 ，则 x2dx 的值为（ ）A3 B C3 或 D3 或【考点】二项式系数的性质；定积分【分析】先求二项式展开式的通项公式，求出第二项系数，从而求出 a 的值，然后根据定积分的运算法则进行求解即可【解答】解：二项式（ax ） 3 的展开式的通项为 Tr+1= （ax） 3r（ ） r，展开式的第二项的系数为 ， a31（ ） 1= ，解得：a=1，当 a=1 时， x2dx= x2dx= x3 = 1（8）= ，当
11、a=1 时， x2dx= x2dx= x3 = 1（ 8）=3， x2dx 的值为 3 或 故选：C4由曲线 y=x2 和直线 y=t2（0t 1） ，x=1 ，x=0 所围城的图形的面积的最小值为（ ）A B C D【考点】定积分【分析】由题意将曲线 y=x2 和直线 y=t2（0t 1） ，x=1，x=0 所围成的图形的面积用定积分表示出来，再利用定积分的运算规则将面积表示为 t 的函数，进行判断得出面积的最小值【解答】解：设曲线 y=x2 和直线 y=t2 交点坐标是（t ，t 2） ，故曲线 y=x2 和直线 y=t2（0t 1） ，x=1 ，x=0 所围成的面积是：（t 2x2）dx
12、+ （ t2+x2）dx=（t 2x x3） +（t 2x+ x3） = 令 p= ，则 p=4t22t=2t（2t1） ，知 p= 在（0，1）先减后增，在 t= 时取到最小值，故面积的最小值是 故选：D5有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是（ ）A26 B31 C32 D36【考点】等差数列的性质【分析】观察图形可知，有菱形纹的正六边形的个数组成一个以 6 为首项，5 为公差的等差数列，即可得出结论【解答】解：由题意，有菱形纹的正六边形的个数组成一个以 6 为首项，5 为公差的等差数列所以第 n 个图案中，是 6+5（n1）=6n
13、+1当 n=6 时，原式=6 5+1=31故选：B6回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如 22，121，3443，94249 等显然 2 位回文数有 9 个：11，22，33，99.3 位回文数有 90 个：101，111，121，191，202，999则2n+1（nN *）位回文数的个数为（ ）A910 n1 个 B910 n 个 C910 n+1 个 D910 n+2 个【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】利用回文数的定义，结合分步计数原理即可计算 2n+1（nN +）位回文数的个数【解答】解：第一步，选左边第一个数字，有 9 种选法；第二步，分别选左边第 2、3、4、n
14、、n+1 个数字，共有 10101010=10n 种选法，故 2n+1（nN +）位回文数有 910n 个故选：B7已知复数 z= （i 是虚数单位） ，则 z 在复平面上对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，化简复数 z，找出此复数在复平面内对应点的坐标【解答】解：复数 z= = = = + i，在复平面内对应点为（ ， ） ，此点位于第二象限，故选 B，8设函数 f（x）是定义在（ ，0）上的可导函数，其导函数为 f（x） ，且有 2f（x）+xf（x）x 2，则不
15、等式（x+2014） 2f（x+2014 ）4f（2）0 的解集为（ ）A （，2012） B （ 2012，0） C （ ，2016） D （2016，0）【考点】导数的运算【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论【解答】解：由 2f（x）+xf （x）x 2， （x0） ，得：2xf（x）+x 2f（x）x 3，即x 2f（x） x30，令 F（x）=x 2f（x） ，则当 x0 时，得 F（x ）0，即 F（x）在（ ，0）上是减函数，F（x+2014）= （x+2014） 2f（x+2014） ，F（2）=4f（ 2） ，即不等式等价为
16、 F（x+2014）F（2）0，F（x）在（，0）是减函数，由 F（x+2014）F （2）得，x+20142，即 x2016 ，故选：C9设函数 f（x）是定义在（ ，0）上的可导函数，其导函数为 f（x） ，且有 f（x）+xf（x）x，则不等式（x+2014）f（x+2014） +2f（ 2）0 的解集为（ ）A （，2012） B （ 2012，0） C （ ，2016） D （2016，0）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论【解答】解：由 f（x）+xf （x）x，x0，即xf（x）
17、x0，令 F（x）=xf（ x） ，则当 x0 时，F（x）0，即 F（x）在（ ，0）上是减函数，F（x+2014）=（x+2014）f（x+2014） ，F（2）=（2）f（ 2） ，F（x+2014）F（ 2）0，F（x）在（，0）是减函数，由 F（x+2014）F （2）得，x+20142，即 x2016 故选：C10已知 A（2，1） ，B（3，2） ，C（ 1，4） ，则ABC 是（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D任意三角形【考点】三角形的形状判断【分析】利用向量的数量积判断即可【解答】解：A（2，1） ， B（3，2） ，C（ 1，4） ， =（1，1） ， =（
18、3，3） ，cos A= = =0，A= ，即ABC 是直角三角形故选 B11在平面直角坐标系 xOy 中，直线 3x+4y5=0 与圆 x2+y2=4 相交于 A、B 两点，则弦 AB 的长等于（ ）A3 B2 C D1【考点】直线与圆相交的性质【分析】由直线与圆相交的性质可知， ，要求 AB，只要求解圆心到直线 3x+4y5=0 的距离【解答】解：由题意可得，圆心（0，0）到直线 3x+4y5=0 的距离 ，则由圆的性质可得， ，即 故选 B12直线 x=2 的倾斜角为（ ）A1 B不存在 C D2【考点】直线的倾斜角【分析】根据直线的倾斜角的定义，求得直线 x=2 的倾斜角【解答】解：由
19、于直线 x=2 垂直于 x 轴，它的倾斜角为 ，故选：C二、填空题13过点 A（0， ） ，B（7，0）的直线 l1 与过（2，1） ， （3，k+1）的直线 l2 和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数 k 的值为 【考点】圆的一般方程【分析】根据四点共圆的条件可知，四边形的 2 个对角之和是 180，即 l1 与 l2 是相互垂直的，利用两条直线斜率的乘积为1，即可得到结论【解答】解：过点 A0， ，B 7，0的直线 l1 与过点 C2，1，D3，k+1）的直线 l2 和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，根据四点共圆的条件可知 l1 与 l2 是相互垂直，即 l1 与 l2 对应的斜率
20、满足 k1k2=1，即 =1，解得 k=314直线 l 与圆 x2+y2+2x4y+a=0（a3）相交于两点 A，B，弦 AB 的中点为（0，1） ，则直线 l 的方程为 xy+1=0 【考点】直线的一般式方程；直线与圆相交的性质【分析】求出圆心的坐标，再求出弦中点与圆心连线的斜率，然后再求出弦所在直线的斜率，由点斜式写出其方程，化为一般式【解答】解：由已知，圆心 O（1，2） ，设直线 l 的斜率为 k，弦 AB 的中点为 P（0，1） ，PO 的斜率为 kop，则 =1lPO，kk op=k（1）=1k=1由点斜式得直线 AB 的方程为：y=x+1故答案为：xy +1=015若过点 P（1
21、 a，1+a ）和 Q（3，2a）的直线的倾斜角 为钝角，则实数 a 的取值范围为 （ 2，1） 【考点】斜率的计算公式；直线的倾斜角【分析】由直线的倾斜角 为钝角，能得出直线的斜率小于 0，解不等式求出实数 a 的取值范围【解答】解：过点 P（1 a， 1+a）和 Q（3，2a）的直线的倾斜角 为钝角，直线的斜率小于 0，即 0，即 0，解得 2a1，故答案为 （2 ，1） 16已知点 A（1，0）和 B（1，0） 若直线 y=2x+b 与线段 AB 相交，则 b 的取值范围是 2，2 【考点】直线的斜率【分析】由题意知，两点 A（ 1，0） ，B（1，0） ，将点的坐标代入直线的方程 2x
22、+yb=0 中的左式，得到的结果为异号，得到不等式，解之即得 m 的取值范围【解答】解：由题意得：两点 A（1，0） ，B （1，0） ，若直线 y=2x+b 与线段 AB 相交，则（2 b） （2b）0，b2 ，2故答案为：2 ，217给定平面上四点 O，A，B，C 满足 OA=4，OB=3，OC=2， =3，则ABC 面积的最大值为 【考点】向量在几何中的应用【分析】先利用向量的数量积公式，求出BOC=60，利用余弦定理求出 BC，由等面积可得 O 到 BC 的距离，即可求出ABC 面积的最大值【解答】解：OB=3 ，OC=2， =3，BOC=60，BC= = ，设 O 到 BC 的距离为
23、 h，则由等面积可得 ，h= ，ABC 面积的最大值为 （ +4）= 故答案为： 三、解答题18设等差数列a n的公差为 d，且 a1，dN *若设 M1 是从 a1 开始的前 t1 项数列的和，即 M1=a1+（1t 1，t 1N*） ，M 2=at1+1+at1+2+at2（1t 2N*） ，如此下去，其中数列M i是从第ti1+1（t 0=0）开始到第 ti（1 ti）项为止的数列的和，即 Mi=ati1+1+ati（1t i，t iN*） （1）若数列 an=n（1n13，nN *） ，试找出一组满足条件的 M1，M 2，M 3，使得：M 22=M1M3；（2）试证明对于数列 an=n
24、（nN *） ，一定可通过适当的划分，使所得的数列M n中的各数都为平方数；（3）若等差数列a n中 a1=1，d=2试探索该数列中是否存在无穷整数数列t n， （1t 1t 2t 3t n） ，nN*，使得M n为等比数列，如存在，就求出数列M n；如不存在，则说明理由【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】 （1）利用定义，可以找出一组满足条件的 M1，M 2，M 3，使得：M 22=M1M3；（2）先证明第二段可取 3 个数，t 2=1+3=4；再证明第三段可取 9 个数，即 ，由此即可得出结论；（3）利用反证法进行证明即可【解答】 （1）解：由题意，M 1=1，M 2=2+3+4=9，
25、M 3=5+6+13=81；（2）证明：记 t1=1，即 M1=1，又由 2+3+4=9=32， ，第二段可取 3 个数，t 2=1+3=4；再由 5+6+13=81=34，即 ，因此第三段可取 9 个数，即 ，依次下去，一般地： ， ， 则 由此得证（3）解：不存在令 ，则假设存在符合题意的等差数列，则M n的公比必为大于 1 的整数，（ ，因此 q1） ，即此时，注意到， 要使 成立，则 1+q+q2 必为完全平方数，但 q21+q+q 2（q+1） 2，矛盾因此不存在符合题意的等差数列M n19某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满 400 元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下
26、：奖盒中放有除颜色外完全相同的 1 个红球，1 个黄球，1 个白球和 1 个黑球顾客不放回的每次摸出 1 个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球规定摸到红球奖励 20 元，摸到白球或黄球奖励 10 元，摸到黑球不奖励（1）求 1 名顾客摸球 2 次停止摸奖的概率；（2）记 X 为 1 名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量 X 的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】 （1）1 名顾客摸球 2 次停止摸奖的情况有 ，基本事件的个数为 ，然后代入等可能事件的概率公式可求（2）随机变量 X 的所有取值为 0，10，20，30，40，分别求出 X 取各
27、个值时的概率即可求解随机变量 X的分布列及期望【解答】解：（1）设“1 名顾客摸球 2 次停止摸奖”为事件 A，则 P（A）= = ，故 1 名顾客摸球 2 次停止摸奖的概率 （2）随机变量 X 的所有取值为 0，10，20，30，40P（X=0）= ， P（X=10）= = ，P （X=20）= = ，P（X=30）= = ，P（X=40）= =所以，随机变量 X 的分布列为：X 0 10 20 30 40P20做抛掷两颗骰子的试验：用（x，y）表示结果，其中 x 表示第一颗骰子出现的点数，y 表示第二颗骰子出现的点数（1）写出试验的基本事件；（2）求事件“出现点数之和大于 8”的概率【考点
28、】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】 （1）利用列举法，可得试验的基本事件；（2）求出事件“出现点数之和大于 8”的个数，即可求事件“出现点数之和大于 8”的概率【解答】解：（1）这个试验的基本事件为（1，1） ， （1，2） ， （1，3） ， （1，4） ， （1，5） ， （1，6） ，（2，1） ， （2，2） ， （2，3） ， （2，4） ， （2，5） ， （2，6） ，（3，1） ， （3，2） ， （3，3） ， （3，4） ， （3，5） ， （3，6） ，（4，1） ， （4，2） ， （4，3） ， （4，4） ， （4，5） ， （4，6） ，（5，1） ，
29、 （5，2） ， （5，3） ， （5，4） ， （5，5） ， （5，6） ，（6，1） ， （6，2） ， （6，3） ， （6，4） ， （6，5） ， （6，6） （2） “出现点数之和大于 8”包含以下 10 个基本事件：（3，6） ， （4，5） ， （4，6） ， （5，4） ， （5，5） ， （5，6） ， （6，3） ， （6，4） ， （6，5） ， （6，6） 所以所求概率 P= = 21在平面直角坐标系 xOy 中，平面区域 W 中的点的坐标（ x，y）满足 从区域 W 中随机取点 M（x，y） （1）若 xZ，yZ，求点 M 位于第一象限的概率（2）若 xR，yR，
30、求|OM|2 的概率【考点】几何概型【分析】 （1）列举法求出基本事件的个数二者做除法即可算出概率；（2）这是一个几何概率模型算出图中以（0，0）圆心 2 为半径的圆的阴影面积，再除以平面区域矩形ABCD 面积，即可求出概率【解答】解：（1）若 x，y Z，则点 M 的个数共有 12 个，列举如下：（1 ，0 ） ， （ 1， 1） ， （1，2） ， （0，0） ， （0，1） ， （0，2） ， （1，0） ， （1，1） ， （1，2） ， （2，0） ， （2，1） ，（2，2） 当点 M 的坐标为（1，1） ， （1，2） ， （2，1） ， （2，2）时，点 M 位于第一象限，故点
31、 M 位于第一象限的概率为 （2）这是一个几何概率模型如图，若 x，yR，则区域 W 的面积是 32=6满足|OM|2 的点 M 构成的区域为（x，y）| 1x2，0y2，x 2+y24，即图中的阴影部分，易知E（ 1， ） ，EOA=60，所以扇形 BOE 的面积是 ，EAO 的面积是 ，故|OM|2 的概率为 = 22试用等值算法求四个数 84，108，132，156 的最大公约数【考点】用辗转相除计算最大公约数【分析】利用等值算法可得：84 和 108 的最大公约数，再求 12 与 132 的最大公约数，12 与 156 的最大公约数即可得出【解答】解：先求 84 和 108 的最大公约
32、数：10884=24，8424=60 ，6024=36，3624=12 ，2412=1284 和 108 的最大公约数是 12再求 12 与 132 的最大公约数：由于13212=120，12012=108 ，108 12=96，96 12=84，8412=72，7212=60 ，6012=48，4812=36，36 12=24，2412=12故 12 是 12 与 132 的最大公约数再求 12 与 156 的最大公约数由于 15612=144，14412=132，由上面知 12 又是 12 和 156 的最大公约数这样 12 就是四个数 84，108，132，156 的最大公约数2016 年 10 月 21 日
