2018年河南省中原名校（豫南九校）高三上学期第四次质量考评（期中）数学（文）试题.doc

1、页 1 第河南省中原名校（豫南九校）2018 届高三上学期第四次质量考评（期中）数学（文）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集 ,集合 ， ,则的值为（ ）A. 0 B. 1 C. D. 【答案】B【解析】由已知可得 ，解得 。所以选 B。2. 复数 的实部与虚部相等，则实数 的值为（ ）A. 0 B. C. D. 【答案】A【解析】因为 ，所以 ，解得 ，故选 A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重

2、要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分3. 若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：依题意 ， ， .考点：充分必要条件.4. 如果 ，那么 的最小值为（ ）A. 4 B. C. 9 D. 18【答案】D【解析】试题分析：因为， ，所以， ，由均值定理得， ，当 m=n 时， “=”成立，故选 D。考点：对数函数的性质，均值定理的应用。页 2 第点评：简单题，利用均值定理，要注意“一正，二定，三相等”，缺一不可。5. 一个几

3、何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是一个正四棱锥，所以 ，故选 D.6. 连接双曲线 和 （其中 ）的四个顶点的四边形面积为 ，连接四个焦点的四边形的面积为 ，则 的最小值为（ ）A. B. 2 C. D. 3【答案】B【解析】四个顶点坐标分别为 ，连接四个顶点的四边形由四个直角三角形组成，所以。四个焦点为 ，其中 ，连接四个焦点的四边形由四个直角三角形组成，所以 ，所以由基本不等式可得 ，当且仅当时，上式取等号。故选 B。 7. 已知定义在 上的函数 ，其导函数 的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ） ；函数

4、在 处取得极小值，在 处取得极大值；函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值；函数 的最小值为 .页 3 第A. B. C. D. 【答案】A【点睛】由导函数的图像判断导函数值的正负，再得函数的单调性，可得函数的极值、最值、函数值的大小。8. 若将函数 的图象向右平移 个单位后得到的图象关于点 对称，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】若将函数 的图象向右平移 个单位后得到的图象对应的解析式为，因为平移后的图像关于点 对称，所以 ，即，所以 ，因为 时， ，故选 A。9. 已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴的交点为 ， 为抛物线上的一点，且满足 ，则点到 的距离为（ ）A. B

5、. 1 C. D. 2【答案】B【解析】由抛物线 可得 ，设点 到准线的距离为 ，由抛物线定义可得 ，因为，由题意得 ，所以 ，所以点 到 的距离页 4 第为 ，故选 B。【点睛】解决有关抛物线的问题，注意抛物线的定义得利用，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离。10. 在 中， ， 的最大值是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】因为 ，所以 ，因为 ，所以， ，所以当时，取最大值 1。故选 A。11. 已知 ，则 的最大值为（ ）A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C【点睛】求函数 的最值问题，利用辅助角公式将解析式化成一个角的三角函数形式，即，利用三角函数

6、的性质求最值。12. 已知定义在 上的函数 为增函数，且 ，则 等于（ ）A. B. C. 或 D. 【答案】B【解析】令 得 ，令 ，则 ， 中，令 ，则 ，所以 ，因为函数 为定义在 上的增函数，所以 ，变形可得 ，解得 或 ，所以 或 。令得 ，令 ，则 ，令 ，则页 5 第，所以 ，因为函数 为定义在上的增函数，所以 ，解得 或 ，所以 或 ，因为函数 为定义在 上的增函数，所以 。所以 。故选 B。【点睛】抽象函数求函数值，由关系式无法确定，逐步赋值后建立方程，求出方程的解，即关键根据关系式灵活给变量 赋值。函数 为定义在 上的增函数，故 ，舍去大的值。第卷（共 90 分）二、填空题

7、（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. ， ， ， 则按此规律可猜想第 个不等式为_.【答案】【解析】试题分析：观察不等式左边最后一项的分母 3,7,15，通项为 ，不等式右边为首项为 1，公差为 的等差数列，故猜想第 n 个不等式为 .考点：归纳推理14. 如图，长方体 的三个面的对角线 ， ， 的长分别是 1，2，3，则该长方体的外接球的表面积为_.【答案】【解析】设长方体的同一顶点的三条棱为 a，b，c，对角线 AC1 在各面上的投影为面对角线长，故a2+b2+c2= =7，R= = ，故球的表面积：S=4R 2=7故选：A点睛：本题是基础题，考查长方体的外接球的表面

8、积，考查空间想象能力，长方体的对角线长就是外接球的直径，是解决本题的关键页 6 第15. 已知点 在椭圆 上， 垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为 ，并且 为线段 的中点，则点的轨迹方程是_.【答案】【解析】设 P（x，y） ，则 M（x， ）点 M 在椭圆 上， ，即 P 点的轨迹方程为 x2+y2=36故填 .16. 已知数列 满足 ， .记 ，则数列 的前 项和 _.【答案】【解析】由 得， ，所以 是以 为公差的等差数列，故 ，所以，利用错位相减法可得：，故填 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 海中一小岛 的周围 内有暗

9、礁，海轮由西向东航行至 处测得小岛 位于北偏东 ，航行 8后，于 处测得小岛 在北偏东 （如图所示）.（1）如果这艘海轮不改变航向，有没有触礁的危险？请说明理由.（2）如果有触礁的危险，这艘海轮在 处改变航向为东偏南 （ ）方向航行，求 的最小值.附：【答案】(1)答案见解析；(2)海轮应按东偏南 15的方向航行.【解析】试题分析：（1）海轮不改变航向，有没有触礁的危险，应看点 到直线 的距离与 的大小。所以过点 作直线 的垂线，交直线 于点 .先由条件在点 处测得小岛 位于北偏东 ，得 ，在点 处测得小岛 在北偏东 ，得页 7 第，所以 。 .求 的三内角的，可得 。在 中，求得 .因为 ，

10、海轮由触礁的危险. （2）延长 至 ，使 。在 中求 ，即为所求。由（1）知 .所以 .在 中求得 .在中求 . ， .所以， . 所以海轮应按东偏南 15的方向航行.试题解析：解：（1）如图 1，过点 作直线 的垂线，交直线 于点 .由已知得 ， ， ， .在 中， .又 ，海轮由触礁的危险.（2）如图 2，延长 至 ，使 ，故 .由（1）得 . . ， .即 ， .故海轮应按东偏南 15的方向航行.18. 如图，四边形 是平行四边形，平面 平面 ， ， ，页 8 第为 的中点.（1）求证： 平面 ；（2）求证：平面 平面 .【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1

11、）取 BD 的中点为 O，连结 OE，OG，推导出四边形 OGFE 是平行四边形，从而FGOE，由此能证明 FG平面 BED（2）由余弦定理得 BD= ，由勾股定理得 BDAD，从而 BD平面 AED，由此能证明平面 BED平面 AED试题解析：（1）解:（1）证明:取 中点 ，连接 .在 中，因为 是 中点，所以 且 ，又因为 ， ，所以 且 ，即四边形 是平行四边形，所以 .又 平面 ， 平面 ，所以， 平面 . （2）证明:在 中， ，由余弦定理可得 ,进而 ,即 .又因为平面 平面 , 平面 ,平面 平面 ，所以 平面 .又因为平面 ,所以，平面 平面 .点睛：本题考查线面平行的证明，

12、考查面面垂直的，考查线面角的正弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查等价转化思想、数形结合思想，是中档题19. 在 中，满足 ， 是 中点.页 9 第（1）若 ，求向量 与向量 的夹角的余弦值；（2）若 是线段 上任意一点，且 ，求 的最小值.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）利用向量的数量积公式变形，设向量 +2 与向量 2 + 的夹角为 ，得到的值；（2）通过解三角形求出 AM 的长，设 OA 的长度为 x，得到 OM=1x，利用向量的平行四边形法则得到，利用向量的数量积公式将 表示为 x 的函数求最值试题解析：（1）设向量 与向量 的夹角为,，令

13、 ， .（2） ， ，设 ，则 .而 ，所以 .当且仅当 时， 的最小值是 .20. 设椭圆 的右焦点为 ，右顶点为 .已知 ，其中 为原点，为椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程及离心率的值；（2）设过点 的直线与椭圆交于点 （ 不在 轴上） ，垂直于的直线与交于点 ，与 轴交于点 .若，且 ，求直线的斜率的取值范围.【答案】(1) . ；(2) .【解析】试题分析：（1）由椭圆方程可知 ，由已知 得 ， ，平方得，所以 ，又因为 ， ，解得 ，所以 ，因此 .所以，椭圆的方程为 . . （2）因为直线过点 ，设直线的斜率为 ，由点斜式得直线的方页 10 第程为 ，设 ，把直线的方程为 与椭圆方

14、程联立消去 ，得，因为 2 与点 B 的横坐标是此方程的两个根，用根于系数的关系得，代入直线的方程从而得 . 由 ，得 ，设 ，求两向量的坐标。由（1）知， ，得向量坐标 ， . 所以 ，解得.因为直线 与直线垂直，所以直线 的斜率为 ，由直线的斜截式得直线 的方程为.联立直线的方程 与直线 的方程 ，设 ，可解得点 M 的横坐标 ，在 中，由大边对大角得 ，由两点间的距离公式得，化简得 ，即 ，解不等式可得 ，或 .试题解析：解：（1）设 ， ， ，又 ， ， ， ，所以 ，因此 .所以，椭圆的方程为 . .（2）解：设直线的斜率为 ，则直线的方程为 ，设 ，由方程组 ，消去 ，得 ，解得

15、，或 ，由题意得 ，从而 .由（1）知， ，设 ，有 ， .由 ，得 ，所以 ，解得 .因此直线 的方程为 .页 11 第设 ，由方程组 ，消去 ，解得 ，在 中，即 ，化简得 ，即 ，解得 ，或.所以，直线的斜率的取值范围为 .【点睛】1、求椭圆的方程就是求 的值，从条件中找 的关系，注意 的运用；2、求离心率是求的值，或找 的关系；3、 在 中，由大边对大角得 ，由点 M 是直线与直线的交点，故根据条件设两直线的方程，求交点坐标，根据 得关于直线的斜率为的不等式求解。21. 设函数 .若曲线 在点 处的切线方程为 （为自然对数的底数）.（1）求函数 的单调区间；（2）若关于 的不等式 恒成

16、立，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2) .【解析】试题分析：（1）由函数 的解析式得其定义域为 . . 因为曲线 在点 处的切线方程为 ，所以 , ,联立可得 解方程组可得. 所以 ， .分别解不等式 与 ，可得单调递减与递增区间。 （2）不等式 恒成立即不等式 恒成立，构造函数 ，因为 ，所以对任意 ，不等式 恒成立.考虑函数 的单调性。因为 。当时，对任意 恒成立，此时函数 单调递增.于是，不等式对任意 恒成立，不符合题意；当函数 为减函数时， ，即恒成立时，函数 单调递减，构造函数 ， 大于函数 的最大值，求导数判断单调性，对任意 ，所以 ，即 ，符合题意；当页 12 第

17、时，构造函数 ，二次求导 ，令 得 ，因为，所以 。所以当 时， ，此时 单调递增，所以 ，故当 时，函数 单调递增.于是当 时，成立，不符合题意；综合上面三种情况可得所求。试题解析：解：（1）函数 的定义域为 .依题意得 ， ，即所以 .所以 ， .当 时， ；当 时， .所以函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .（2）设函数 ，故对任意 ，不等式 恒成立.又 ，当 ，即 恒成立时，函数 单调递减，设 ，则 ，所以 ，即 ，符合题意；当 时， 恒成立，此时函数 单调递增.于是，不等式 对任意 恒成立，不符合题意；当 时，设 ，则 ；当 时， ，此时 单调递增，所以 ，故当 时，函数 单

18、调递增.于是当 时， 成立，不符合题意；页 13 第综上所述，实数的取值范围为： .【点睛】1、求函数的单调区间，可求导，令导函数大于、小于 0，再结合定义域，可得单调区间；2、不等式的恒成立问题，一种方法可以分离参数，转化为函数的最值问题，另一种方法构造函数，求函数的最值。3、判断函数的单调性时，可以求导，导函数正负不容易判断时，有时可以构造函数，二次求导。请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 已知曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程为 ， （ 为参数）.（1）将两曲线化成普通坐标方程；（2）求两曲线的公共弦长及公共弦所在的直线方程.【答案】(

19、1)曲线 ： ，曲线 ： ；(2) ， .【解析】试题分析：（1）因为 ，所以曲线 的极坐标方程 化成普通坐标方程是 ，由 变形得 ，两式平方相加可得 ，这就是曲线 的普通坐标方程；（2）两圆的方程相减，可得两圆公共弦所在的直线方程，求其中一个圆的圆心到公共弦所在直线的距离，也就是弦心距，利用弦心距、弦长一半、半径的勾股数关系求弦长一半，再求弦长。试题解析：解：（1）由题知，曲线 ： 的直角坐标方程为： ，圆心为 ，半径为 1；曲线 ： （ 为参数）的直角坐标方程为 ，（2）由-得， ，此即为过两圆的交点的弦所在的直线方程.圆心 到直线 的距离 ，故两曲线的公共弦长为 .【点睛】1、求两个圆的

20、公共弦所在的直线方程时，两个圆的方程相减化简可得；2、求圆的弦长时，注意利用弦心距、弦长一半、半径的勾股数关系。23. 已知关于 的不等式 .（1）当 时，解不等式；（2）如果不等式的解集为空集，求实数的取值范围.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）当 时，不等式 变为 。由绝对值的意义，按绝对值号内的 的正负，分三种情况讨论：当页 14 第时，不等式变为 ；当 时，不等式变为 ，恒成立，所以 符合不等式；当 时，不等式变为 。取三种情况的并集，可得原不等式的解集。 （2）解法一：构造函数 与 ，原不等式的解集为空集，的最小值比大于或等于，作出 与 的图象. 只须 的图象在的图

21、象的上方，或 与 重合， 。解法二：构造函数 ，讨论绝对值号内式子得正负去掉绝对值可得， ，求每一段函数的值域，可得函数的最小值=1，小于等于函数的最小值 1.解法三，由不等式 可得，当且仅当 时，上式取等号， .试题解析：解：（1）原不等式变为 .当 时，原不等式化为 ，解得 ，当 时，原不等式化为 ， .当 时，原不等式化为 ，解得 ， .综上，原不等式解集为 .（2）解法一：作出 与 的图象.若使 解集为空集，只须 的图象在 的图象的上方，或 与 重合， ，所以的范围为 .解法二： ，当 时， ，当 时， ，当 时， ，综上 ，原问题等价于 ， .解法三： ，当且仅当 时，上式取等号， .