1、第页 12018届广西玉林市陆川中学高三 12月月考数学（理）试题（解析版） 第 I卷(选择题，共 60分）一、选择题（本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合 ，则 AB=A. B. C. D. (2,1) (1,1 (0,1【答案】D【解析】因为 ，所以 ，故选 D.AB=(0,1点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是
2、否在集合中，避免出错2. 已知复数满足 ，则复数的虚部是（ ）1z= 11+2i+11iA. B. C. D. 15i 15 15i【答案】C【解析】由条件知道 . . . . . . . . .，由虚部的概念得到 。z=107+i= 10(7i)(7i)(7+i)=7i5 -15故答案为 C。3. 已知向量 是互相垂直的单位向量，且 ，则 （ ）a,b ca=cb=1A. B. 1 C. 6 D. 1 6【答案】D【解析】向量 是互相垂直的单位向量，故 ,a,b ab=0(3a-b+5c)b=0-1+5(-1)=-6.故答案为：D。4. 已知变量 与变量 之间具有相关关系，并测得如下一组数据
3、x y则变量 与 之间的线性回归方程可能为（ ）x y第页 2A. B. C. D. y=0.7x2.3 y=0.7x+10.3 y=10.3x+0.7 y=10.3x0.7【答案】B【解析】根据表中数据，得；，x=14(6+8+10+12)=9，y=14(6+5+3+2)=4且变量 y 随变量 x 的增大而减小，是负相关，排除 A,D.验证 时， ,C 成立；x=9 y=-0.79+10.3=4，不满足.y=-10.39+0.7=-92即回归直线 y=0.7x+10.3 过样本中心点( , ).y故选：B.点睛：求解回归方程问题的三个易误点： 易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是
4、一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系 回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过 点，可能所有的样本数据点(x,y)都不在直线上 利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值) 5. 设 ，其中 都是非零实数，若 ，那么 （ ）f(x)=asin(x+)+bcos(x+) a,b, f(2017)=1 f(2018)=A. 1 B. 2 C. 0 D. 1【答案】A【解析】函数 f（x）=asin（x+）+bcos（x+ ） ，其中 a，b， 都是非零实数，f（2017
5、）=1，f（2017）=asin（2017+）+bcos（2017+）=-asin-bcos=-1，f（2018）=asin（2018+）+bcos（2018+）=asin+bcos=1故答案为：A。6. 若 ，则（ ）0logm(1m) logm(1+m)0C. D. 1m(1+m)2 (1m)13(1m)12【答案】D【解析】 时， 为减函数，且有 ,则有 ，A 不正确；01-m logm(1+m)(1-m)12故选 D.7. 已知一个棱长为 2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该截面的面积为（ ）A. B. 4 C. 3 D. 92 3102【答案】A【解析】如图所示
6、，正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E， F 分别为 AB，AD 的中点，则该几何体是正方体 ABCD-A1B1C1D1截取三棱台 AEF-A1B1D1后剩余的部分.则截面为 FEB1D1.，为等腰梯形，上底 FE= ，下底 B1D1= ,腰为 .2 22 EB1= 1+4= 5得梯形的高为 .5-(22)2=322则面积为： .(2+22)3222 =92故选 A.8. 若函数 在区间 内恰有一个极值点，则实数的取值范围为（ ）f(x)=x3+x2ax4 (1,1)A. B. C. D. (1,5) 1,5) (1,5 (,1)(5,+)【答案】B第页 4【解析】由题意, ，f(x)=3
7、x2+2x-a则 ，f(-1)f(1)0,y0 x+y=A. B. C. D. 1+23 2+ 3 23【答案】B【解析】由题意得，若设 AD=DC=1，则 AC= ，AB=2 ，BC= ，由题意知， 2 2 6 DB=xDC+yDA,BCD 中，由余弦定理得 DB2=DC2+CB22DCCBcos（45+90）=1+6+21 =7+2 ，622 3 ，ADC=90，DB2=x2+y2，x2+y2=7+2 DB=xDC+yDA,x0,y0 DB=xDC+yDA,x0,y0如图，作 =x ， =y ，则 = + ，CC=x1，CB=y，DC DCDA DA DBDC DA第页 5RtCCB 中，
8、由勾股定理得 BC2=CC2+CB2，即 6=（x1）2+y2，由可得 x=1+ ，y= ，3 3故答案选 B10. 已知 是同一球面上的四个点，其中 是正三角形， 平面 ， ，则该A,B,C,D ABC AD ABC AD=2AB=6球的体积为（ ）A. B. C. D. 323 48 24 16【答案】A【解析】由题意画出几何体的图形如图，把 扩展为三棱柱，A,B,C,D上下底面中心连线的中点与 A 的距离为球的半径， 是正三角形，AD=2AB=6 OE=3，ABC所以 .AO= 32+( 3)2=23所求球的体积为：43(23)3=323.故选 A.点睛：关于球与柱体（椎体）的组合体的问
9、题，是近年高考的常考内容，且常与几何体的体积、表面积等结合在一起考查。解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用11. 已知抛物线 ，直线 ， 为抛物线 的两条切线，切点分别为 ，则“点 在上”是C:x2=4y l:y=1 PA,PB C A,B P“ ”的（ ）PAPBA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C第页 6【解析】设 ，由导数不难知道直线 PA，PB 的斜率分别为 .进一步得kPA=12x1，kPB=12x2.PA:y=12x1x-x214PB: .，由联立可得
10、点 ，PA:y=12x2x-x224 P(x1+x22 ,x1x24)(1)因为 P 在 l 上，所以 =1，所以 ，x1x24所以 PAPB；甲是乙的充分条件(2)若 PAPB， ，kPAkPB=12x112x2=x1x24=-1即 ，从而点 P 在 l 上.甲是乙的必要条件，yp=-1故选 C.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、 “定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.12. 已知函数
11、 （ 是自然对数的底数）.若 ，则 的取值范f(x)=12lnx+1 xe,e=2.71828 f(m)=2lnef(n) f(mn)围为（ ）A. B. C. D. 57,1 910,1) 57,1) 34,1)【答案】C【解析】由 f（m）=2ln f（n）得 f（m）+f（n）=1 f（mn）=1 =1 ，e2lnm+1+ 21+lnn=1 21+lnmn 21+lnm+lnn又 lnn+lnm+2=（lnn+1）+（lnm+1）（ ）=4+ 4+4=8，2lnm+1+ 21+lnn 2(1+lnm)1+lnn+2(1+lnn)1+lnmlnn+lnm6，f（mn）=1 ，且 m、ne
12、，lnn+lnm0， f（mn）=1 1， f（mn）1，21+lnmn57 21+lnm+lnn 57故选：C点睛：这个题目考查了对数的运算法则和不等式在求范围和最值中的应用；一般解决二元问题，方法有：不等式的应用；二元化一元的应用；变量集中的应用；都是解决而原问题的常见方法。其中不等式只能求出一边的范围，求具体范围还是要转化为函数。 二、填空题（本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分）13. 已知 x，y 满足 则 的最小z=3x+y值为_【答案】0第页 7【解析】由约束条件 作出可行域如图，联立 ，解得 ，化目标函数 为x+y4=0x+y2=0 A(1,3) z=3x+y，由图可知，
13、当直线 过 时，直线 轴上的截距最小，有最小值为 ，故y=3x+z y=3x+z A(1,3) y 31+3=0答案为 .0【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14. 已知双曲线 （ ）的一条渐近线被圆 截得的弦长为 2，则该双曲线的离x2a2y2b2=1a0,b0 x2+y26x+5=0心率为_【答案】62【解析】
14、圆的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ，一条渐近线方程为 ，圆心到(x3)2+y2=4 (3,0) r=2 bxay=0渐近线距离为 ，因为弦长为 2，所以 ，所以 d=3ba2+b2 ( 3ba2+b2)2=2212 e=ca=6215. 设数列 的前 n 项和为 ,若 且 则 的通项公式 _an Sn a1=3 2an=SnSn1 an an=【答案】 3, n=118(53n)(83n),n2【解析】 时，由 可得 化为 是公差为 ，首项为n2 2an=SnSn-1 2Sn2Sn1=SnSn1,1Sn1Sn1=12,1Sn 12的等差数列， ， 时， ，又因为 ，故13 n2 an=SnS
15、n1= 18(5-3n)(8-3n) a1=3答案为 .3, n=118(5-3n)(8-3n),n2 16. 如图，设 的内角 所对的边分别为 ， ，且 .若点 是ABC A,B,C a,b,c acosC+ccosA=bsinB CAB=6 D外一点， ，则当四边形 面ABC DC=2,DA=3 ABCD 积最大值时， _sinD=第页 8【答案】277【解析】因为 ，所以由正弦定理可得 acosC+ccosA=bsinB sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB=sin2B， ， ，又因为 ，所以 ，由余弦定理可得 ，可sinB=1 B=90 CAB=6 BC=12
16、AC,AB=32AC cosD=22+32AC2233得 ，四边形面积 AC2=1312cosD =3sinD+1338(1312cosD)，=1383+3sinD332cosD= 9+274sin(D+)+1383，tan=32,时四边形面积最大， 此时 ，可得+D=2 tanD=tan(2)= 1tan=233，故答案为 .sinD=277 277三、解答题(本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知数列 的前 项和 .an n Sn=2an2（1）证明： 是等比数列，并求其通项公式；an（2）求数列 的前 项和 .n+1an n Tn【答案】 （1
17、）见解析, （2）an=2n Tn=3n+32n【解析】试题分析：（1）由条件知道 ，两式子做差可得 ，移项Sn=2an-2,Sn+1=2an+1-2 an+1=2an+1-2an得到 。（2）根据第一问得到 ，由错位相减的方法求和即可.an+1an=2 an+1an=2（1）证明：当 时， ，n=1 a1=2由 得 ，Sn=2an-2,Sn+1=2an+1-2 an+1=2an+1-2an即 ，an+1=2an所以 ，an+1an=2所以数列 是以 2为首项，2 为公比的等比数列，于是 .an an=2n（2）解：令 ，bn=n+1an=n+12n第页 9则 ，Tn=221+322+423+
18、n+12n 得 ，12 12Tn=222+323+424+n2n+n+12n+1，得 12Tn=1+122+123+12n+n+12n+1=32-n+32n+1所以 .Tn=3-n+32n18. 在 中，角 所对的边分别为 ，且 .ABC A，B，C a，b，c acosB=(3cb)cosA（1）求 的值；cosA（2）若 ，点 在线段 上， ， ,求 的面积.b=3 M BCAB+AC=2AM| AM|=32 ABC【答案】 （1） （2）cosA=13 S=72【解析】试题分析：由正弦定理转化为三角函数，再化简求出 ，向量等式两边平方结合余弦定理即可cosA解出边长，再由面积公式求面积即
19、可.试题解析：（1）因为 ，由正弦定理得：acosB=(3c-b)cosA sinAcosB=(3sinC-sinB)cosA即 ,sinAcosB+sinBcosA=3sinCcosAsinC=3sinCcosA在 中， ，所以 ABC sinC0 cosA=13，两边平方得：AB+AC=2AM AB2+AC2+2ABAC=4AM2由 ， ， 得b=3 |AM|=32 cosA=13 c2+9+2c313=418解得： c=7或 c=-9（舍 ）所以 的面积ABC S=1273223=72点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中
20、两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.19. 为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）.阶梯级别 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯月用电范围（度） （0,210 （210,400 (400,+)某市随机抽取 10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：居民用电户编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10第页 10用电量（度） 53 86 90 124 132 200 215 225 300 410(1)若规定第一阶梯电价每度 0.5元
21、，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度 0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度 0.8元，试计算 A居民用电户用电 410度时应交电费多少元？(2)现要在这 10户家庭中任意选取 3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；(3)以表中抽到的 10户作为样本估计全市的居民用电，现从全市中依次抽取 10户，若抽到 户用电量为第k一阶梯的可能性最大，求 的值.k【答案】 （1）227 元（2） （3）E()=910 k=6【解析】试题分析：（1）10 户共有 3户为第二阶梯电量用户，所以可取 0,1,2,3，分别求其概率，即可列出分布列，计算期望；（2）由题意抽到的户数符合二项分布，设抽到 K户概率
22、最大，解不等式组，再根据即可求出.kN*试题解析：（1） 元 2100.5+(400-210)0.6+(410-400)0.8=227设取到第二阶梯电量的用户数为，可知第二阶梯电量的用户有 3户，则可取 0,1,2,3p(=0)=C37C310=724p(=1)=C27C13C310=2140p(=2)=C17C23C310=740p(=3)=C33C310=1120故的分布列是0 1 2 3724 2140 740 1120所以 E()=0724+12140+2740+31120=910可知从全市中抽取 10户的用电量为第一阶梯，满足 ，可知XB(10,35)p(X=k)=Ck10(35)k
23、(25)10-k(k=0,1,2,3,10),解得 ，285k335 kN*所以当 时，概率最大，所以k=6 k=6第页 1120. 已知函数 f(x)=(x2+bx+b) 12x(1)当 时，求函数 的单调区间；b=1 f(x)(2)求函数 在 上的最大值.f(x) 1,0【答案】 （1）单调减区间是 ，增区间是 （2）(,0 0,12 f(x)max=b(b 3)3(b 3)【解析】试题分析：（1）求函数的导函数，令 ，解不等式 ， 即可；（2）分类讨论，f(x)=0 f(x)0 f(x)0分析函数在 上的增减性，求函数最大值 .-1,0试题解析：（1）函数的定义域为 ，当 时， (-,1
24、2 b=-1 f(x)=-5x(x-1)1-2x由 得， 或 （舍去） 。f(x)=0 x=0 x=1当 时， ， 时，x(-,0 f(x)0 x0,12 f(x)0所以函数的单调减区间是 ，增区间是 (-,0 0,12（2）因为 ，由由 得， 或f(x)=-x(5x+3b-2)1-2x f(x)=0 x=0 x=2-3b5当 时，即 时，在 上， ，即 在 上递增，所以2-3b5 -1 b73 -1,0 f(x)0 f(x) -1,0 f(x)max=f(0)=b当 时，即 时，在 上， ，在 上， 即 在 上递-10 b 3)3(b 3) 21. 已知函数 .f(x)=ln(x+1)(1)
25、当 时，求证： ；x(1,0) f(x)0【答案】 （1）见解析（2） 见解析(1,+)【解析】试题分析：（1）构造函数，利用函数增减性求证；（2）只需函数的极小值小于 0即可；由第页 12知 ，记 ，分析函数的增减性，可知-1h(0)=0 g(x2)g(-x1)试题解析：（1）记 ，则 ，在 上，q(x)=x-ln(x+1) q(x)=1-1x+1= xx+1 (-1,0) q(x)q(0)=0 xln(x+1)=f(x)记 ，则 ，在 上，m(x)=x+ln(-x+1) m(x)=1+-11-x= xx-1 (-1,0) m(x)0即 在 上递增，所以 ，即 恒成立m(x) (-1,0)
26、m(x)ln(x+1) e-xh(0)=0 g(x)g(-x) -1g(-x1)，所以 ，由题知， ， 在 递增，所以 ，即g(x1)=g(x2)=0 g(x2)g(-x1) -x1,x2(0,+) g(x) 0,+) x2-x1x1+x20点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，第页 13一般要构造函数，利用函
27、数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.请考生在 22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点为平面直角坐标系 的原点，极轴为 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，xOy x曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，直线过点 ，且斜率为 ,射线 的极坐标方程为C x=1+ 2cosy=1+ 2sin (1,0) 12 OM=34（1）求曲线 和直线的极坐标方程；C（2）已知射线 与圆 的交点为 ，与直线的交点为 ，求线段 的长OM C O,P Q PQ【答案】 （1）曲线 的极坐标方程为 ，直线 : (2) C +
28、2cos2sin=0 cos2sin+1=0523【解析】试题分析：(1)将直角坐标方程化简极坐标方程可得曲线 和直线的极坐标方程为 ，C =22sin(-4)；cos-2sin+1=0(2)利用题意求得 ，故线段 的长为 .|OP|=22,|OQ|=23 PQ 523试题解析：解：(1) 曲线 的普通方程为 ，将 代入整理得 ，C (x+1)2+(y-1)2=2 x=cos,y=sin +2cos-2sin=0即曲线 的极坐标方程为 .直线的方程为 ，所以极坐标方程为C =22sin(-4) y=12(x+1).cos-2sin+1=0(2)当 时， ，故线段 的长为 .=34 |OP|=2
29、2sin(34-4)=22,|OQ|= 1222+22=23 PQ 22- 23=52323. 选修 4-5：不等式选讲（1）函数 ，若存在实数 ，使得 成立，求实数 的取值范围；f(x)=|x3| x 2f(x+4)m+f(x1) m（2）设 ，若 ，求 的最小值x,y,zR x+2y2z=4 x2+4y2+z2【答案】(1) (2) 5,+)83【解析】试题分析：（1）构造函数，去绝对值号的分段函数，画出图象，数形结合即可；（2）由柯西不等式即可求出不等式的最小值.试题解析：解：令 ，则 ，即g(x)=2f(x+4)-f(x-1) g(x)=2|x+1|-|x-4|第页 14g(x)= -x-6 (x-1)3x-2 (-1x4)x+6 (x4) 作出的图像，如图所示，易知其最小值为-5 所以 ，实数的取值范围是mg(x)min=-5 -5,+)由柯西不等式： 12+12+(-2)2x2+(2y)2+z2(x+2y-2z)2即 ，故6(x2+4y2+z2)(x+2y-2z)2=16 x2+4y2+z283当且仅当 时，即 时等号成立，x1=2y1=z-2 x=23,y=13,z=-43所以 的最小值为 .x2+4y2+z283
