1、第页 12018 届广东省东莞外国语学校高三第一次月考数学文试题（解析版）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合 ，则集合 中的元素个数为（ ）A=x|x=3n+2,nN,B=6,8,10,12,14A. 5 B. 4 C. 3 D. 2【答案】D【解析】由已知得 中的元素均为偶数， 应为取偶数，故 ，故选 D.n AB=8,142. 设 ，则 （ ） .A. B. C. D. 2POM【答案】B【解析】 ，z=11+i+i= 1-i(1+i)(1-i)+i=12+12i|z|= (12)2+(12)2=
2、22故选：B点睛：复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略：（1）复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可 （2）复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式 （3）利用复数相等求参数 3. 已知命题 ： ， ；命题 ： .则下列结论正确的是（ ）p xR cosx=54 q xR,x2x+10A. 命题 是真命题 B. 命题 是真命题pq pqC. 命题 是真命题 D. 命题 是假命题pq pq【答案】C【解析】因为对任意 xR，都有 cosx1 成立，而1，所以命题 p:xR，c
3、osx=是假命题；对任意的R ， =(x0.5)2+0.750x2-x+1命题 q:xR， 0，是一个真命题x2-x+1第页 2由此对照各个选项，可知命题pq 是真命题故答案为：C4. 等比数列 中， ，前三项和 ，则公比 的值为（ ）an a3=6 S3=18 qA. 1 B. C. 1 或 D. 1 或12 12 12【答案】C【解析】 ， 或 ，故选 CS3=18 q=1 q=125. 曲线 上两点 A(4,0)、B(2,4)，若曲线上一点 P 处的切线恰好平行于弦 AB，则点 P 的坐标是（ y=4xx2）A. (3,3) B. (1,3) C. (6,-12 ) D. (2,4)【答
4、案】A【解析】点 P（x 0，y0）A（4，0），B（2，4）kAB= =-24-02-4过点 P 的切线 l 平行于弦 ABkl=-2根据导数的几何意义得知，曲线在点 P 的导数 y xx0 =4-2x xx0 =4-2x0=-2，即 x0=3点 P（ x0，y0）在曲线 y=4x-x2 上y0=4x0-x02=3故选 A点睛：高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：（1）已知切点求切线方程；（2）已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；（3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围6. 在 中，内角 A,B,C 所对应的边分别为 ，若 ，则 的值为（ ）4 12 2sin2Bsin2Asin
5、2AA. B. C. 1 D. 【答案】D【解析】根据正弦定理可得， ，故选 D.2sin2Bsin2Asin2A =2b2a2a2 =727. 如右图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（ ）第页 3A. B. C. D. 203 8 9 193【答案】D【解析】试题分析：由三视图可知，这个几何体是三棱锥.如图所示， 为球心， 为等边三角形 的外心，O F BCD由图可知 ，故外接球面积为 .R2=OF2+CF2=(12)2+(332)2=1912 193考点：三视图.【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为 ,常见的图形有正三角形,直角
6、三角形,矩形, 它们的外心可用其几何x性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为 则其体对角线长为a,b,c;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外a2+b2+c2心分别做这个面的垂线,交点即为球心.8. 由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四个面( )A. 各正三角形内一点 B. 各正三角形的某高线上的点C. 各正三角形的中心 D. 各正三角形外的某点【答案】C9. 执行如图 所示的程序框图,若输入 的值为 ,则输出的 的值为2 n 7 s第页 4A. B. C. D. 15【答案】B
7、【解析】试题分析：当 时， ；当 时， ；当 时，；当 时， ；当 时， ；当 时，；当 时，退出循环，输出 ；故选 B考点：程序框图.【方法点睛】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理；在该题中，由已知中的程序框图及已知中输入，可得：进入循环的条件为 ，即 模拟程序的运行结果，即可得到输出的 值10. .已知偶函数 f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)0 f(x)=ln(x+1) f(x)（ ）第页 5A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数 f(x)对任意的 xR 有 f(x)+
8、f(x)=0，函数 f(x)为 R 上的奇函数，图象关于原点对称，排除 B、C将 y=lnx 的图象向左平移 1 个单位长度，即可得到 f(x)=ln(x+1)的图象，由对数函数的图象性质排除 D故选 A12. 已知函数 ，且 ，则 （ ）f(x)= 2x12,x1log2(x+1),x1 f(a)=3 f(6a)=A. B. C. D. 74 54 34 14【答案】A【解析】函数 且 f(a)=3，f(x)= 2x-1-2,x1-log2(x+1),x1 若 a1,则 2=3,即有 =11,则 =3，解得 a=7，-log2(a+1)则 f(6a)=f(1)= 2= .2-1-1 -74故
9、选：A.点睛：分段函数中，由函数值求自变量的问题，注意分段讨论，本题需要分成两段，每一段都要注意前提条件，即本段的定义域；最后把几类情况加以整合.第页 6二、填空题：本大共 4 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分13. 若 ，则 _sin2=【答案】 -725【解析】由 可得： ，cos(4-)=35两边平方得: ,12(1+2sincos)=925sin2=-725故答案为： -72514. 已知角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正半轴若 P(4， y)是角 终边上一点，且 ，sin=255则 y_【答案】-8【解析】角 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若
10、 P(4,y)是角 终边上一点,x=4,r= ，16+y2sin= = ，y=8，y16+y2-255故答案为：-8.15. 如果实数 满足 ,若直线 将可行域分成面积相等的两部分，则实数 的值为_.x,y x-y+30x+y-10x1 y=k(x-1) k【答案】-3【解析】作出不等式组对应平面区如图(三角形 ABC 部分):直线 y=k(x1)过定点 C(1,0)，C 点也在平面区域 ABC 内，要使直线 y=k(x1)将可行域分成面积相等的两部分，则直线 y=k(x1)必过线段 AB 的中点 D.第页 7由 ,解得 ,即 B(1,4)，x=1x-y+3=0 x=1y=4 由 ,解得 ,即
11、 A(1,2)，x-y+3=0x+y-1=0 x=-1y=2 AB 的中点 D (0,3)，将 D 的坐标代入直线 y=k(x1)得 3=k，解得 k=3，故答案为：3点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.16. 要制作一个容积为 4 m3,高为 1 m 的无盖长方体容器. 已知该容器的底面造价是每平方米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,求
12、该容器的最低总造价_.【答案】160 元【解析】设池底长和宽分别为 a，b，成本为 y，则长方形容器的容器为 4 m3，高为 1m，a+b2 =4，ab当 a=b=2 时，y 取最小值 160，即该容器的最低总造价是 160 元，三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知 分别是 内角 的对边， .a,b,c ABC A,B,C sin2B=2sinAsinC（）若 ，求 a=b cosB;（）若 ，且 求 的面积.B=90 a= 2, ABC【答案】 （1）;（2）1.【解析】试题分析：（1）由 ，结合正弦定理可得： ，再利用余弦定理即
13、可得出sin2B=2sinAsinC b2=2accosB;（2 ）利用（1 ）及勾股定理可得 c，再利用三角形面积计算公式即可得出第页 8试题解析：（1）由题设及正弦定理可得 b2=2ac又 ，可得a=b b=2c,a=2c由余弦定理可得 cosB=a2+c2b22ac =14（2 ）由（1 ）知 b2=2ac因为 ，由勾股定理得B=90 a2+c2=b2故 ，得a2+c2=2ac c=a= 2所以 的面积为 1考点：正弦定理，余弦定理解三角形18. 数列 、 的每一项都是正数, , ,且 、 、 成等差数列, 、 、 成等比an bn b1=16 an bn an+1 bn an+1 bn
14、+1数列, .n=1,2,3,（）求 、 的值；a2 b2（）求数列 、 的通项公式；an bn【答案】 （1）24,36（2） ,an=4n(n+1) bn=4(n+1)2【解析】试题分析：（1）由已知条件可得： ， ，由此解得： 、 的值；（2）由已2b1=a1+a2a22=b1b2 a2b2知条件推导出 ， ，由此得出数列 、 的通项公式.2bn=an+an+1a2n+1=bnbn+1 an bn试题解析：()由 ，可得 . 2b1=a1+a2 a2=2b1-a1=24由 ，可得 .a22=b1b2 b2=a22b1=36（）因为 、 、 成等差数列，所以 . anbnan+1 2bn=
15、an+an+1因为 、 、 成等比数列，所以 ，bnan+1bn+1 a2n+1=bnbn+1因为数列 、 的每一项都是正数，所以 . an bn an+1= bnbn+1于是当 时， . n2 an= bn-1bn将、代入式，可得 ， 2bn= bn-1+ bn+1因此数列 是首项为 4，公差为 2 的等差数列，bn 第页 9所以 ，于是 . bn= b1+(n-1)d=2n+2 bn=4(n+1)2则 . an= bn-1bn= 4n24(n+1)2=4n(n+1)当 时， ，满足该式子，所以对一切正整数 ，都有 .n=1 a1=8 n an=4n(n+1)19. 如图，三棱柱 中， ，
16、， C11C1 C=C =1 1=60（）证明： ；1C（）若 ， ，求三棱锥 的体积=C=2 1C= 6 CC1【答案】 （1）见解析；（2）1【解析】试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、三棱锥的体积等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，在等腰三角形中，O 为 AB 中点，所以 CO 为高，由已知可得 为等边三角形，所以得到 ，所以利用线面垂直的判定得 平面A1AB A1OAB AB，最后利用线面垂直的性质得 ；第二问，在等边 和 中，先解出 CO 和 的长，判COA1 ABA1C ABC A1AB A1O断得出 是直角三角形，所以
17、得证 平面 ，再利用三棱锥的体积公式计算即可 .A1OC A1O ABC试题解析：（1）证明：取 的中点 ，连接 ， ， AB O CO OA1 A1B，故 ， 2 分CA=CB COAB又 ， AB=AA1 BAA1=60o为等边三角形A1AB， 4 分A1OAB又因为 平面 ， 平面 ， CO COA1 A1O COA1 COA1O=O平面 6 分AB COA1又 平面 ，因此 ； 7 分A1C COA1 ABA1C第页 10（2 ）解：在等边 中 ，在等边 中 ；ABC CO=232= 3 A1AB A1O=232= 3在 中 A1OC OC2+A1O2=3+3=6=A1C2是直角三角形
18、，且 ，故 9 分A1OC A1OC=90o OCA1O又 、 平面 ， ，OC AB ABC OCAB=O平面 A1O ABC故 是三棱锥 的高 10 分A1O A1ABC又 SABC=1222sin60o= 3三棱锥 的体积 A1ABC三棱锥 的体积为 1 13 分 CABC1考点：线线垂直、线面垂直、三棱锥的体积.20. 已知 ； 不等式 恒成立，若 是 的必要条件，求实数 的取值范围.p:12x8 q: x2-mx+40 p q m【答案】 m4【解析】试题分析：由已知可求 p：0x3，由p 是q 的必要条件可知 p 是 q 的充分条件，从而可得 x2-mx+40 对于任意的 x（0，
19、3）恒成立，进而转化为 m 对于任意的 x（0，3）恒成立，利x2+4x用基本不等式可求试题解析：,即 , 是 的必要条件,p:12x8 p q是 的充分条件, 不等式 对 恒成立,x2-mx+40对 恒成立,当且仅当 时,等号成立. .x+4x2x4x=4 x=221. 如图 ,矩形 中, , 分别为 边上的点,且 ,将 沿 折起至5 ABCD AB=12,AD=6, E,F CD,AB DE=3,BF=4 BCE BE位置(如图 所示),连结 ,其中 .PBE 6 AP,PF PF=25() 求证: ； PF平 面 ABED() 在线段 上是否存在点 使得 ?若存在, 求出点 的位置；若不
20、存在,请说明理由.PA Q FQ平 面 PBE Q第页 11() 求点 到 的距离.A 平 面 PBE【答案】 （1）见解析；（2）853【解析】试题分析：（）连结 EF，由翻折不变性可知，PB=BC=6，PE=CE=9，由已知条件，利用勾股定理推导出 PFBF，PFEF，由此能够证明 PF平面 ABED（） 当 Q 为 PA 的三等分点（靠近 P）时，FQ平面 PBE由已知条件推导出 FQBP，即可证明 FQ平面PBE（） 由 PF平面 ABED，知 PF 为三棱锥 P-ABE 的高，利用等积法能求出点 A 到平面 PBE 的距离试题解析：()连结 ,由翻折不变性可知, , ,EF PB=B
21、C=6PE=CE=9在 中, ,PBF PF2+BF2=20+16=36=PB2所以 PFBF在图 中,易得 ,1 EF= 62+(12-3-4)2= 61在 中 , ,所以PEF EF2+PF2=61+20=81=PE2 PFEF又 , 平面 , 平面 ,所以 平面 .BFEF=FBF ABEDEF ABED PF ABED() 当 为 的三等分点(靠近 )时, 平面 . Q PA P FQ/ PBE证明如下:因为 , ,所以 AQ=23APAF=23AB FQ/BP又 平面 , 平面 ,所以 平面 . FQ PBEPB PBE FQ/ PBE（注：学生不写 平面 ,扣 1 分）FQ PBE
22、() 由()知 平面 ,所以 为三棱锥 的高. PF ABED PF P-ABE设点 到平面 的距离为 ,由等体积法得 ,A PBE h VA-PBE=VP-ABE即 ,又 , ,13SPBEh=13SABEPF SPBE=1269=27SABE=12126=36第页 12所以 ,即点 到平面 的距离为 .h=SABEPFSPBE =362527=853 A PBE 853点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法分割法、补形法、等体积法. 割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决等积
23、法：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积) 通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥) 的高，而通过直接计算得到高的数值22. 在直角坐标系 xOy 中，已知点 ，直线 L 的参数方程为 （t 为参数）若以 O 为极点，以P(12， 1) x=12+32ty=1+12t Ox 为极轴，选择相同的单位长度建立极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为 = cos（ ）24（）求直线的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；（）设直线 L 与曲线 C 相交于
24、 A，B 两点，求点 P 到 A，B 两点的距离之积【答案】 （1） =0, （2）x- 3y-12+ 3 (x-12)2+(y-12)2=12【解析】试题分析：（I）由加减消元法可将直线 l 的参数方程化为普通方程；由 可将x=cos,y=sin曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程 （II）把直线 l 的参数方程 ，代入圆的方程可得 ，由于点 P（，1）在直线 l 上，可x=12+32ty=1+12t t2+12t14=0得|PA|PB|=| t1t2|利用韦达定理可得结果 试题解析：解：（I）由直线 l 的参数方程 ，消去参数 t，可得 =0； 由曲线 C 的极坐标方程 = cos（- ）展开为 ， 化为 2= cos+ sin， 曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2=x+y，即 = （II）把直线 l 的参数方程 代入圆的方程可得 =0， 点 P（ ，1）在直线 l 上，|PA|PB|=| t1t2|=
