2018年福建省三明市第一中学新高三上学期开学考试数学（理）试题（pdf版）.rar

高三理科数学 第 1 页（共 6页）三明一中2017-2018学年第一学期高三入学考试理科数学试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请把答案填在答题卷相应的位置上．1．若集合  6P x N x   ，  2 11 18 0Q x x x    ，则P Q 为（ ）.A． 2 6x x  B． 3,4,5 C． 3 5x x  D． 2,3,4,52．已知 432a  ， 254b  ， 2 4log 3c  ，则（ ）.A．b a c  B．c a b  C．b c a  D．c b a 3．函数 1( ) 1xf x a   ( 0 1)a a 且 ，无论a取何值，函数图象恒过一个定点的坐标为（ ）.A． 0,1 B． 0,2 C． 1,1 D． 1,24．已知函数  f x 是定义在 ,m n 上的可导函数，命题  :p f x 在 ,m n 上是增函数，命题 : 0q f x  在 ,m n 内恒成立，则p是q的（ ）条件.A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要5．函数   2ln 10f x x x   的零点所在的大致区间为（ ）.A． 0,1 B． 1,2 C． 2,3 D． 3,46．某市生产总值连续两年持续增加，第一年增长率为25%，第二年增加率为60%，则该市这两年生产总值的年平均增长率约为（ ）.A．35.5% B．41.4% C．42.5% D．50%7．已知实数x，y满足 3 6 02 4 02 3 12 0x yx yx y         ，则z x y  的最小值是（ ）.A． 4 B． 6 C． 25 D．08．设命题 : 4 3 1p x  ，    2: 2 1 1 0q x a x a a     ，若非p是非q的必要不充分条件，则实数a的取值范围为（ ）.A．  1,0 ,2    B．  1,0 ,2     C． 10, 2    D． 10, 2   高三理科数学 第 2 页（共 6页）9、已知函数    1ln 1f x x x   ，则  f x 的图象大致为（ ）.10．已知函数   1 22 , 01 log , 0x xf x x x     ，   2f a  ，则实数a的取值范围为（ ）.A．  1, 8,2     B．  1, 8,2     C． 1, 2    D． 8,11．已知     11 3, 0,12 1, 1,2x xxf x x      ，且    g x f x mx  在 0,2 内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围（ ）.A． 9 1, 2 0,4 2          B． 11 1, 2 0,4 2         C． 9 2, 2 0,4 3          D． 11 2, 2 0,4 3         12．已知函数    2 1 02xf x x e x    与    2 lng x x x a   的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围为（ ）.A． 1, e    B． , e C． 1 , ee    D． 1,e e   二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案写在答题卷相应位置上．13．函数  2 1log 2y x  的定义域为 ．14．已知  f x 是一次函数，且    2 1f x f x x   ，则  f x 的解析式为 ．15．已知函数  f x 是在R上的偶函数，且满足    1 1f x f x   ，当  1,2x 时，  2f x x  ，则  2018.5f   ．16． 已知关于x的方程 1 ln 0a x x b    （ , , 1a b R a 且 ）至多有一个实数根，则a b的取值范围是 ．高三理科数学 第 3 页（共 6页）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知集合 2 12xA x x    ，  2 1B x x m   ，U R ．（Ⅰ）当 1m  时，求集合A B ， BA ；（Ⅱ）若  UA C B A ，求实数m的取值范围．18.（本小题满分12分）在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含3个方面：①下潜时，平均速度为v（米/单位时间）时，单位时间内用氧量为 20.1v ；②在水底作业需要5个单位时间，每个单位时间用氧量0.4；③返回水面平均速度为2v（米/单位时间），单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为y.（Ⅰ）将y表示为v的函数；（Ⅱ）设0 5v  ，试确定下潜速度v，使总的用氧量最少，最少为多少？高三理科数学 第 4 页（共 6页）19.（本小题满分12分）已知二次函数   2f x x ax a   ,（Ⅰ）若函数  f x 在 1,1 内有两个零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当  1,1x  时，   0f x  恒成立，求实数a的取值范围.20.（本小题满分12分）已知定义域为R的函数   5 25 1xx af x    是奇函数,（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）判断函数  f x 的单调性；（III）设关于x的函数    19 3 4x xy f c f      有零点，求实数c的取值范围.高三理科数学 第 5 页（共 6页）21.（本小题满分12分）已知函数     1 ln 1 0xf x xx   .（Ⅰ）试判断函数  f x 在 0, 的单调性并证明你的结论；（Ⅱ）若不等式   1kf x x  恒成立，求整数k的最大值；（III）求证：     2 31 1 2 1 2 3 1 1 nn n e           .高三理科数学 第 6 页（共 6页）注意：请考生在22、23题两题中任选一道．．．．题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 12 232x ty t    （t为参数），若以该直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2sin 4cos 0    .（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知直线l与曲线C交于 ,A B两点，设  2, 0M ,求 1 1MA MB 的值.23.（本小题满分10分）设函数   1 2f x x a x a     .（Ⅰ）若  1 3f  时，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若 1a  ，x R ，求证   2f x  .高三理科数学 第 1 页（共 4页）三明一中2017-2018学年第一学期高三入学考试（理科数学）参考答案一、选择题：每小题5分，共60分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B D D A C B A D B C A B二、填空题：每小题5分，共20分.13.    2,3 3, 14.   2f x x  15.__0.5___; 16.____ 1, ____.三、解答题：第17-21题12分，第22-23题，每题10分，共70分.17.解： （Ⅰ）  2 1 2 22xA x x xx         ， …………2分当 2m  时，  1B x x  ， …………3分所以A B      2 2 1 2 1x x x x x x         ， …………5分     2 2 1 2A B x x x x x x        ， …………7分（Ⅱ）  2 1UC B x x m   ， …………8分因为  UA C B A ，所以  UA C B ， …………10分所以2 1 2m   ，即 12m   . …………12分18.解： 解：（Ⅰ）潜入水底用时30v ，用氧量为 230 0.1 3v vv   ，水底作业时用氧量为5 0.4 2  ，返回水面用时60v ，用氧量为60 120.2v v  .所以  123 2 0y v vv    . …………6分（Ⅱ） 0 5v  ，所以 12 123 2 2 2 3 14y v vv v       ， …………9分当且仅当 123v v 即 2v  时，总用氧量最少，最少为14. …………11分所以当下潜速度为2米/单位时间时，用氧量最少，最少为14. …………12分高三理科数学 第 2 页（共 4页）19.解： （Ⅰ）由题意知：   1 01 001 12ff a       ，即 21 2 01 04 02 2aa aa       ，得 10 2a  ; …6分（Ⅱ）函数  f x 的图象是开口向上，对称轴为 2ax   的抛物线，  0f x  恒成立等价于  min 0f x ①当 12a   即 2a  时，  f x 在 1,1 上是增函数，所以    min 1 1 2 0f x f a     ，所以 12a  ，与 2a  矛盾，舍去；②当 1 12a    即 2 2a   时，  f x 的最小值为 02af      ，即 2 4 0a a    ，即4 0a   .又 2 2a   ，所以 2 0a   ；③当 12a  即 2a   时，  f x 在 1,1 上是减函数，    min 1 1 0f x f   ， 2a   符合题意.综合①②③可知，a的取值范围为 0a a  . …………12分20.解：（Ⅰ）因为  f x 是定义在R上的奇函数，所以  0 0f  ， 005 2 05 1a   即 12a  ；经检验，当 12a  时  f x 是定义在R上的奇函数，所以 12a  . …4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得    22 ln5 5 05 1 xxf x      ，所以  f x 在R上单调递减； …………6分（III）令    2 19 3 4 0x xy f c f       ，则    2 19 3 4x xf c f      ， …………7分又  f x 是定义在R上的奇函数，所以    f x f x   ，所以    19 3 4x xf c f    .…8分因为  f x 在R上单调递减，所以 19 3 4x xc    ，即  219 3 4 3 3 3 4x x x xc        ，设 3xt  ， 0t  ，则 22 3 73 4 2 4c t t t         ，所以 22 3 7 73 4 2 4 4c t t t          ,所以c的取值范围为 7 ,4  . …………12分高三理科数学 第 3 页（共 4页）21.解：解：（1）      2 21 1 11 ln 1 ln 11 1xf x x xx x x x                  ，0x  , 2 0x  , 1 01x  ,  ln 1 0x  ,   0f x  ,  f x 在 0, 上递减.……2分（2）   1kf x x  ，所以  1 ln 1 1x kx x    ，而 0x  ，所以    1 1 ln 1x xk x     .设        1 1 ln 1 0x xh x xx      ，    1 ln 1x xh x x    ，记      1 ln 1 0g x x x x     ,   01xg x x   ，所以  g x 在 0, 上是增函数，又  2 1 ln3 0g    ，  3 2 2ln 2 0g    ，所以存在  0 2,3x  ，  0 0g x  ，即  0 01 ln 1x x   .当 0x x 时，   0g x  ，   0h x  ，  h x 是减函数；当 0x x 时，   0g x  ，   0h x  ，  h x 是增函数.所以            min 1 1 ln 1 +1 1 3,4a a a ah x h a aa a          ,故正整数k的最大值是3. …………7分（3）由（2）知    1 ln 1 3 01x xx x    ，所以   3 3 3ln 1 1 2 21 1xx x x x        ，令   1x n n n N   ,则    3ln 1 1 2 1n n n n       ，     ln 1 1 2 ln 1 2 3 ln 1 1n n             3 3 32 2 21 2 2 3 1n n                        1 1 12 3 1 2 2 3 1n n n           1 32 3 1 2 3 2 31 1n n nn n               2 31 1 2 1 2 3 1 1 nn n e            . …………12分高三理科数学 第 4 页（共 4页）22.解：（Ⅰ） 消去t，得直线l的普通方程为 3 2 3 0x y   .2sin 4cos 0    两边同时乘以得 2 2sin 4 cos 0     ，而 cos , sinx y     ，所以曲线C的直角坐标方程为 2 4y x ； …………3分（Ⅱ）将 12 232x ty t    代入 2 4y x 的 23 8 32 0t t   ， 0  , …………5分设 23 8 32 0t t   的两个根为 1 2,t t ，即点 ,A B对应的参数，则 1 2 83t t  ， 1 2 323t t   , …………7分所以 831 2 321 2 1 2 1 2 31 1 1 1 1 1 14t tMA MB t t t t t t        . …………10分23.解：（Ⅰ） 因为  1 3f  ，所以 1 2 3a a   ，①当 0a  时， 1 2 3a a    ，即 23a   ，所以 2 03 a   ；②当 10 2a  时， 1 2 3a a   ，即 2a   ，所以 10 2a  ；③当 12a  时，  1 2 3a a   ，即 43a  ，所以1 42 3a  .综上可知，实数a的取值范围为 2 4,3 3   . …………6分（Ⅱ）因为 1a  ，x R ，所以      1 2 1 2 3 1 3 1 2f x x a x a x a x a a a               .所以   2f x  成立. ………10分