1、高三理科数学 第 1 页（共 6页）三明一中2017-2018学年第一学期高三入学考试理科数学试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请把答案填在答题卷相应的位置上1若集合 6P x N x ， 2 11 18 0Q x x x ，则P Q 为（ ）.A 2 6x x B 3,4,5 C 3 5x x D 2,3,4,52已知 432a ， 254b ， 2 4log 3c ，则（ ）.Ab a c Bc a b Cb c a Dc b a 3函数 1( ) 1xf x a ( 0 1)a
2、 a 且 ，无论a取何值，函数图象恒过一个定点的坐标为（ ）.A 0,1 B 0,2 C 1,1 D 1,24已知函数 f x 是定义在 ,m n 上的可导函数，命题 :p f x 在 ,m n 上是增函数，命题 : 0q f x 在 ,m n 内恒成立，则p是q的（ ）条件.A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要5函数 2ln 10f x x x 的零点所在的大致区间为（ ）.A 0,1 B 1,2 C 2,3 D 3,46某市生产总值连续两年持续增加，第一年增长率为25%，第二年增加率为60%，则该市这两年生产总值的年平均增长率约为（ ）.A35.5% B41.4% C42
3、.5% D50%7已知实数x，y满足 3 6 02 4 02 3 12 0x yx yx y ，则z x y 的最小值是（ ）.A 4 B 6 C 25 D08设命题 : 4 3 1p x ， 2: 2 1 1 0q x a x a a ，若非p是非q的必要不充分条件，则实数a的取值范围为（ ）.A 1,0 ,2 B 1,0 ,2 C 10, 2 D 10, 2 高三理科数学 第 2 页（共 6页）9、已知函数 1ln 1f x x x ，则 f x 的图象大致为（ ）.10已知函数 1 22 , 01 log , 0x xf x x x ， 2f a ，则实数a的取值范围为（ ）.A 1,
4、8,2 B 1, 8,2 C 1, 2 D 8,11已知 11 3, 0,12 1, 1,2x xxf x x ，且 g x f x mx 在 0,2 内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围（ ）.A 9 1, 2 0,4 2 B 11 1, 2 0,4 2 C 9 2, 2 0,4 3 D 11 2, 2 0,4 3 12已知函数 2 1 02xf x x e x 与 2 lng x x x a 的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围为（ ）.A 1, e B , e C 1 , ee D 1,e e 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案写在答题卷相应位置上
5、13函数 2 1log 2y x 的定义域为 14已知 f x 是一次函数，且 2 1f x f x x ，则 f x 的解析式为 15已知函数 f x 是在R上的偶函数，且满足 1 1f x f x ，当 1,2x 时， 2f x x ，则 2018.5f 16 已知关于x的方程 1 ln 0a x x b （ , , 1a b R a 且 ）至多有一个实数根，则a b的取值范围是 高三理科数学 第 3 页（共 6页）三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）已知集合 2 12xA x x ， 2 1B x x m ，U R （）
6、当 1m 时，求集合A B ， BA ；（）若 UA C B A ，求实数m的取值范围18.（本小题满分12分）在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含3个方面：下潜时，平均速度为v（米/单位时间）时，单位时间内用氧量为 20.1v ；在水底作业需要5个单位时间，每个单位时间用氧量0.4；返回水面平均速度为2v（米/单位时间），单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为y.（）将y表示为v的函数；（）设0 5v ，试确定下潜速度v，使总的用氧量最少，最少为多少？高三理科数学 第 4 页（共 6页）19.（本小题满分12分）已知二次函数 2
7、f x x ax a ,（）若函数 f x 在 1,1 内有两个零点，求实数a的取值范围；（）当 1,1x 时， 0f x 恒成立，求实数a的取值范围.20.（本小题满分12分）已知定义域为R的函数 5 25 1xx af x 是奇函数,（）求实数a的值；（）判断函数 f x 的单调性；（III）设关于x的函数 19 3 4x xy f c f 有零点，求实数c的取值范围.高三理科数学 第 5 页（共 6页）21.（本小题满分12分）已知函数 1 ln 1 0xf x xx .（）试判断函数 f x 在 0, 的单调性并证明你的结论；（）若不等式 1kf x x 恒成立，求整数k的最大值；（I
8、II）求证： 2 31 1 2 1 2 3 1 1 nn n e .高三理科数学 第 6 页（共 6页）注意：请考生在22、23题两题中任选一道题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 12 232x ty t （t为参数），若以该直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2sin 4cos 0 .（）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（）已知直线l与曲线C交于 ,A B两点，设 2, 0M ,求 1 1MA MB 的值.23.（本小题满分10分）设函数 1 2f x x
9、 a x a .（）若 1 3f 时，求实数a的取值范围；（）若 1a ，x R ，求证 2f x .高三理科数学 第 1 页（共 4页）三明一中2017-2018学年第一学期高三入学考试（理科数学）参考答案一、选择题：每小题5分，共60分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B D D A C B A D B C A B二、填空题：每小题5分，共20分.13. 2,3 3, 14. 2f x x 15._0.5_; 16._ 1, _.三、解答题：第17-21题12分，第22-23题，每题10分，共70分.17.解： （） 2 1 2 22xA x x xx ， 2
10、分当 2m 时， 1B x x ， 3分所以A B 2 2 1 2 1x x x x x x ， 5分 2 2 1 2A B x x x x x x ， 7分（） 2 1UC B x x m ， 8分因为 UA C B A ，所以 UA C B ， 10分所以2 1 2m ，即 12m . 12分18.解： 解：（）潜入水底用时30v ，用氧量为 230 0.1 3v vv ，水底作业时用氧量为5 0.4 2 ，返回水面用时60v ，用氧量为60 120.2v v .所以 123 2 0y v vv . 6分（） 0 5v ，所以 12 123 2 2 2 3 14y v vv v ， 9分当
11、且仅当 123v v 即 2v 时，总用氧量最少，最少为14. 11分所以当下潜速度为2米/单位时间时，用氧量最少，最少为14. 12分高三理科数学 第 2 页（共 4页）19.解： （）由题意知： 1 01 001 12ff a ，即 21 2 01 04 02 2aa aa ，得 10 2a ; 6分（）函数 f x 的图象是开口向上，对称轴为 2ax 的抛物线， 0f x 恒成立等价于 min 0f x 当 12a 即 2a 时， f x 在 1,1 上是增函数，所以 min 1 1 2 0f x f a ，所以 12a ，与 2a 矛盾，舍去；当 1 12a 即 2 2a 时， f x
12、 的最小值为 02af ，即 2 4 0a a ，即4 0a .又 2 2a ，所以 2 0a ；当 12a 即 2a 时， f x 在 1,1 上是减函数， min 1 1 0f x f ， 2a 符合题意.综合可知，a的取值范围为 0a a . 12分20.解：（）因为 f x 是定义在R上的奇函数，所以 0 0f ， 005 2 05 1a 即 12a ；经检验，当 12a 时 f x 是定义在R上的奇函数，所以 12a . 4分（）由（）得 22 ln5 5 05 1 xxf x ，所以 f x 在R上单调递减； 6分（III）令 2 19 3 4 0x xy f c f ，则 2 1
13、9 3 4x xf c f ， 7分又 f x 是定义在R上的奇函数，所以 f x f x ，所以 19 3 4x xf c f .8分因为 f x 在R上单调递减，所以 19 3 4x xc ，即 219 3 4 3 3 3 4x x x xc ，设 3xt ， 0t ，则 22 3 73 4 2 4c t t t ，所以 22 3 7 73 4 2 4 4c t t t ,所以c的取值范围为 7 ,4 . 12分高三理科数学 第 3 页（共 4页）21.解：解：（1） 2 21 1 11 ln 1 ln 11 1xf x x xx x x x ，0x , 2 0x , 1 01x , ln
14、 1 0x , 0f x , f x 在 0, 上递减.2分（2） 1kf x x ，所以 1 ln 1 1x kx x ，而 0x ，所以 1 1 ln 1x xk x .设 1 1 ln 1 0x xh x xx ， 1 ln 1x xh x x ，记 1 ln 1 0g x x x x , 01xg x x ，所以 g x 在 0, 上是增函数，又 2 1 ln3 0g ， 3 2 2ln 2 0g ，所以存在 0 2,3x ， 0 0g x ，即 0 01 ln 1x x .当 0x x 时， 0g x ， 0h x ， h x 是减函数；当 0x x 时， 0g x ， 0h x ，
15、 h x 是增函数.所以 min 1 1 ln 1 +1 1 3,4a a a ah x h a aa a ,故正整数k的最大值是3. 7分（3）由（2）知 1 ln 1 3 01x xx x ，所以 3 3 3ln 1 1 2 21 1xx x x x ，令 1x n n n N ,则 3ln 1 1 2 1n n n n ， ln 1 1 2 ln 1 2 3 ln 1 1n n 3 3 32 2 21 2 2 3 1n n 1 1 12 3 1 2 2 3 1n n n 1 32 3 1 2 3 2 31 1n n nn n 2 31 1 2 1 2 3 1 1 nn n e . 12分
16、高三理科数学 第 4 页（共 4页）22.解：（） 消去t，得直线l的普通方程为 3 2 3 0x y .2sin 4cos 0 两边同时乘以得 2 2sin 4 cos 0 ，而 cos , sinx y ，所以曲线C的直角坐标方程为 2 4y x ； 3分（）将 12 232x ty t 代入 2 4y x 的 23 8 32 0t t ， 0 , 5分设 23 8 32 0t t 的两个根为 1 2,t t ，即点 ,A B对应的参数，则 1 2 83t t ， 1 2 323t t , 7分所以 831 2 321 2 1 2 1 2 31 1 1 1 1 1 14t tMA MB t t t t t t . 10分23.解：（） 因为 1 3f ，所以 1 2 3a a ，当 0a 时， 1 2 3a a ，即 23a ，所以 2 03 a ；当 10 2a 时， 1 2 3a a ，即 2a ，所以 10 2a ；当 12a 时， 1 2 3a a ，即 43a ，所以1 42 3a .综上可知，实数a的取值范围为 2 4,3 3 . 6分（）因为 1a ，x R ，所以 1 2 1 2 3 1 3 1 2f x x a x a x a x a a a .所以 2f x 成立. 10分
