1、- 1 -2016-2017 学年福建省莆田二十四中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知复数 （i 为虚数单位） ，则 z 的共轭复数在复平面内对应点的坐标是（ ）A （3 ，3 ） B （1，3） C （3， 1） D （ 1，3）2函数 f（x）= 的定义域为（ ）A （0 ，+） B （1，+ ） C （0，1） D （0，1）（1，+）3 “x 0”是“ln（x+1）0”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4已知角 的终边过点
2、 P（ 8m，6sin30 ） ，且 cos= ，则 m 的值为（ ）A B C D5由曲线 y=x2 与直线 y=x+2 所围成的平面图形的面积为（ ）A B4 C2 D6已知| |=3，| |=5，且 + 与 垂直，则 等于（ ）A B C D7在ABC 中，角 A，B ，C 所对边分别为 a，b，c，且 ，B=45 ，面积 S=3，则 b 的值为（ ）A6 B26 C D8若 f（x ）是定义在 R 上的奇函数，满足 f（x +1）=f （x 1） ，当 x（0，1）时，f（x ）=2x2，则 f（log 24）的值等于（ ）A B C D- 2 -9在平行四边形 ABCD 中，AC 与
3、 BD 交于点 O，F 是线段 DC 上的点若 DC=3DF，设 = ，= ，则 =（ ）A + B + C + D +10已知函数 f（x ）= 有 3 个零点，则实数 a 的取值范围是（ ）A （ ，1） B （ ， 1） C （0，1） D （，1）11已知函数 f（x ）=Acos（x+ ） （A0，0，0）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG 是边长为 2 的等边三角形，则 f（1）的值为（ ）A B C D12已知函数 f（x ）= x2+2ax，g（x ）=3a 2lnx+b，设两曲线 y=f（x） ，y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则 a（0，+）时，实数 b
4、 的最大值是（ ）A B C D二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）13若集合 A=4，2a1，a 2，B=a 5，1a，9，且 AB=9，则 a 的值是 14已知向量 =（2m，3 ） ， =（m 1，1） ，若 ， 共线，则实数 m 的值为 15曲线 C：f（x）=sinx+e x+2 在 x=0 处的切线方程为 16在ABC 中，内角 A，B ，C 的对边长分别为 a，b ，c，若 = = ，则 sinB= 三、解答题：（本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）- 3 -17已知函数 f（x ）=x 2+ax+2，x 5，5，（
5、1）当 a=1 时，求函数 f（x ）的单调区间（2）若函数 f（x）在5，5上增函数，求 a 的取值范围18已知函数 f（x ）=cos（2x ）cos2x（）求 f（ ）的值；（）求函数 f（x）的最小正周期和单调递增区间19已知向量 =（cosxsinx，sinx） ， =（cosxsinx，2 cosx） ，设函数 f（x）= +（x R）的图象关于直线 x= 对称，其中 ， 为常数，且 （ ，1）（1）求函数 f（x）的最小正周期；（2）若 y=f（x）的图象经过点（ ，0）求函数 f（x ）在区间0， 上的取值范围20已知函数 f（x ）=x 39x，函数 g（x）=3x 2+a（
6、）已知直线 l 是曲线 y=f（x ）在点（0，f（0） ）处的切线，且 l 与曲线 y=g（x ）相切，求a 的值；（）若方程 f（x）=g（ x）有三个不同实数解，求实数 a 的取值范围21已知函数 在点（1，f（ 1） ）的切线方程为 x+y+3=0（）求函数 f（x）的解析式；（）设 g（ x）=lnx，求证：g （x ）f（x）在 x1，+）上恒成立；（）已知 0ab，求证： 选做题：本题有（1） 、 （2）两个选答题，每小题 10 分，请考生任选 1 个小题作答22已知直线的极坐标方程为 ，圆 M 的参数方程为 （其中 为参数） （）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（）求圆 M
7、 上的点到直线的距离的最小值- 4 -23设函数 f（x ）=|x+2| |x1|（I）画出函数 y=f（x）的图象；（II）若关于 x 的不等式 f（x ）+4|1 2m|有解，求实数 m 的取值范围- 5 -2016-2017 学年福建省莆田二十四中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知复数 （i 为虚数单位） ，则 z 的共轭复数在复平面内对应点的坐标是（ ）A （3 ，3 ） B （1，3） C （3， 1） D （ 1，3）【考点】复数的代数表示法及其
8、几何意义【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、复数的几何意义即可得出【解答】解：复数 = =（1+2i） （1+i）=1+3i，则 z 的共轭复数 =13i 在复平面内对应点的坐标是（1， 3） 故选：D2函数 f（x）= 的定义域为（ ）A （0 ，+） B （1，+ ） C （0，1） D （0，1）（1，+）【考点】函数的定义域及其求法【分析】由函数的解析式可得 log2x0，即 ，由此求得函数的定义域【解答】解：由函数的解析式可得 log2x0， ，故函数的定义域（0，1）（1，+） ，故选 D3 “x 0”是“ln（x+1）0”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件- 6
9、-C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【考点】充要条件【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论【解答】解：x0， x+11，当 x+10 时，ln（x+1）0；ln（x +1）0，0x+11，1x0，x 0，“x0”是 ln（x+1）0 的必要不充分条件故选：B4已知角 的终边过点 P（ 8m，6sin30 ） ，且 cos= ，则 m 的值为（ ）A B C D【考点】任意角的三角函数的定义【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求出 m 的值【解答】解：由题意可得 x=8m，y= 6sin30=3，r= |OP|= ，cos= = = ，解得 m= ，
10、故选：B5由曲线 y=x2 与直线 y=x+2 所围成的平面图形的面积为（ ）A B4 C2 D【考点】定积分【分析】联立方程组求出积分的上限和下限，结合定积分的几何意义即可得出结果【解答】解：作出两条曲线对应的封闭区域，如右图：再联立方程 ，解得 x=1 或 x=2，所以，A（1 ，1） ，B（2 ，4） ，根据定积分的几何意义，所求阴影部分的面积：- 7 -S 阴影 = =（ x3+ x2+2x） = ，故选：D6已知| |=3，| |=5，且 + 与 垂直，则 等于（ ）A B C D【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】由题意可得（ + ）（ ）=0，计算可得 =0，代入数据
11、解 的方程可得【解答】解： + 与 垂直，（ + ）（ ）=0， =0，即 =0，代入数据可得 32252=0，解得 =故选：B7在ABC 中，角 A，B ，C 所对边分别为 a，b，c，且 ，B=45 ，面积 S=3，则 b 的值为（ ）A6 B26 C D【考点】余弦定理的应用【分析】利用三角形的面积公式求出边 a；利用三角形的余弦定理求出边 b【解答】解：在ABC 中，角 A，B ，C 所对 边分别为 a，b，c ，且 ，B=45，面积- 8 -S=3，S= acsinB= =3a=6由余弦定理得：b 2=a2+c22accosB=36+212 =26b= 故选：D8若 f（x ）是定义
12、在 R 上的奇函数，满足 f（x +1）=f （x 1） ，当 x（0，1）时，f（x ）=2x2，则 f（log 24）的值等于（ ）A B C D【考点】函数奇偶性的性质【分析】由 f（x+1）=f（x 1）化简后求出函数的周期，利用奇函数的性质、函数的周期性、对数的运算性质化简和转化 f（log 24） ，代入已知的解析式由指数的运算性质求值即可【解答】解：f（x+1） =f（x 1） ，f（x +2）=f（x） ，则函数 f（x ）的周期是 2，f（ x）是定义在 R 上的奇函数，f（ log 24）=f（ ）=f（ ）=f（ ）=f（3+ ）=f（1+ ）1 2，01+ 1，当 x（
13、0，1）时，f（x）=2 x2，f（ 1+ ）= = 2= ，即 f（log 24）= ，- 9 -故选 C9在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，F 是线段 DC 上的点若 DC=3DF，设 = ，= ，则 =（ ）A + B + C + D +【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性表示与运算性质，即可得出结论【解答】解：如图所示，平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，F 是线段 DC 上的点，且 DC=3DF， = = （ ）= （ ） ， = = + ，设 = ， = ，则 = + =（ + ）+ （ ）=
14、 + = + 故选：B10已知函数 f（x ）= 有 3 个零点，则实数 a 的取值范围是（ ）A （ ，1） B （ ， 1） C （0，1） D （，1）【考点】函数零点的判定定理【分析】令 f（x）在（2，0上有 2 个零点，在（ 0，+）上有 1 个零点，根据函数类型及零点范围及个数列出不等式组，解出 a 的范围【解答】解：f（x）由 3 个零点，f（x）- 10 -在（2，0上有 2 个零点，在（ 0，+）上有 1 个零点 ，解得 a1故选：A11已知函数 f（x ）=Acos（x+ ） （A0，0，0）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG 是边长为 2 的等边三角形，则 f（
15、1）的值为（ ）A B C D【考点】余弦函数的奇偶性；余弦函数的图象【分析】由 f（x）=Acos（x+ ）为奇函数，利用奇函数的性质可得 f（0）=Acos=0 结合已知 0 ，可求 = ，再由EFG 是边长为 2 的等边三角形，可得 =A，结合图象可得，函数的周期 T=4，根据周期公式可得 ，从而可得 f（x） ，代入可求 f（1） 【解答】解：f（x）=Acos（x+ ）为奇函数f（ 0）=Acos=0 0 =f（ x）=Acos（x ） =Asinx EFG 是边长为 2 的等边三角形，则 =A又函数的周期 T=2FG=4，根据周期公式可得，=f（ x）= Asin x=- 11 -
16、则 f（1）=故选 D12已知函数 f（x ）= x2+2ax，g（x ）=3a 2lnx+b，设两曲线 y=f（x） ，y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则 a（0，+）时，实数 b 的最大值是（ ）A B C D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】分别求出函数 f（x ）的导数，函数 g（x ）的导数由于两曲线 y=f（x ） ，y=g（x）有公共点，设为 P（x 0， y0） ，则有 f（x 0）=g（x 0） ，且 f（x 0）=g（x 0） ，解出 x0=a，得到 b 关于 a 的函数，构造函数 ，运用导数求出单调区间和极值、最值，即可得到 b的最大值【解答】解：
17、函数 f（x）的导数为 f（x）=x+2a，函数 g（x ）的导数为 ，由于两曲线 y=f（x） ，y=g（x ）有公共点，设为 P（x 0，y 0） ，则 ，由于 x00，a0则 x0=a，因此构造函数 ，由 h（t）=2t （13lnt ） ，当 时，h（t） 0 即 h（t）单调递增；当 时，h（t）0 即 h（t ）单调递减，则 即为实数 b 的最大值- 12 -故选 D二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）13若集合 A=4，2a1，a 2，B=a 5，1a，9，且 AB=9，则 a 的值是 3 【考点】集合关系中的参数取值问题【分析】由题意可得 9A，且
18、9B，分 2a1=9 和 a2=9 两种情况，求得 a 的值，然后验证即可【解答】解：由题意可得 9A，且 9B当 2a1=9 时，a=5，此时 A=4，9，25，B=0， 4，9，AB=4，9，不满足 AB=9，故舍去当 a2=9 时，解得 a=3，或 a=3若 a=3，A= 4，5，9，B= 2，2，9，集合 B 不满足元素的互异性，故舍去若 a=3，A= 4，7，9，B= 8，4 ，9，满足 AB= 9综上可得，a=3，故答案为314已知向量 =（2m，3 ） ， =（m 1，1） ，若 ， 共线，则实数 m 的值为 3 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】利用向量共线的坐标表
19、示可得关于 m 的方程，解出可得【解答】解： ， 共线，2m13（m1）=0，解得 m=3，故答案为：315曲线 C：f（x）=sinx+e x+2 在 x=0 处的切线方程为 y=2x+3 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】欲求在 x=0 处的切线的方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在 x=0 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出 切线的斜率，从而问题解决- 13 -【解答】解：f（x）=sinx+e x+2，f（ x）=cosx+e x，曲线 f（x ）=sinx+e x+2 在点 P（0，3）处的切线的斜率为： k=cos0+e0=2，曲线 f（x ）=sinx
20、+e x+2 在点 P（0，3）处的切线的方程为： y=2x+3，故答案为 y=2x+316在ABC 中，内角 A，B ，C 的对边长分别为 a，b ，c，若 = = ，则 sinB= 【考点】正弦定理【分析】由 = = ，利用正弦定理，可得 tanA= tanB= tanC，再结合和角的正切公式，同角三角函数基本关系式，即可得出结论【解答】解： = = ，tanA= tanB= tanC，tanB=tan（ AC）=tan（A +C）= = ，tan 2B=4，sinB= = = 故答案为： 三、解答题：（本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知函数
21、f（x ）=x 2+ax+2，x 5，5，（1）当 a=1 时，求函数 f（x ）的单调区间（2）若函数 f（x）在5，5上增函数，求 a 的取值范围【考点】二次函数在闭区间上的最值- 14 -【分析】 （1）当 a=1 时，根据函数 f（x ）= + ，且 x5，5，求得函数的单调区间（2）由题意可得函数的对称轴 x= 5，由此求得 a 的取值范围【解答】解：（1）当 a=1 时，函数 f（x ）=x 2 x+2= + ，且 x5，5，故函数的减区间为5， ，增区间为 （ ，5（2）若函数 f（x）在5，5上增函数，则二次函数 f（x）=x 2+ax+2 的对称轴 x= 5，解得 a10 ，
22、故 a 的取值范围为10，+） 18已知函数 f（x ）=cos（2x ）cos2x（）求 f（ ）的值；（）求函数 f（x）的最小正周期和单调递增区间【考点】三角函数的周期性及其求法；余弦函数的单调性【分析】 （）根据函数 f（x ）的解析式，计算 f（ ）的值即可；（）化函数 f（x）为正弦型函数，即可求出它的最小正周期与单调递增区间【解答】解：（）函数 f（x ）=cos（2x ） cos2x，f（ ）=cos（ ）cos = （ ）=1；（）函数 f（x）=cos（2x ） cos2x=cos2xcos +sin2xsin cos2x= sin2x cos2x- 15 -=sin（2x
23、 ） ；函数 f（x ）的最小正周期为 T= =；由 y=sinx 的单调递增区间是2k ，2k+ ， （k Z） ；令 2k 2x 2k+ ，k Z，解得 k xk + ；函数 f（x ）的单调递增区间为 k ，k+ ， （kZ ） 19已知向量 =（cosxsinx，sinx） ， =（cosxsinx，2 cosx） ，设函数 f（x）= +（x R）的图象关于直线 x= 对称，其中 ， 为常数，且 （ ，1）（1）求函数 f（x）的最小正周期；（2）若 y=f（x）的图象经过点（ ，0）求函数 f（x ）在区间0， 上的取值范围【考点】三角函数中的恒等变换应用；数量积的坐标表达式；正弦
24、函数的定义域和值域【分析】 （1）先利用向量数量积运算性质，求函数 f（x ）的解析式，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数 f（x ）化为 y=Asin（x +）+k 型函数，最后利用函数的对称性和 的范围，计算 的值，从而得函数的最小正周期；（2）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得 的值，再求内层函数的值域，最后将内层函数看做整体，利用正弦函数的图象和性质即可求得函数 f（x ）的值域【解答】解：（1）f（x ）= +=（cosx sinx）（cosx sinx）+sinx2 cosx+=（cos 2xsin2x）+ sin2x+= sin2xcos2x+=2sin（2x ）+图象关
25、于直线 x= 对称，2 = +k，kz- 16 -= + ，又 （ ，1）k=1 时，=函数 f（x ）的最小正周期为 =（2）f（ ）=02sin（2 ）+=0=f（ x）=2sin（ x ）由 x0， x ， sin （ x ） ，1 2sin（ x ） =f（x） 1 ，2 故函数 f（x ）在区间0， 上的取值范围为 1 ，2 20已知函数 f（x ）=x 39x，函数 g（x）=3x 2+a（）已知直线 l 是曲线 y=f（x ）在点（0，f（0） ）处的切线，且 l 与曲线 y=g（x ）相切，求a 的值；（）若方程 f（x）=g（ x）有三个不同实数解，求实数 a 的取值范围【考
26、点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断【分析】 （）求出 f（x）的导数和切线的斜率和方程，设 l 与曲线 y=g（x）相切于点（m，n） ，求出 g（x）的导数，由切线的斜率可得方程，求得 a 的值；（）记 F（x）=f（x）g（x）=x 39x3x2a，求得导数和单调区间，极值，由题意可得方程f（x）=g（x）有三个不同实数解的等价条件- 17 -为极小值小于 0，极大值大于 0，解不等式即可得到所求范围【解答】解：（）函数 f（x ）=x 39x 的导数为 f（x ）=3x 29，f（0）=0，f（0）=9，直线 l 的方程为 y=9x，设 l 与曲线 y=g（x
27、）相切于点（m，n ） ，g（x ）=6x，g（m ）=6m= 9，解得 m= ，g（ m）= 9m，即 g（ ）= +a= ，解得 a= ；（）记 F（x）=f（x）g（x）=x 39x3x2a，F（ x）=3x 26x9，由 F（ x）=0，可得 x=3 或 x=1当 x1 时，F（x）0， F（x ）递增；当1 x3 时，F（x） 0，F （x ）递减；当 x3 时，F（x）0，F （x）递增可得 x=1 时， F（x ）取得极大值，且为 5a，x=3 时，F（x）取得极小值，且为 27a，因为当 x+ ，F（x ） +；x ，F（x） 则方程 f（x ）=g（x）有三个不同实数解的等价
28、条件为：5a0，27 a0，解得27a 521已知函数 在点（1，f（ 1） ）的切线方程为 x+y+3=0（）求函数 f（x）的解析式；（）设 g（ x）=lnx，求证：g （x ）f（x）在 x1，+）上恒成立；- 18 -（）已知 0ab，求证： 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】 （I）将切点横坐标代入切线方程，求出切点，得到关于 a，b 的等式，求出 f（x）的导数，将 x=1 代入导函数，令得到的值等于切线的斜率1（II）将要证的不等式变形，构造新函数 h（x ） ，求出其导函数，判断出其符号，判断出h（x）的单调性，求出 h（x ）的
29、最小值，得到要证的不等式（III）将要证的不等式变形，转化为关于 的不等式，利用（II）得到的函数的单调性，得到恒成立的不等式，变形即得到要证的不等式【解答】解：（）将 x=1 代入切线方程得 y=2 ，化简得 ba=4解得：a=2，b=2 （）由已知得 在1，+）上恒成立化简（x 2+1）lnx2x 2即 x2lnx+lnx2x+20 在1，+）上恒成立设 h（x）=x 2lnx+lnx2x+2，x1 ，即 h（x ）0- 19 -h（x）在1，+）上单调递增，h （x ）h （1）=0g （x）f（x）在 x1，+）上恒成立 （）0ab ，由（）知有整理得当 0ab 时， 选做题：本题有（
30、1） 、 （2）两个选答题，每小题 10 分，请考生任选 1 个小题作答22已知直线的极坐标方程为 ，圆 M 的参数方程为 （其中 为参数） （）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（）求圆 M 上的点到直线的距离的最小值【考点】圆的参数方程；直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程【分析】 （）以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系，利用和角的正弦函数，即可求得该直线的直角坐标方程；（）圆 M 的普通方程为： x2+（y+2） 2=4，求出圆心 M（0，2）到直线 x+y1=0 的距离，即可得到圆 M 上的点到直线的距离的最小值【解答】解：（）以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立
31、直角坐标系 ，sin+cos=1该直线的直角坐标方程为：x+y 1=0（）圆 M 的普通方程为： x2+（y+2） 2=4圆心 M（0， 2）到直线 x+y1=0 的距离 - 20 -所以圆 M 上的点到直线的距离的最小值为 23设函数 f（x ）=|x+2| |x1|（I）画出函数 y=f（x）的图象；（II）若关于 x 的不等式 f（x ）+4|1 2m|有解，求实数 m 的取值范围【考点】带绝对值的函数【分析】 （I）先将原函数式可化为一个分段函数的形式，再分段画出函数在各段上的图象即得原函数的图象（II）关于 x 的不等式 f（x ）+4|1 2m|有解等价于：（f（x ）+4） max|12m|，再根据分段函数的图象，确定函数的最大值，从而可求实数 m 的取值范围【解答】解：（I）函数 f（x）可化为：3其图象如下：5（II）关于 x 的不等式 f（x ）+4|1 2m|有解等价于：（f（ x）+4） max|12m|6由（I）可知 f（x ） max=3，（也可由|f（x）|=|x+2 |x1|（x+2）（x1|）|=3，得 f（x） max=3）8于是|12m|7，解得实数 m 的取值范围：m3，410- 21 -2017 年 2 月 13 日
