1、- 1 -2016-2017 学年福建省福州市文博中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设 i 是虚数单位，复数 化简是（ ）A 1+i B1i C1+i D1 i2设全集 U=R，集合 A=x|x0，B=x |（x3） （x+1）0，则（ UA）B=（ ）Ax |3x0 B x|1x0 Cx|0x1 Dx|0x 33D、E、F 分别是ABC 的边 AB、BC 、CA 的中点，则 =（ ）A B C D4已知 cos（ ）= 且 是第一象限角，则 sin=（ ）A B C D5若函数 f（x）=a
2、 x（a0，且 a1） ，若 ，则函数 y=loga|x|的图象大致是（ ）A B C D6若函数 f（x）=x 2+（ a）x ，g （x ）=cos（2x +a）则下列结论正确的是（ ）A aR，函数 f（x）和 g（x）都是奇函数Ba R，函数 f（x）和 g（x）都是奇函数C aR，函数 f（x）和 g（x）都是偶函数D aR，函数 f（x）和 g（x）都是偶函数7点 M、N 分别是正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱 A1B1、A 1D1 中点，用过 A、M、N 和 D、N、C 1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图 1，则该几何体的正视图、侧视图（左视图） 、俯视图依次
3、为图 2 中的（ ）- 2 -A、 B、 、 C、 D、8已知正六边形 ABCDEF 的边长为 1，则 的值为（ ）A B C D9 九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺大鼠日自倍，小鼠日自半问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半” 如果墙足够厚，S n 为前 n 天两只老鼠打洞长度之和，则 S5=（ ）A B C D10已知 f（ x）=Asin （x+） （A 00 ， ，xR ）在一个周期的图象如图所示，当 时， =（ ）A B C D1
4、1点 A、B 、C 、D 在同一球面上， AD平面 ABC，AD=AC=5，AB=3 ，BC=4 ，则该球的表面积为（ ）A B C50 D12定义在 R 上的函数 f（ x）满足： ，且 f（0）= ，则 的最小值为（ ）A0 B C1 D2- 3 -二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡相应位置13设函数 ，若 f（1） =3，则 f（2）的值为 14设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+2y 的最大值为 15在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c，且满足 ，a 2=2bc+3c2，则 = 16已知数列a n中，a
5、 1=1，a 2=3，且 2nSn=（n+1）S n+1+（n1）S n1（n2，n N） ，则 S30= 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知函数 f（x ）= ，其中 =（2cosx， sin2x） ， =（cosx，1） ，x R（1）求函数 y=f（x）的单调递增区间；（2）在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a， b，c，f（A）=2，a= ，且 sinB=2sinC，求ABC 的面积18已知等比数列a n的前 n 项为和 Sn，且 a33a2=0，S 2=12，数列b n中，b 1=1，b n+1bn=2（1）求数
6、列a n，b n的通项 an 和 bn；（2）设 cn=anbn，求数列c n的前 N 项和 Tn19在四棱锥 PABCD 中，ABC，ACD 都为等腰直角三角形，ABC=ACD=90，E 为 PA的中点（）求证：BE平面 PCD；（）若PAC 是边长为 2 的等边三角形，PB= ，求三棱锥 PBEC 的体积20如图，公园有一块边长为 2 的等边ABC 的边角地，现修成草坪，图中 DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在 AB 上，E 在 AC 上（1）设 AD=x（x0） ，求用 x 表示 AE 的函 数关系式；- 4 -（2）设 AD=x（x0） ，ED=y，求用 x 表示 y 的函数关系
7、式；（3）如果 DE 是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE 的位置应在哪里？如果 DE 是参观线路，则希望它最长，DE 的位置又应在哪里？请说明理由21已知函数 f（x ）=mlnx+ （其中 m 为常数） ，且 x=1 是 f（x）的极值点（）设曲线 y=f（x）在（ ，f（ ） ）处的切线为 l，求 l 与坐标轴围成的三角形的面积；（）求证：f（x）4f（x） 选修 4-4：坐标系与参数方程22已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是 （t 是参数） ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线 C 的极坐标方程 =2cos（+ ） （）判断直线 l 与曲线
8、C 的位置关系；（）设 M 为曲线 C 上任意一点，求 x+y 的取值范围- 5 -2016-2017 学年福建省福州市文博中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设 i 是虚数单位，复数 化简是（ ）A 1+i B1i C1+i D1 i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】复数的分子、分母同乘复数单位 i，分母实数化，把式子化简到最简形式【解答】解：复数 = = =1i故选：D2设全集 U=R，集合 A=x|x0，B=x |（x3） （x+1）0，则（ UA）B=（ ）Ax |
9、3x0 B x|1x0 Cx|0x1 Dx|0x 3【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求出 UA，化简集合 B，根据集合的基本运算即可求（ UA）B；【解答】解：全集 U=R，集合 A=x|x0， UA=x|x0，集合 B=x|（ x3） （x+1） 0=x|1x3 那么（ UA）B= x|1x0故选 B3D、E、F 分别是ABC 的边 AB、BC 、CA 的中点，则 =（ ）A B C D【考点】向量加减混合运算及其几何意义- 6 -【分析】利用平面向量的线性运算化简可得结论【解答】解： ， ，D、E、F 分别是ABC 的边 AB、BC 、CA 的中点故选：C4已知 cos（ ）= 且
10、是第一象限角，则 sin=（ ）A B C D【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】利用同角三角函数间的基本关系直接求解 sin 的值【解答】解：cos（ ）= ，cos（ ）=cos= ，则 cos= ， 是第一象限角，sin= = = 故选：B5若函数 f（x）=a x（a0，且 a1） ，若 ，则函数 y=loga|x|的图象大致是（ ）A B C D【考点】函数的图象【分析】根据函数 f（x） =ax， ，可得 a 值，结合对数函数的图象和性质，函数图象的对折变换法则，可得答案- 7 -【解答】解：函数 f（x ）=a x， ，a= ，故函数 y=loga|x|的图象关于 y 轴对
11、称，且在（0，+）上为减函数，故选：A6若函数 f（x）=x 2+（ a）x ，g （x ）=cos（2x +a）则下列结论正确的是（ ）A aR，函数 f（x）和 g（x）都是奇函数Ba R，函数 f（x）和 g（x）都是奇函数C aR，函数 f（x）和 g（x）都是偶函数D aR，函数 f（x）和 g（x）都是偶函数【考点】命题的真假判断与应用；全称命题【分析】根据函数奇偶性的定义，可得当 a= 时，函数 f（x）和 g（x）均为偶函数，进而得到答案【解答】解：函数 f（x ）=x 2+（ a）x ，g （x ）=cos（2x +a）当 a= 时，函数 f（x ）和 g（x）均为偶函数，故
12、aR，函数 f（x）和 g（x）都是偶函数正确，故选：D7点 M、N 分别是正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱 A1B1、A 1D1 中点，用过 A、M、N 和 D、N、C 1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图 1，则该几何体的正视图、侧视图（左视图） 、俯视图依次为图 2 中的（ ）A、 B、 、 C、 D、【考点】简单空间图形的三视图- 8 -【分析】直接利用三视图的定义，正视图是光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图，据此可以判断出其正视图左视图是光线从几何体的左侧向右侧正投影得到的投影图，据此可以判断出其左视图类似判断俯视图即可【解答】解：由正视图的定义可知：点 A
13、、B 、B 1 在后面的投影点分别是点 D、C、C 1，线段AN 在后面的投影面上的投影是以 D 为端点且与线段 CC1 平行且相等的线段，即正视图为正方形，另外线段 AM 在后面的投影线要画成实线，被遮挡的线段 DC1 要画成虚线，正视图为，左视图为，俯视图为；故选 B8已知正六边形 ABCDEF 的边长为 1，则 的值为（ ）A B C D【考点】平面向量数量积的运算【分析】可先画出图形，并连接 AC，这样在ABC 中，根据 AB=BC=1，BAC=30即可求出AC 的长度，从而便可求出 的值【解答】解：如图，在ABC 中，AB=BC=1，BAC=30； ； = 故选 D9 九章算术中的“
14、两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺大鼠日自倍，小鼠日自半问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半” 如果墙足够厚，S n 为前 n 天两只老鼠打洞长度之和，则 S5=（ ）A B C D- 9 -【考点】等差数列的前 n 项和【分析】由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列；小老鼠每天打洞的距离是以 1 为首项，以 为公比的等比数列利用等比数列的求和公式即可得出【解答】解：由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以 1 为首项，以
15、 2 为公比的等比数列，前 n 天打洞之和为 =2n1，同理，小老鼠每天打洞的距离 =2 ，S n=2n1+2 ，S 5=25+1 =32 故选：B10已知 f（ x）=Asin （x+） （A 00 ， ，xR ）在一个周期的图象如图所示，当 时， =（ ）A B C D【考点】余弦函数的图象【分析】由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得函数的解析式，再利用诱导公式，求得要求式子的值【解答】解：根据 f（x） =Asin（x+） （A 00， ，xR ）在一个周期的图象，可得 A=1， = = + ，=2 ，f（x） =sin（2x +） - 10 -再根
16、据五点法作图可得 2 += ，= ，f（x ）=sin（2x+ ） 故当 =sin（2x + ）时， =sin（ +2x ）=sin （2x + ）= ，故选：B11点 A、B 、C 、D 在同一球面上， AD平面 ABC，AD=AC=5，AB=3 ，BC=4 ，则该球的表面积为（ ）A B C50 D【考点】球的体积和表面积【分析】画出图形，把三棱锥扩展为长方体，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，长方体的体对角线就是球的直径，由此能求出球 O 的表面积【解答】解：由题意画出图形如图，三棱锥 DABC 的顶点都在球 O 的球面上，AB=3，BC=4，ABC=90，AD=5，且 DA平面 ABC
17、，三棱锥扩展为长方体，长方体的对角线的长为：DC，ADAC，AC=5，DC=5 ，球的半径为 球 O 的表面积 S=4（ ） 2=50故选：C12定义在 R 上的函数 f（ x）满足： ，且 f（0）= ，则 的最小值为（ ）- 11 -A0 B C1 D2【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数的运算【分析】构造函数设 g（ x）= ，根据条件求出函数 f（x）的解析式，然后利用基本不等式进行求解即可【解答】解：设 g（x）= ，则 g（x ）= ，则 g（ x）= = x2+c，即 f（x）= （ x2+c）e x，f（ 0）= ，f（ 0）=ce 0=c= ，则 f（x）= （ x2+
18、 ）e x，则 = = （|x|+ ） 2 =1，即 的最小值为 1，故选：C二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡相应位置13设函数 ，若 f（1） =3，则 f（2）的值为 2 【考点】函数的值【分析】由已知得 f（1）=4 1a=3，从而 a=1，进而 f（ 2）=log 2（ 2）+a=log 22+1，由此能求出结果【解答】解：函数 ，f（1）=3 ，f（ 1）=4 1a=3，解得 a=1，- 12 -f（ 2）=log 2（2）+a=log 22+1=2故答案为：214设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+2y 的最大值为 6
19、【考点】简单线性规划【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线 z=x+2y 过点A（2 ，2 ）时， z 最大值即可【解答】解：作出可行域如图，由 z=x+2y 知，y= x+ z，所以动直线 y= x+ z 的纵截距 z 取得最大值时，目标函数取得最大值由 得 A（2，2） 结合可行域可知当动直线经过点 A（2，2）时，目标函数取得最大值 z=2+22=6故答案为：615在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c，且满足 ，a 2=2bc+3c2，则 = - 13 -【考点】余弦定理【分析】由已知及余弦定理可求 a2=b2+c2+bc，联立已知等
20、式可得 2（ ） 2+ 1=0，即可解得的值【解答】解： ，由余弦定理 a2=b2+c22bccosA，可得：a 2=b2+c2+bc，又a 2=2bc+3c2，可得：2c 2+bcb2=0，2（ ） 2+ 1=0，解得： = ，或1（舍去） 故答案为： 16已知数列a n中，a 1=1，a 2=3，且 2nSn=（n+1）S n+1+（n1）S n1（n2，n N） ，则 S30= 【考点】等差数列的前 n 项和【分析】2nS n=（n+1）S n+1+（n 1）S n1（n 2，n N） ，可得（n 1）a n=（n+1）a n+1，即 =利用“ 累乘求积” 可得 an，再利用“ 裂项求和
21、”方法即可得出【解答】解：2nS n=（n+1）S n+1+（n 1）S n1（n 2，n N） ，（n1）a n=（n+1 ）a n+1， = a n= a2= 3= =6S 30=1+6 +- 14 -=1+6= 故答案为： 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知函数 f（x ）= ，其中 =（2cosx， sin2x） ， =（cosx，1） ，x R（1）求函数 y=f（x）的单调递增区间；（2）在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a， b，c，f（A）=2，a= ，且 sinB=2sinC，求ABC 的面积【考点】平面
22、向量数量积的运算；正弦函数的单调性；正弦定理【分析】 （1）根据向量的数量积公式和三角函数的化简，以及正弦函数的单调性即可求出，（2）根据余弦定理和三角形的面积公式计算即可【解答】解：（1）f（x） = =2cos2x+ sin2x= sin2x+cos2x+1=2sin（2x+ ）+1，令 +2k2x+ +2k，解得 +k x +k，函数 y=f（x）的单调递增区间是 +k， +k，（）f（A ）=22sin（2A+ ）+1=2，即 sin（2A+ ）= 又0A ，A= a= ，由余弦定理得 a2=b2+c22bccosA=（b+c） 23bc=7 sinB=2sinCb=2c 由得 c2=
23、 - 15 -SABC= 18已知等比数列a n的前 n 项为和 Sn，且 a33a2=0，S 2=12，数列b n中，b 1=1，b n+1bn=2（1）求数列a n，b n的通项 an 和 bn；（2）设 cn=anbn，求数列c n的前 N 项和 Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】 （1）利用等比数列的通项公式和前 n 项和公式求得 an，由等差数列的定义和通项公式得到 bn；（2）利用错位相减法求得数列c n的前 N 项和 Tn【解答】解：（1）设等比数列a n的公比为 q，a 33a2=0，S 2=12，a 1q23a1q=0，a 1+a1q=12，解得 q=3，a 1=3，
24、数列a n是等比数列，a n=3n b n+1bn=2，即数列b n是以 2 为公差的等差数列，又 b1=1，b n=2n1；（2）c n=anbn=（2n1）3 nT n=13+332+533+（2n 3）3 n1+（2n 1）3 n，3T n=132+333+534+（2n 3）3 n+（2n 1） 3n+1，两式相减得：2T n=3+2（3 2+33+34+3n） （2n 1）3 n+1=62（n1）3 n+1，T n=3+（n1）3 n+119在四棱锥 PABCD 中，ABC，ACD 都为等腰直角三角形，ABC=ACD=90，E 为 PA- 16 -的中点（）求证：BE平面 PCD；（
25、）若PAC 是边长为 2 的等边三角形，PB= ，求三棱锥 PBEC 的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【分析】 （）取 PD 中点 F，连结 EF，FC，利用三角形中位线，得出 EFAD，可得四边形EFCB 为平行四边形， BECF，从而 BE平面 PCD；（）证明 BC平面 PAB，PBAB ，转换底面根据锥体体积公式算出三棱锥 PBEC 的体积【解答】 （）证明：ABC 与ACD 都是等腰直角三角形，ABC=ACD=90，ACB=DAC=45， ，BC AD， ，取 PD 中点 F，连结 EF，FC，E 为 PA 的中点，EF AD， ，EF BC，EF=BC，四
26、边形 EFCB 为平行四边形，BE CF又 BE平面 PCD，CF平面 PCD，BE 平面 PCD（）解： ，PC 2=PB2+BC2，BC PB又 BC AB，PBAB=B，BC 平面 PAB- 17 - ，PA 2=PB2+AB2，PB AB V ABEC=VCPBE= = = = 20如图，公园有一块边长为 2 的等边ABC 的边角地，现修成草坪，图中 DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在 AB 上，E 在 AC 上（1）设 AD=x（x0） ，求用 x 表示 AE 的函数关系式；（2）设 AD=x（x0） ，ED=y，求用 x 表示 y 的函数关系式；（3）如果 DE 是灌溉水管，
27、为节约成本，希望它最短，DE 的位置应在哪里？如果 DE 是参观线路，则希望它最长，DE 的位置又应在哪里？请说明理由【考点】函数解析式的求解及常用方法【分析】 （1）根据 DE 把草坪分成面积相等的两部分，利用任意三角形的面积公式建立关系即可（2）利用余弦定理建立关系即可【解答】解：（1）由题意：DE 把草坪分成面积相等的两部分，AD=x， ，即 ， （x0） ，（2）AD=x（x0） ，ED=y，在ADE 中，y 2=x2+AE22xAEcos60，即 y2=x2+AE2xAE，- 18 -代入得： （y0） ， （1x2） （3）如果 DE 是水管， ，当且仅当 ，即 时“=”成立，故
28、，即 DEBC，且 时，DE 最短；如果 DE 是参观线路，记 ，根据勾勾函数的图象及性质，可知函数在 上递减，在 上递增，故 f（x） max=f（1）=f（2）=5， ，即 DE 为 AB 中线或 AC 中线时，DE 最长21已知函数 f（x ）=mlnx+ （其中 m 为常数） ，且 x=1 是 f（x）的极值点（）设曲线 y=f（x）在（ ，f（ ） ）处的切线为 l，求 l 与坐标轴围成的三角形的面积；（）求证：f（x）4f（x） 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】 （）设曲线 y=f（x ）在（ ，f（ ） ）处的切线为 l，求出切线 l
29、的方程，可得 l 与坐标轴的交点，即可求 l 与坐标轴围成的三角形的面积；（）证明（f（x） ） min=f 极小值 （x）=f（1 ）=1， （4f（x） ） max=4f（2）=1，故 f（x）14f（x ） ，但 f（x）与 4f（x）不同时取得最值，即可证明：f（x ）4f （x ） 【解答】 （）解：由已知可得 ，则 f（1）=0 m=0 或 m=1，而当 m=0 与条件不符（舍去） ，m=1 所以 ， ，- 19 -从而 ， ，故切线 l 的方程为： ，l 与坐标轴的交点分别为 ，B （0，2e2） ，所以切线 l 与坐标轴所围成的三角形的面积为 = （）证明：对于 ，当 0x1
30、时，f（x ）0；当 x=1 时，f（x ）=0，当 x1 时，f（x）0f（ x）在（0，1）上递减，在（ 1，+）递增，故（f（ x） ） min=f 极小值 （x）=f（1 ）=1 又 ，令 ，则 ，从而 ，即（4f（x ） ） max=4f（2）=1 故 f（x）14f（x） ，但 f（x）与 4f（x ）不同时取得最值，所以上式等号不同时成立，即 f（x ）4f（x）成立 选修 4-4：坐标系与参数方程22已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是 （t 是参数） ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线 C 的极坐标方程 =2cos（+ ） （）判断直线
31、 l 与曲线 C 的位置关系；（）设 M 为曲线 C 上任意一点，求 x+y 的取值范围【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】 （）由直线的参数方程消去 t 得直线的直角坐标方程，化圆的极坐标方程为直角坐标方程，再由圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆的位置关系；- 20 -（）设出曲线 C 上的点的参数方程，由 x+y=sin+cos，利用两角和的正弦化简后可得 x+y的取值范围【解答】解：（）由 ，消去 t 得： y=x+ 由 ，得 ，即 ， ，即 化为标准方程得： 圆心坐标为 ，半径为 1，圆心到直线 xy+ =0 的距离d= 1 直线 l 与曲线 C 相离；（）由 M 为曲线 C 上任意一点，可设 ，则 x+y=sin+cos= ，x+y 的取值范围是 - 21 -2017 年 1 月 24 日
