1、2.4 等比数列教案（一）学校：临清二中 学科：数学 编写人：李丽丽 授课类型：新授教学目标（一） 知识与技能目标1.等比数列的定义；2.等比数列的通项公式（二） 过程与能力目标1.明确等比数列的定义；2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道 ， ， ， n 中的三个，求另一个的问题na1q教学重点1.等比数列概念的理解与掌握；2.等比数列的通项公式的推导及应用教学难点等差数列等比的理解、把握和应用教学过程一、情境导入： 下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?（教材上的 P48 面）1，2，4，8，16，2 63; 1， ， ， ，； 24811， ，； 30, .09,.,09. 32
2、对于数列， = ; =2（ n2） 对于数列， na121n= ； （ n2 ） na12n对于数列， = ; =20（ n2） na1201na共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数二、检查预习1等比数列的定义2. 等比数列的通项公式: ， ， )0,(11qann )0,(qaamnn )0,(BAan3 an成等比数列 ,( 1Nn4求下面等比数列的第 4 项与第 5 项：（1）5，15，45，；（2）1.2，2.4，4.8，；（3） ，2,1)4(;,83.21.三、合作探究（1）等比数列中有为 0 的项吗？ （2）公比为 1 的数列是什么数列？（3）既是等差数列又是
3、等比数列的数列存在吗？（4）常数列都是等比数列吗？四交流展示1 等比数列的定义：一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母 q 表示（ q0） ，即： =q（ q0）1na注：(1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数 q； 成等比数列 =q（nana1， q0 ）Nn(2) 隐含：任一项 0qan且(3) q=1 时， an为常数数列 （4） 既是等差又是等比数列的数列：非零常数列2.等比数列的通项公式 1: )0,(11均 不 为qann观察法：由等比数列的定义，有： ；2； ； 21123)(qaq 312
4、134)(qa)0nn，迭乘法：由等比数列的定义，有： ； ； ；qa1223qa34qan1所以 ，即13421na )0(11nn，等比数列的通项公式 2: )0(qamnn，五精讲精练例 1一个等比数列的第 3 项与第 4 项分别是 12 与 18，求它的第 1 项与第 2 项.解： 28q 368,321232 qaqa点评：考察等比数列项和通项公式的理解变式训练一：教材第 52 页第 1例 2求下列各等比数列的通项公式：;8, )1(3a nnaa32,5)(11且解：(1) 421qqnnnnna )()()2( 1或(2) 111 2353 nnn aq又 ：点评：求通项时，求首
5、项和公比变式训练二 ：教材第 52 页第 2例 3教材 P50 面的例 1。例 4 已知无穷数列 ， ,10,0,5515n求证：（1）这个数列成等比数列；（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的 ；（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中证：（1） （常数）该数列成等比数列51210nna（2） ，即： 10054nn 510nna（3） ， ， 521qpqpqpaN,2qp 且 ， ， （第 项） 51n5201qp 1变式训练三：教材第 53 页第 3、4 题六、课堂小结： 1.等比数列的定义；2.等比数列的通项公式及变形式七、板书设计八、课后作业阅读教材第 4850 页；2.4 等
6、比数列教案（二）学校：临清二中 学科：数学 编写人：李丽丽 授课类型：新授教学目标（一） 知识与技能目标进一步熟练掌握等比数列的定义及通项公式；（二） 过程与能力目标利用等比数列通项公式寻找出等比数列的一些性质（三） 方法与价值观培养学生应用意识教学重点，难点（1）等比数列定义及通项公式的应用；（2）灵活应用等比数列定义及通项公式解决一些相关问题教学过程二问题情境1情境：在等比数列 中， （1） 是否成立？ 是否成立？na2519a2537a（2） 是否成立？22()nna2问题：由情境你能得到等比数列更一般的结论吗？三学生活动对于（1） ， ， ，451aq891a28421915()aqa
7、成立259a同理 ： 成立2537对于（2） ， ， ，1n321n12n ， 成立1 ()nnqaqa2()na一般地：若 ，则 mp,pNqpm四建构数学1若 为等比数列， ，则 nn(,)qqpna由等比数列通项公式得： ， ，11n maa11q ,p故 且 ，2mn 2qpq ， pqn2若 为等比数列，则 namna由等比数列的通项公式知：，则 mnaq五数学运用1例题：例 1 （1）在等比数列 中，是否有 （ ）？na21nna2（2）在数列 中，对于任意的正整数 （ ） ，都有 ，21nna那么数列 一定是等比数列na解：（1）等比数列的定义和等比数列的通项公式数列 是等比数列
8、，n，即 （ ）成立1n21nna2（2）不一定例如对于数列 ，总有 ，但这个数列不是等0, 21nna比数列例 2 已知 为 ，且 ，该数列的各项都为正数，求 的通naGP578,a na项公式。解：设该数列的公比为 ，由 得 ，又数列的各项都是正数，q52184q故 ，12q则 5818()2nnna例 3已知三个数成等比数列，它们的积为 27，它们的平方和为 91，求这三个数。解：由题意可以设这三个数分别为 ，得：,aq22791aq223(1)9aq ，即得 或 ，4980q22 或 ， 3故该三数为：1，3，9 或 ，3， 或 9，3，1 或 ，3， 191说明：已知三数成等比数列，
9、一般情况下设该三数为 ,aq例 4 如图是一个边长为 的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图形（2） ，如此继续下去，得图形（3）求第 个图形的边长和周长n解：设第 个图形的边长为 ，周长为 nanc由题知，从第二个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形的边长的 ，13数列 是等比数列，首项为 ，公比为 na13 ()na要计算第 个图形的周长，只要计算第 个图形的边数第一个图形的边数为 ，从第二个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形3的边数的 倍，4第 个图形的边数为 n14n11()()33nnc2练习：1已知 是等比数列且 ， ，na0na569
10、则 313231logllog2已知 是等比数列， ， ，且公比为整数，则n47238124a103已知在等比数列中， ， ，则 3a659五回顾小结：1等比数列的性质（要和等差数列的性质进行类比记忆） 六课外作业：书练习第 1，2 题，习题第 6，8，9，10 题七板书设计课 内 探 究 学 案（ 一 ）学 习 目 标1.明确等比数列的定义；2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道 ， ， ， n 中的三个，求另一个的问题na1q教学重点1.等比数列概念的理解与掌握；2.等比数列的通项公式的推导及应用教学难点等差数列等比的理解、把握和应用（ 二 ） 学 习 过 程1、 自 主 学 习 、 合
11、作 探 究1.等差数列的证明： （ ） ； （ 、 ） ，naAB0nnSabq01；证明 为常数（对于 适用） ；证明 。0ab1nn212nn2.当引入公比 辅助解题或 作为参数时，注意考虑是否需要对 和 进行分q q1类讨论。3.证明数列是等比数列、不是等比数列，讨论数列是否等比数列，求解含参等比数列中的参数这四类问题同源。4.注意巧用等比数列的主要性质，特别是 （ ）和mnpqanpq（ ） 。2mnpanp5. 三数成等比数列，一般可设为 、 、 ；四数成等比数列，一般可设为 、qa3aq、 、 ；五数成等比数列，一般可设为 、 、 、 、 。aq3 2qa22、 精 讲 点 拨三、
12、典型例题例 1 数列 为各项均为正数的等比数列，它的前 项和为 80，且前 项中数值最nann大的项为 54，它的前 项和为 6560，求首项 和公比 。21aq解：若 ，则应有 ，与题意不符合，故 。依题意有：qnS112180(1)652nnaq得 即()128nq2810nq得 或 （舍去） ， 。n1nn由 知 ， 数列 的前 项中 最大，得 。8nana54n将 代入（1）得 （3） ，nq1q由 得 ，即 （ 4） ，54nan185q联立（3） （4）解方程组得 。123aq例 2 （1）已知 为等比数列， ， ，求 的通项公式。n2403ana（2）记等比数列 的前 项和为 ，
13、已知 ， ，anS16n43128，求 和公比 的值。6nSq解：（1）设等比数列 的公比为 （ ） ， ，则 ，naq02403a30aq即 也即 ，解此关于 的一元方程得 或 。203q103q1q， 或 。3na2nnna32na（2）在等比数列 中，有 ，又 ，联立解得n4318nn16n或 ，1264na1n由此知 ，而 ，从而解得q126nnaqS或 。26n例 3 已知数列 ，其中 ，且数列 （ 为常数）为等比数na23n1na列，求常数 。解： 为等比数列，那么 ，将1n 2111nnna代入并整理得 ，解之得 或 。23na(2)306 23例 4 设 、 是公比不相等的两个
14、等比数列， ，证明数列 不nabnncbnc是等比数列。解：设 、 分别是公比为 、 （ ）的两个等比数列，要证明 不npqn是等比数列，我们只需证 即可。事实上213c2 21 1capbqab223111cabpqap， ， ，又 、 ， ， 数21bqpq023c列 不是等比数列。nc3、 反 思 总 结4 当 堂 检 测1.已知等比数列 中 ，则其前 3 项的和 的取值范围是( )na213S.A,1.B,01,C3D2.已知 是等比数列， ，则na425a， 1231naa.A164n .B162nC32D33.若实数 、 、 成等比数列，则函数 与 轴的交点的个数为（ abc2ya
15、xbcx）无法确定.A0.B1.C.4. 在数列 中， ，且 是公比为 （ ）的等比数列，该数列满n0n1nq0足 （ ） ，则公比 的取值范围是（ ）123naa*N.A0q.B502q.C12.D15.设数列 满足 （ ， ， ） ，且nx1loglananx0a*nN，则 _。1210 0122x6.设 为公比 的等比数列，若 和 是方程 的两根，naq040524830x则 _。2077.设 是由正数组成的等比数列，公比 ，且 ，则n 2q30123a_。36930a8.设两个方程 、 的四个根组成以 2 为公比的等比数列，210xa20xb则 _。b9.设数列 为等比数列， ，已知 ，n 121n nTaa1T。24T（1）求等比数列 的首项和公比；na（2）求数列 的通项公式。T10.设数列 的前 项和为 ，已知nnS21nnbaS（1）证明：当 时， 是等比数列；2b1
