1、3. 平时作业完成三维实体模型中 B_Rep或 CSG表示法的一种 C/C+语言的数据结构定义。物体的 CSG树表示物体的体素构造表示法（Constructive Solid Geometry, CSG）是用两个物体间的并、交、差正则集合运算操作生成一个新的物体的方法。CSG表示法：先定义一些形状比较简单的常用体素，如方块、圆柱、圆锥、球、棱柱等。然后用集合运算并、交、差把体素修改成复杂形状的形体。早期的CSG模型仅使用代数方程及半空间的概念，体素只支持多面体与二次曲面体，而不支持表面含有自由曲面的实体。整个模型是棵树结构，最终形体的表面交线与有效区域没有显式给出，不能直接用于 NC加工与有限
2、元分析等后继处理。集合运算构造实体的过程可用二叉树结构表示，称该二叉树为 CSG树。树的叶节点表示体素或带有几何变换参数的体素，非叶节点表示施加于其子节点的正则集合算子，或称布尔算子。树的根节点表示集合运算的最终结果，也即希望得到的实体。边界表示法边界表示法（Brep-Boundary Representation）通过描述物体的边界来表示一个物体。所谓的边界是指物体的内部点与外部点的分界面，定义了物体的边界，该物体也就被唯一地定义了。如下图：边界表示法一个重要的特点是：描述物体的信息包括几何信息与拓扑信息两个方面。几何信息是指物体在欧氏空间中的位置、形状和大小；而拓扑信息是指拓扑元素（顶点、
3、边和表面）的数量及其相互间的连接关系。拓扑信息构成物体的“骨架” ，而几何信息则犹如附着在这一“骨架”上的“肌肉” 。几何信息有面（face） 、环（loop） 、边（edge）和点（vertex） ，拓扑信息有模型（model） 、 区域（region） 、外壳（shell） 、面引用（face use） 、环引用（loop use） 、边引用（edge use）和点引用（vertex use） 。如下图是用辐射边数据结构表示的一个形体模型，注意其中实体、面、线是用统一的数据结构表示的。顶点顶点（Vertex）的位置用（几何）点（Point）来表示。点是几何造型中的最基本的元素，自由曲线、曲
4、面或其它形体均可用有序的点集表示。用计算机存储、管理、输出形体的实质就是对点集及其连接关系的处理。在正则形体定义中，不允许孤立点存在。边边（Edge）是两个邻面(对正则形体而言)、或多个邻面(对非正则形体而言)的交集，边有方向，它由起始顶点和终止顶点来界定。边的形状（Curve）由边的几何信息来表示，可以是直线或曲线，曲线边可用一系列控制点或型值点来描述，也可用显式、隐式或参数方程来描述。形体中与一条空间曲线相联系，以及包含其两个端点和引用它的所有环边等信息的拓扑元素称为边。环环（Loop）是有序、有向边（Edge）组成的封闭边界。环中的边不能相交，相邻两条边共享一个端点。环有方向、内外之分，
5、外环边通常按逆时针方向排序，内环边通常按顺时针方向排序。面面（Face）由一个外环和若干个内环（可以没有内环）来表示，内环完全在外环之内。根据环的定义，在面上沿环的方向前进，左侧总在面内，右侧总在面外。面有方向性，一般用其外法矢方向作为该面的正向。若一个面的外法矢向外，称为正向面；反之，称为反向面。面的形状（Surface）由面的几何信息来表示，可以是平面或曲面，平面可用平面方程来描述，曲面可用控制多边形或型值点来描述，也可用曲面方程（隐式、显式或参数形式）来描述。对于参数曲面，通常在其二维参数域上定义环，这样就可由一些二维的有向边来表示环，集合运算中对面的分割也可在二维参数域上进行。体体（B
6、ody）是面的并集。在正则几何造型系统中，要求体是正则的，非正则形体的造型技术将线框、表面和实体模型统一起来，可以存取维数不一致的几何元素，并可对维数不一致的几何元素进行求交分类，从而扩大了几何造型的形体覆盖域。 几何形体是由封闭表面围成的空间，是欧氏空间中非空、有界的封闭子集，其边界是有限个面的并集。外壳外壳是一些点、边、环、面的集合,其所含的面集有可能围成封闭的三维区域，从而构成一个实体；外壳还可以表示任意的一张曲面或若干个曲面构成的面组；外壳还可以是一条边或一个孤立点。外壳中的环和边有时被称为“线框环”和“线框边” ，这是因为它们可以用于表示形体的线框图。区域由一组外壳组成，而模型由区域
7、组成。正则形体对于任一形体，如果它是三维欧氏空间 R3中非空、有界的封闭子集，且其边界是二维流形(即该形体是连通的)，则称该形体为正则形体，否则称为非正则形体。在这种表示法中，由于物体的点、边和表面以独立对象的形式的存在，所以可以方便地对物体进行各种局部修改。多面体的顶点、边和表面之间的拓扑关系可用 9种不同的形式予以描述：1 顶点相邻性，表示 v-v2 顶点边相邻性，表示 v-e3 顶点面相邻性，表示 v-f4 边顶点， e-v5 边边 e-e6 边面 e-f7 面顶点 f-v8 面边 f-e9 面面 f-f边界表示的数据结构两种典型的边界表示法数据结构主要包括：翼边结构，双向边表(DCEL
8、Doubly Connected Edge List) ，半边结构，四边结构，辐射边(Radial-Edge)结构等等。其中半边结构非常适合表示正则形体。翼边结构在顶点、边、表面等组成物体的三要素中，翼边结构以边为中心来组织数据。如下图：struct EdgeVertex P1,P2;Loop *LeftLoop,*RightLoop;struct Edge *ercw,*ercc,*elcc,*elcw;上图菱边 e作为有向线段，其数据结构中包含有两个指针，分别指向 e的两个端点：起点 P1和终点 P2。此外，e 中还设置有两个环指针，分别指向菱边e所邻接的两表面上的环 Loop左和 Loo
9、p右。这样就确定了菱边 e与相邻表面之间的拓扑关系。为了能从边 e出发找到它所在的任一闭合面环上的其他菱边，在 e中又增加了四个边指针 ercw、ercc、elcc、elcw，ercc 表示 e在右面环中沿逆时针方向所连接的下一条菱边，elcw 表示 e在左面环中沿顺时针方向所连接的下一条边，余类推。由于翼边结构边的构造和使用比较复杂，后来在此结构基础上改进，提出了半边数据结构。半边结构已成为边界表示的主流数据结构。半边数据结构实体的 B-rep表示模型是一非常复杂的模型，要求能够表达出多面体各几何元素之间完整的几何和拓扑关系，并且允许对这种几何和拓扑关系进行修改.在 B-rep表示中，体、面
10、、边和顶点是最基本的几何元素，在实体的拼合、显示、分析计算或人机交互过程中，对基本几何元素的下列操作是必不可少的：增加或删除体、面、边或顶点；已知一个体，查找它的所有面、所有边或所有顶点；已知一个面或一个边，查找它所属于的体；已知一个面，顺序查找围成它所有边；已知一个边，查找交于该边的所有面，或着查找该边的邻边，或者查找该边的两个端点；已知一个顶点，查找交于该顶点的所有边或所有面以上这些基本操作的效率直接影响着整个实体造型系统的效率。一个 B-rep数据结构应当方便、迅速地实现几何元素的这些查询或增删操作为了查询或操作方便，必须建立各几何元素间的拓扑关系，且引入其它辅助元素，例如在许多 B-r
11、ep数据结构中具有环结点，用来表示面的内、外封闭边界在 B-rep的数据结构设计时，除了需要考虑时间的因素外，还要考虑空间的因素，即模型所占计算机内存的大小，但往往这两方面是互相矛盾的要想各个几何元素之间查询迅速，必然要在它们之间建立广泛的联系，这样必然增加存储空间的占用量反过来也是如此，而半边数据结构就很好的权衡了空间和时间的问题。在构成多面体的三要素（点、边、面）中，半边数据结构仍以边为核心，但为了方便表达拓扑关系，它将一条边表示成拓扑意义上方向相反的两条“半边” ，所以称为半边数据结构，其结构如图：半边数据结构共包含六个结点：体、面、环、边、半边和顶点.半边是一连接两个顶点并具有一固定方
12、向的线段.一系列首尾相连的半边形成一个环.半边的关系是一个边包含两个相反方向的半边，由这两个半边可以查询交于这个边的两个面。半边的含义如上图所示.半边数据结构的优点是几何元素之间的互相查询非常方便，不足之处是由于结点多占用空间较大。半边数据结构的六个结点在 C语言中被表达成“结构”.结点之间通过结构指针互相联系.这些结点描述如下：顶点结点：顶点结点是半边数据结构中最底层的结点，实体的几何位置和尺寸最终都由顶点结点来定义.所以，顶点结点必须包含顶点的空间三维坐标值半边结点：半边结点包含指向前趋半边和后继半边的两个指针.这两个指针形成了一个环内半边的双向链表.半边结点还包含半边所属于的环的指针，以
13、及半边起始顶点的指针.边结点：边结点包含左右两个半边的指针，通过这两个指针可以查找该边的两个端点以及交于该边的两个面.指向前趋边和后继边的两个指针实现一个实体内边的双向链表.环结点：因为一个环包含一系列的首尾相接的半边，故环结点是一个指向这些半边其中之一的指针，通过该指针可以查找构成该环的所有半边.环结点还包含指向前趋和后继环的两个指针，用以实现一个面内环的双向链表.另外，环结点还包含指向环所在面的指针.面结点：因为面是由若干个环围成的内部连通的平面多边形，所以，面结点包含一个环的首指针，用来查找围成它的所有环.因为外环只有一个，为了区分内环和外环，面结点中包含指向它的外环的指针.面的前趋指针
14、和后继指针形成一个实体内面的双向链表.面结点中还包含指向它所属于的体的指针，用来查询面所属于的实体.面所在平面的方程也是定义完整实体的重要内容，所以，面结点中包含一个四个浮点数的数组，表示其平面方程.体结点：在半边数据结构中，体结点是各种引用的根结点.从体结点出发，可以搜索任何其它的结点.所以，体结点，包含面、边和顶点的首指针.体结点之间也是通过前趋指针和后继指针形成的双向链表来连接。从图中可以看出，许多几何元素可以有不同的搜索路径，例如查找实体上的顶点可以有两个路径：一是体面环半边顶点；二是体顶点第二个路径比第一个路径要简捷得多，用来进行实体的平移等整体操作；第一个路径一般用作局部查找。为了
15、表示非正则形体，1986 年，Weiler 提出了辐射边（Radial Edge）数据结构。辐射边结构的形体模型由几何信息（Geometry）和拓扑信息（Topology）两部分组成。几何信息有面（face） 、环（loop） 、边（edge）和点（vertex） ，拓扑信息有模型（model） 。 区域（region） 、外壳（shell） 、面引用（face use） 、环引用（loopuse） 、边引用（edge use）和点引用（vertex use） 。这里点是三维空间的一个位置，边可以是直线边或曲线边，边的端点可以重合。环是由首尾相接的一些边组成，而且最后一条边的终点与第一条边的起点重合；环也可以是一个孤立点。外壳是一些点、边、环、面的集合；外壳所含的面集有可能围成封闭的三维区域，从而构成一个实体；外壳还可以表示任意的一张曲面或若干个曲面构成的面组；外壳还可以是一条边或一个孤立点。外壳中的环和边有时被称为“线框环”和“线框边” ，这是因为它们可以用于表示形体的线框图。区域由一组外壳组成，而模型由区域组成。
