1、2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角知识梳理1.平面向量数量积的坐标表示设向量 a(x 1，y 1)，b( x2， y2)，a 与 b 的夹角为 .数量积 abx 1x2y 1y2向量垂直 abx 1x2y 1y202. 三个重要公式(1)向量模的公式：设 a(x 1，y 1)，则| a| .x21 y21(2)两点间的距离公式：若 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，则 .AB 2211xy(3)向量的夹角公式：设两非零向量 a( x1，y 1)，b(x 2，y 2)，a 与 b 夹角为 ，则cos .ab|a|b| x1x2 y1y2x21 y21 x2 y2知识点一 平面
2、向量数量积的坐标运算例 1 已知向量 ab，b(1,2)，|ab|10.(1)求向量 a 的坐标；(2)若 a，b 同向，c(2，1)，求(b c)a，(ab) c.变式 已知 a(3，2)，b(4，k)，若(5 ab)( b3a) 55，试求 b 的坐标知识点二 向量平行与垂直的坐标形式的应用例 2 已知平面向量 a(1，x) ，b(2x3，x )(xR)(1)若 ab，求 x 的值；(2) 若 ab，求|ab|.变式 已知|a| 3，b(2,3) ，试分别解答下面两个问题：(1)若 ab，求 a 的坐标；(2)若 ab，求 a 的坐标知识点三 平面向量的夹角问题例 3 a(1,2)，b(1
3、， )，求满足下列条件的实数 的取值范围(1)a 与 b 的夹角为 90；(2)a 与 b 的夹角为锐角变式 若本例条件不变，如何求 a 与 b 的夹角为钝角时 的取值范围？当堂双基达标1已知 (3,4)，则| |等于 ( )MN MN A3 B4C. D552已知向量 a(5,6)，b(6,5)，则 a 与 b( )A垂直 B不垂直也不平行C平行且同向 D平行且反向3已知 A(3,1)，B(6,1) ，C(4,3)，D 为线段 BC 的中点，则向量 与 夹角的余弦值为_AC DA 4已知 a(2,1)，b(1,3)若存在向量 c，使得 ac 4，bc9，试求向量 c 的坐标知能达标一、选择题
4、1a(4,3) ，b(5,6)，则 3|a|24a b( )A23 B57 C63 D832若 a(2,1)，b(3,4) ，则向量 a 在向量 b 方向上的投影为( )A2 B2 C. D105 53已知向量 a(x1,2)，b (2,1)，则 ab 的充要条件是( )Ax Bx112Cx 5 Dx04已知 O (2,1)，O (0,2)，且 A O ，B A ，则点 C 的坐标是( )A B C B C B A(2,6) B(2，6)C(2,6) D( 2,6)5已知 A、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为 A(1,2)、B(4,1) 、C (0，1)，则ABC 的形状为( )A直
5、角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D以上均不正确二、填空题6已知 a，b 是非零向量，且满足(a2b) a，(b2a) b，则 a 与 b 的夹角为_7若平面向量 a(1，2)与 b 的夹角是 180，且|b|4 ，则 b_.58设平面向量 a(2,1)，b(，1)(R) ，若 a 与 b 的夹角为钝角，则 的取值范围是_三、解答题9在平面直角坐标系内，已知三点 A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，求：(1) ， 的坐标；(2)| |的值；(3)cosBAC 的值AB AC AB AC 10在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1，2)、B(2,3)、C(2，1)(1)求以线段
6、 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数 t 满足( t ) 0，求 t 的值AB OC OC 11已知在ABC 中，A(2 ，1)，B(3,2)，C(3，1) ，AD 为 BC 边上的高，求点 D 的坐标与| |.AD 答案例 1 (1)a(2,4)或 a(2，4)(2) (bc)a0，( ab)c(20，10) 变式 b(4，10)或 b(4，6).例 2 (1)x1 或 x3.(2) 2 或 2 .5变式 (1)a( ， )或 a( ， )(2)a( ， )或 a( ， ).91313 61313 91313 61313 61313 91313 61313 91313例 3(1) .(2)( ，2)(2，) 12 12变式 ( ， )12当堂双基达标1D 2A 3 4(3，2).45课后知能达标一、选择题 DBDDC二、填空题 660 7 (4,8) 8 ( ，2)(2，)12三、解答题9(1) (1,1)， (1,5).(2)2 .(3) . AB AC 5 2131310(1) 2 ，4 .(2) . 10 211511D (1,1)，| | .AD 5
