1、2.2.2 反证法教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点.教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转 2 枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）2. 提出问题： 平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点 A、B、C不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？3. 给出证法：先假设可以作一个O 过 A、B、C 三点，则 O 在 AB 的中垂线 l 上，O 又在 BC 的中垂线 m 上，即 O 是 l 与 m 的
2、交点。但 A、B、C 共线，lm( 矛盾) 过在同一直线上的三点 A、B、C 不能作圆.二、讲授新课：1. 教学反证法概念及步骤： 练习：仿照以上方法，证明：如果 ab0，那么 ba 提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 从假设出发，经推理论证得到矛盾 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通
3、过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实. 注：结合准备题分析以上知识.2. 教学例题： 出示例 1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分. 分析：如何否定结论？ 如何从假设出发进行推理？ 得到怎样的矛盾？与教材不同的证法：反设 AB、CD 被 P 平分，P 不是圆心，连结 OP，则由垂径定理：OP AB，OPCD，则过 P 有两条直线与 OP 垂直（矛盾） ，不被 P平分. 出示例 2：求证 是无理数. （ 同上分析 板演证明，提示：有理数可表示为3）/mn证：假设 是有理数，则不妨设 （m ,n 为互质正整数） ，3/从而： ， ，可见 m 是 3 的倍数.2(/)n2n设
4、m=3p（p 是正整数） ，则 ，可见 n 也是 3 的倍数.29p这样，m, n 就不是互质的正整数（矛盾） . 不可能， 是无理数./ 练习：如果 为无理数，求证 是无理数.1aa提示：假设 为有理数，则 可表示为 （ 为整数） ，即 ./q, /apq由 ，则 也是有理数，这与已知矛盾. 是无理数.()/pq3. 小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围（“至多” 、 “至少” 、 “均是” 、 “不都” 、 “任何” 、 “唯一”等特征的问题）三、巩固练习： 1. 练习：教材 P54 1、2 题 2. 作业：教材 P54 A 组 3 题.OABCDP
