1、2.2.2 反证法,一反证法,证明命题“设p为正整数，如果p2是偶数, 则p也是偶数”，我们可以不去直接证明p是偶数，而是否定p是偶数，然后得到矛盾，从而肯定p是偶数。具体证明步骤如下：,假设p不是偶数，可令p=2k+1，k为整数。,可得 p2=4k2+4k+1，此式表明，p2是奇数，这与假设矛盾，因此假设p不是偶数不成立，从而证明p为偶数。,一般地，由证明pq转向证明：,t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定 为假，推出q为真的方法，叫做反证法。,例1证明 不是有理数。,证明：假定 是有理数，则可设 ,其中p，q为互质的正整数，,把 两边平方得到，2q2=p2， ,式表明p2是偶数，所以
2、p也是偶数，于是令p=2l，l是正整数，代入式，,得q2=2l2， ,式表明q2是偶数，所以q也是偶数，这样p，q都有公因数2，这与p，q互质矛盾，,因此 是有理数不成立，于是 是无理数.,例2证明质数有无穷多个。,证明：假定质数只有有限多个，设全体质数为p1，p2，p3，pn，,令p= p1p2p3pn+1，显然p不含因数p1，p2，p3，pn，p要么是质数，要么含有除p1，p2，p3，pn之外的质因数。,因此质数只有有限多个不成立，于是质数有无穷多个。,从上述两例看出，反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性。,二反证法的主
3、要步骤,(1) 反设：反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。,(2) 归谬： 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。,(3) 结论：由前两步，得到正确的结论，
4、一点要在前面的基础上肯定结论的真实性。,例3证明1， ，2不能为同一等差数列的三项。,证明：假设1， ，2是某一等差数列中的三项，设这一等差数列的公差为d，则,1= md，2= nd，其中m，n为某两个正整数，,由上两式中消去d，得到n+2m=(n+m) ,因为n+2m为有理数，(m+n) 为无理数,所以n+2m(n+m)，因此假设不成立，1， ，2不能为同一等差数列中的三项.,例4平面上有四个点，没有三点共线，证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形。,证明：假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为A，B，C，D，,考虑ABC，点D在ABC之内或之外两种情况。,（1）
5、如果点D在ABC之内，根据假设，围绕点D的三个角都是锐角，其和小于270，这与一个周角等于360矛盾；,（2）如果点D在ABC之外，根据假设四边形ABCD的四个内角分别是某锐角三角形的内角，,即A，B，C，D都小于90，这和四边形内角和等于360矛盾，,综上所述，原题的结论正确。,例5、设a3+b3=2，求证a+b2,证明：假设a+b2，则有a2b，从而 a3812b+6b2b3， a3+b36b212b+8=6(b1)2+2.,因为6(b1)2+22，所以a3+b32，这与题设条件a3+b3=2矛盾，所以，原不等式a+b2成立。,例6、设0 a, b, c , (1 b)c , (1 c)a ,则三式相乘： (1 a)b(1 b)c(1 c)a ,又0 a, b, c 1,所以,同理：,以上三式相乘： (1 a)a(1 b)b(1 c)c 与矛盾,原式成立。,
