1、【课题研究】 2、1、1、2 分数指数幂【讲师】 孟老师我们知道，有理数分为整数和分数，我们在初中的时候学习过整数指数幂，也学习了它的有关性质，这一节课我们来学习分数指数幂，来研究它的一些性质.我们这一节课的目的就是把指数幂从整数指数幂推广到有理数指数幂【知识巩固】整数指数幂整数指数幂的概念 *)(Nnaan个)0(10*),0(1nn运算性质： )()(,Znbamnnm注意 可看作 = =nmnmanmanma 可看作 = =nba)(nbn)(nb根式根式的运算性质：当 n 为任意正整数时，( na) =a.当 n 为奇数时， =a；当 n 为偶数时， =|a|= .na)0(a根式的基
2、本性质： ， （a 0）mnp用语言叙述上面三个公式：非负实数 a 的 n 次方根的 n 次幂是它本身. n 为奇数时，实数 a 的 n 次幂的 n 次方根是 a 本身；n 为偶数时，实数a 的 n 次幂的 n 次方根是 a 的绝对值.若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变.引例：当 a0 时 510251)( 312432)(aa 3322 211上述推导过程主要利用了根式的运算性质，例子、用到了推广的整数指数幂运算性质(2).因此，我们可以得出正分数指数幂的意义.一、 【学习目标】1初步理解认知分数指数
3、幂的含义；2会利用分数指数幂的基本知识解决简单的计算推理问题；3渗透从特殊到一般的数学归纳思想.二、 【自学内容和要求及自学过程】 （约 25 分钟）阅读教材第 5051 页内容，回答下列问题（分数指数幂）整数指数幂的运算性质是什么？结论：整数指数幂的运算性质： an=aaaa,a0=1(a0)；0 0无意义；a -n= (a0) ；a man=am+n；（a m)n=amn；(a n)m=amn；(ab) n=anbn；1观察以下式子,并总结出规律：(a0) = =a2=a ； = =a4=a ；5105)(108a2)(8 = =a3=a ； = =a5=a .42a4210210结论：a
4、 2是 a10的 5 次方根；a 4是 a8的 2 次方根；a 3是 a12的 4 次方根；a 5是 a10的 2 次方根.实质上 =a , =a , =a , =a 结果的 a 的指51058241242102数是 2,4,3,5 分别写成了 , , , ,形式上变了,本质没变.50根据 4 个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式） ；利用的规律,你能表示下列式子吗？, , , (x0,m,nN *,且 n1).43575anmx结论：利用的规律, =5 , =7 , =a , =x435737a5nmx你能用方根的意
5、义来解释(3)的式子吗？结论：5 3的四次方根是 5 ,75的三次方根是 7 ,a7的五次方根是 a ,xm的 n 次433557方根是 x ,结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的.nm你能推广到一般的情形吗？结论：如果 a0,那么 am的 n 次方根可表示为 m=a ,即naa = m(a0,m,nN *,n1).n【综上所述,我们得到正数的正分数指数幂的意义】规定:正数的正分数指数幂的意义是 a = m(a0,m,nN *,n1).n【思考】类比正数的正分数指数幂，正数的负分数指数幂的意义是什么？零的分数指数幂的意义是什么？结论：正数的负分数指数幂的意义是：a = = (a0,m,nN
6、*,n1)零mna1nm的分数指数幂的意义是:零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.指数的概念从整数指数推广到了有理数指数后，有理数指数幂的运算性质是什么？结论：有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数 r,s,均有下面的运算性质: aras=ar+s(a0,r,sQ),(ar)s=ars(a0,r,sQ), (ab)r=arbr(a0,b0,rQ).（我们规定 a0，是因为要对一切有理数适应，可以从这个方面来解释）三、 【练习与巩固】练习 1.教材例 2、3、4、5.练习 2.教材对应练习第 2、3 题.练习 3.比较 , , 大小求值: ；2 516 43981 ； 3.16结论：
7、因为 = = , = ,而 125123 121,所以6325316 .所以 .62516 =3 4(3 ) 42981214=(3 ) =(3 ) =3 = ；34167 =23 ( ) (322) =2 325.2131613=6；6132思考：已知 f（x）=e xe -x,g（x）=e x+e-x.求f（x） 2g（x） 2的值；设 f（x）f（y）=4,g（x）g（y）=8,求 的值 .)(yxg结论：f（x） 2g（x） 2=f（x）+g（x） f（x）g（x） =（e xe -x+ex+e-x） （e xe -xe xe -x）=2e x（2e -x）=4e 0=4;f（x）f（
8、y）=（e xe -x） （e ye -y）=e x+y+e-(x+y)e x-ye -(x-y)=g（x+y）g（xy）=4,同理可得 g（x）g（y）=g（x+y）+g（xy）=8,得方程组 解得 g（ x+y）8,)-()g(4=6,g（xy）=2.所以 = =3.)(yx26四、 【作业】1、必做题：习题 2.1A 组第 2、4 题，B 组第 2 题.2、选做题：11设 mn0，x= ，化简：A= .mn42x解：x -4=( ) -4=( ) ，2nm22A= = ，mnn2n2又mn0，m，n 同号.设 m0，且 n0，则 A= .n2若 m n，则 A= ；若 mn，则 A= .
9、m设 m0，且 n0，则 A= . n2若 n m，则 A= ；若 nm，则 A= .综上所述得：A= .)(n五、 【小结】本节课主要学习了分数指数幂，从正分数指数幂推到负分数指数幂，推广到分数指数幂，然后把指数幂推广到有理数指数幂.中间涉及到分类讨论的思想和从特殊到一般的数学归纳思想.六、 【课后小练】1、计算下列各式： 4325)(;0a分析：（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算（2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算解： 6532123)(aa .555)(12412541232432.用根式的形式表示下列各式( )3254351,a解： 3232535341aa3.用
10、分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)(1) （） （） 43 a32)(ba（） （） （6）3)(ba32b43解：（） 17414a(2) 87142822)( aaa (3) 332)(b（） 443)(（） 31232aa（） 2134343 )()()( bb4.化简：1421yxyx解：41414121 )()(yxyx评述：此题注重了分子、分母指数间的联系，即 ，由此联想到平方214)(x差公式的特点，进而使问题得到解决5.已知 x+x-1=3,求下列各式的值： .)2(,)1(2312xx分析：（1）题若平方则可出现已知形式，但开方时应注意正负的讨论；（2）题若立方则
11、可出现（1）题形式与已知条件，需将已知条件与（1）题结论综合；或者，可仿照（1）题作平方处理，进而利用立方和公式展开解： 50352)()(212112121xxx所 以 得又 由52)13(1) )2()()2(22111323xxxx （评述：（1）题注重了已知条件与所求之间的内在联系，但开方时正负的取舍容易被学生所忽视，应强调以引起学生注意（2）题解法一注意了（1）题结论的应用，显得颇为简捷，解法二注重的是与已知条件的联系，体现了对立方和公式、平方和公式的灵活运用，耐用具有一定层次，需看透问题实质方可解决得彻底，否则可能关途而废另外， （2）题也体现了一题多解6.练习求下列各式的值：(1
12、) （） （） （4） （5） 23532723)96(23)(423981（6） 631.解：(1) 1255)(253232(2) 9733（） 34167)6()7()6(49( 3222(4) 258)5()5()()5( 3232323 (5) 4342134213423)(981 64442)(6) 6123163 )()215.26322 )3()(61313 6121311 7.求下列各式的值：(1) （2） （） （4）21 21)49(303)75(解：（） 1)1(222（） 87)(78)496(2(3) 01.10)(103)4(433 (4) 259)()5(5)2
13、7(223323 8.已知： ，求证： .6dcba 11cbda证明：由已知得 32dc 111)(32bdcdbadcba，)2()1()1(bdbca，得 ，12)()1(bcda ，即0)( )1(1)(cbda9已知： ， ，求 的7a25b 354314323496ba值.解：由 ，2314331423 )(96babab又 1ab， ，从而得 ，5原式= =35413209bab354231029ba= .0)2(9)(223102 10求值： .3371解：设 ，由公式x33271得)()(baab(1+ )+(1- )+3 x=x3，即 x3+x-2=0，3723)3721(分解因式得： ，0)(12x ， ，即 x=1，原式=1.02x
