1、2018 年高三二轮复习讲练测之测案【新课标版理科数学】热点九 与圆有关的最值问题总分 _ 时间 _ 班级 _ 学号 _ 得分_ 一、选择题（12*5=60 分）1. 【2018 届安徽省皖南八校高三第二次（12 月）联考】已知直线 平分圆的周长，且直线 不经过第三象限，则直线 的倾斜角 的取值范围为A. B. C. D. 【答案】A【解析】圆 的标准方程为 ，故直线过圆 的圆心 ，因为直线 不经过第三象限，结合图象可知， ， ，故选 A.2 【2018 届西藏拉萨市高三第一次模拟考试（期末） 】已知点 在圆 ： 上运动，则点 到直线 ： 的距离的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】
2、D3 【2018 届安徽省六安市第一中学高三上学期第五次月考】若 是圆上任一点，则点 到直线 距离的最大值（ ）A. 4 B. 6 C. D. 【答案】B【解析】由题意得直线 过定点 圆 的圆心为 ，半径 由几何知识可得当直线 与直线 垂直时，圆心 到直线 的距离最大，此时，故 ，直线 方程为 ，即 所以圆心 到直线 的最大距离为 故点 到直线 距离的最大值为 选 B4 【2018 届辽宁省凌源市高三上学期期末】已知直线 截圆所得的弦长为 ，点 在圆 上，且直线过定点 ，若 ，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D故选：D.5 【2018 届重庆市九校联盟高三上学期第一次联考
3、】设 ，则的最小值为（ ）A. 3 B. 4 C. 9 D. 16【答案】C【解析】其几何意义是单位圆上的点到直线 的距离的平方，故其最小值为，故选：C6设 m，nR，若直线(m1)x(n1)y20 与圆 x2y 21 相切，则 mn 的最大值是( )A. 2 B. 2C. D. 【答案】A【解析】依题意得，圆心 到直线( 的距离等于圆的半径 1，于是有 ，即 设，则当且仅当 时取等号，因此 的最大值是 ，选 A.7 【2018 届四川省绵阳市南山中学高三二诊】若圆 上至少有三个不同的点到直线 的距离为 ，则直线 的斜率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】圆 可化为 则
4、圆心为（-2，2） ，半径为 3 ，则由圆 x2+y2+4x-4y-10=0 上至少有三个不同点到直线 l：ax+by=0 的距离为2 ，则圆心到直线 l：ax+by=0 的距离 d3 2 = 即 则a2+b2-4ab0，若 b=0，则 a=0，故不成立，故 b0，则上式可化为1+ 由直线 l 的斜率 k=- 则上式可化为 k2+4k+10 解得故选 B.8 【2018 届湖北省襄阳市高三 1 月调研】已知点 P(1，2)和圆 C： ，过点 P 作圆 C 的切线有两条，则 k 的取值范围是（ ）A. R B. C. D. 【答案】C【解析】圆 ，因为过 有两条切线，所以 在圆外，从而 ，解得
5、，选 C9已知 a，b 为正实数，直线 xya0 与圆(xb) 2(y1) 22 相切，则 的最小值是( )A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】B【解析】直线 xya0 与圆(xb) 2(y1) 22 相切， ，a0，b0，b1a0,0a1， 2a24，当且仅当 a 时取等号.故选：B.10已知圆 C：x 2y 2kx2yk 2，当圆 C 的面积取最大值时，圆心 C 的坐标为( )A. (0,1) B. (0，1)C. (1,0) D. (1,0)【答案】B【解析】圆 C 的方程可化为 ，所以当 k0 时圆 C 的面积最大即圆心 C 的坐标为(0，1)本题选择 B 选项.11 【20
6、18 届福建省泉州市高三 1 月】已知直线 ： ，圆 ： .若对任意 ，存在 被 截得弦长为 ，则实数 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可得，圆心 到 的距离即解得 或故实数 的取值范围是故选12.【2018 届重庆市梁平区二调】过点 作圆 C： R)的切线，切点分别为 A，B，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 2 3【答案】C【解析】由题意可得圆心坐标为 ，半径 ，其中 ，.利用平面向量数量积的定义有：设 ，则：，结合对勾函数的性质可得：函数 在区间 上单调递增当 时， .本题选择 C 选项.二、填空题（4*5=20 分）13. 【2018 届安徽省淮南
7、市高三第一次（2 月）模拟】过动点 作圆： 的切线 ，其中 为切点，若 ( 为坐标原点)，则的最小值是 .【答案】14. 【2018 届安徽省皖西高中教学联盟三上学期期末】已知 是椭圆 上的一点， 分别是圆 和 上的点，则 的最小值是_.【答案】7【解析】设两圆圆心为 M,N,则 M,N 为椭圆焦点，因此，即 的最小值是 715.【2018 届河南省商丘市高三第一学期期末】设点 是函数 的图像上的任意一点，点 ，则 的最小值为_【答案】【解析】由函数 ,得(x1) 2+y2=4,(y0)，对应的曲线为圆心在 C(1,0)，半径为 2 的圆的下部分，点 Q(2a,a3)，x=2a，y=a3，消去
8、 a 得 x2y6=0，即 Q(2a,a3)在直线 x2y6=0 上，过圆心 C 作直线的垂线，垂足为 A，则 ，故答案为： .16.如图所示点 是抛物线 的焦点，点 、 分别在抛物线 及圆的实线部分上运动，且 总是平行于 轴， ，则 的周长的取值范围是_.【答案】 .【解析】易知圆 的圆心坐标为 ，则圆心为抛物线 的焦点，圆 与抛物线 在第一象限交于点 ，作抛物线 的准线 ，过点 作 垂直于直线 ，垂足为点 ，由抛物线的定义可知，则 ，当点 位于圆 与轴的交点 时， 取最大值 ，由于点 在实线上运动，因此当点 与点 重合时， 取最小值为 ，此时 与 重合，由于 、 、 构成三角形，因此，所以
9、 ，因此 的周长的取值范围是 .三、解答题题（6*12=72 分）17.【2018 届福建省闽侯第四中学高三上学期期末】如图，单位圆 与 ， 轴正半轴的交点分别为 ， ，圆 上的点 在第一象限.（1）若点 的坐标为 ，延长 至点 ，使得 ，求 的长；（2）圆 上的点 在第二象限，若 ，求四边形 的面积的最大值.【答案】 （1） ；（2） .解析：（1）由点 在单位圆上，可知 ，由图像可得 ；在 中， ， ， ；由余弦定理得 ；解得 ；（2）设 ， ， 四边形 的面积 ， 当 ，即 时，四边形 的面积 的最大值为 .18.在平面直角坐标系 中，点 ，直线 ,设圆 的半径为 ，圆心在上.（1 ）若
10、圆心 也在直线 上，过点 作圆 的切线，求切线的方程；（2 ）若圆 上存在点 ，使 ，求圆心 的横坐标 的取值范围.【答案】 （1） 或者 ；（2 ） .【解析】 （1）由 得圆心 C 为（3,2） ，圆 的半径为圆 的方程为： 1 分显然切线的斜率一定存在，设所求圆 C 的切线方程为 ，即 或者所求圆 C 的切线方程为： 或者 即 或者 6 分（2 ） 圆 的圆心在在直线 上，所以，设圆心 C 为（a,2a-4 ）则圆 的方程为： 8 分又 设 M 为（ x,y）则 整理得：设为圆 D 10 分点 M 应该既在圆 C 上又在圆 D 上 即圆 C 和圆 D 有交点 11 分解得， 的取值范围为
11、： 12 分19 【2018 届宁夏育才中学高三第四次月考】已知圆 ： ，直线 过定点 （1）若 与圆相切，求直线 的方程；（2）若点 为圆上一点，求 的最大值和最小值【答案】 （1）直线方程为 ， ；（2）.【解析】试题分析：（1）根据直线和圆相切，即圆心到直线的距离等于半径列式子求得 k值；（2）将式子化简得到 ，转化为点点距，进而转化为圆心到的距离，加减半径，即求得最值。解析：（1）若直线 的斜率不存在，即直线是 ，符合题意；若直线 的斜率存在，设直线 为 ，即 由题意知，圆心 到已知直线 的距离等于半径 2，即 ，解得 故所求直线方程为 ， （2） ， 可以看作圆上的点与点 距离的平方
12、把点 代入圆的方程： ，所以点在圆外所以圆上的点到 的最大距离为 ，最小距离为 （其中 为圆心到 的距离） ，又 ，故最大距离为 ，最小距离为 ，所以 ， 点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值。20 【2018 届北京市北京师范大学附属中学高三上学期期中】已知点 A（a，3） ，圆 C 的圆心为（1,2） ，半径为 2.（I）求圆 C 的方程；（II）设 a=3，求过点 A 且与圆 C 相切的直线方程；
13、（III）设 a=4，直线 l 过点 A 且被圆 C 截得的弦长为 ，求直线 l 的方程；（IV）设 a=2，直线 过点 A，求 被圆 C 截得的线段的最短长度，并求此时 的方程.【答案】 （I） ；（II） 或 ；（III） 或 ；（IV） ； .试题解析：（I）圆 C 的方程为 ；（II）当直线斜率存在时，设切线方程的点斜式为 ，即则圆心到直线的距离为 ，解得，即切线方程为 ，当斜率不存在时，直线方程为 ，满足题意，故过点 A 且与圆 C 相切的直线方程为 或 ；（III）设直线方程为 ，即 ，由于直线被圆截得的弦长为 ，故而弦心距为 ， ，解得或 ，即直线 的方程为 或 ；（IV） ，点
14、 在圆内，当 与 垂直时，直线截圆所得线段最短， ，直线 的斜率为 ，故直线 的方程为 ，圆心到直线的距离为 ，故弦长为 .21.【2018 届福建省莆田第九中学高三上学期第二次月考（12 月） 】已知圆和点 .（1）若过点 有且只有一条直线与圆 相切，求实数 的值，并求出切线方程；（2）若 ，过点 的圆的两条弦 互相垂直，求 的最大值.【答案】(1)答案见解析；(2) .【解析】试题分析：（1）由条件知点 在圆 上，得 ，进而求出切线方程；（2）设 到直线 的距离分别为 ，由勾股定理得，再根据 ，表示出 ，结合基本不等式即可求出最大值.试题解析：（1）由条件知点 在圆 上，所以 ，则 .当
15、时，点 为 ， ， ，此时切线方程为 ，即 .当 时，点 为 ， ， .此时切线方程为 ，即 .所以所求的切线方程为 或（2）设 到直线 的距离分别为 ，则 .又有 ，所以 .则.因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，所以 ，所以 .所以 ，即 的最大值为 .22.已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 ，圆 的直径为 的长轴.如图， 是椭圆短轴端点，动直线 过点 且与圆 交于 两点，垂直于 交椭圆于点 .（1 ）求椭圆 的方程；（2 ）求 面积的最大值，并求此时直线 的方程 .【答案】 （1） （ 2） 【解析】 （1）由已知得到 ,所以 ,即 .又椭圆经过点 ,故 ,解得 ,所以椭圆的方程是（2 ）因为直线 且都过点当 斜率存在且不为 0 时 ,设直线 ,直线 ,即,所以圆心 到直线 的距离为 ,所以直线 被圆 所截弦由 得, ,所以 ,所以 ,令 ,则 ,当 ,即 时, 等号成立,故 面积的最大值为 ,此时直线 的方程为 ,当 斜率为 0 时,即 ,此时 ,当 的斜率不存在时,不合题意;综上, 面积的最大值为 ,此时直线 的方程为 .
