1、中国古代数学中的算法案例除更相减损数，秦九韶算法和割圆术关于辗转相除法, 搜了一下, 在我国古代的九章算术中就有记载，现摘录如下: 约分术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。 ” 其中所说的“等数” ，就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法，实际上就是辗转相除法。 中国古代数学中的算法案例辗转相除法求最大公约数，是一种比较好的方法，比较快。 对于 52317 和 75569 两个数，你能迅速地求出它们的最大公约数吗？一般来说你会找一找公共的使因子，这题可麻烦了，不好找，质因子大。 现在教你用辗转相除法来求最大公约数。 先用较大的 7
2、5569 除以 52317，得商 1，余数 23252，再以 52317 除以 23252，得商 2，余数是 5813，再用 23252 做被除数，5813 做除数，正好除尽得商数 4。这样 5813 就是 75569和 52317 的最大公约数。你要是用分解使因数的办法，肯定找不到。 那么，这辗转相除法为什么能得到最大公约数呢？下面我就给大伙谈谈。 比如说有要求 a、b 两个整数的最大公约数，ab，那么我们先用 a 除以 b，得到商 8，余数 r1：abq1r1 我们当然也可以把上面这个式子改写成乘法式：abq1r1-l） 如果 r10，那么 b 就是 a、b 的最大公约数 3。要是 r10
3、，就继续除，用 b 除以 r1，我们也可以有和上面一样的式子： br1q2r2-2） 如果余数 r20，那么 r1 就是所求的最大公约数 3。为什么呢？因为如果 2）式变成了br1q2，那么 b1r1 的公约数就一定是 a1b 的公约数。这是因为一个数能同时除尽 b 和r1，那么由 l）式，就一定能整除 a，从而也是 a1b 的公约数。 反过来，如果一个数 d，能同时整除 a1b，那么由 1）式，也一定能整除 r1，从而也有 d是 b1r1 的公约数。 这样，a 和 b 的公约数与 b 和 r1 的公约数完全一样，那么这两对的最大公约数也一定相同。那 b1r1 的最大公约数，在 r10 时，不就是 r1 吗？所以 a 和 b 的最大公约数也是 r1 了。 有人会说，那 r2 不等于 0 怎么办？那当然是继续往下做，用 r1 除以 r2，直到余数为零为止。 在这种方法里，先做除数的，后一步就成了被除数，这就是辗转相除法名字的来历吧。
