1、考点 53 曲线与方程1在 中， ,给出 满足的条件，就能得到动点 的轨迹方程，下表给出了 一些条件及方程：条件 方程 周长为 面积为 中，则满足条件，的轨迹方程依次为A B C D 【答案】B2已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 、 ， 为坐标原点，以 为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为 、 ，点 为圆 与 轴正半轴的交点，若 ，则双曲线 的离心率为（ ）A B C D 【答案】D3斜率为 的直线 过抛物线 焦 点 ，交抛物线于 ， 两点，点 为 中点，作，垂足为 ，则下列结论中不正确的是（ ）A 为定值 B 为定值C 点 的轨迹为圆的一部分 D 点 的轨迹是圆的一部分【答案
2、】C4设直线 与椭圆 交于 A、B 两点，过 A、B 两点的圆与 E 交于另两点 C、D，43yx则直线 CD 的斜率为（ ）A B 2 C D 4141【答案】D5点 为棱长是 2 的正方体 的内切球 球面上的动点，点 为 的中点，若满足，则 与面 所成角的正切值的最小值是A B C D 【答案】C【解析】如图所示， 分别为棱 的中点，易知 平面 ，则点 P 在平面 内，又点 P 在内切球 球面上，则点 P 为球与平面的交线所成的圆 ，作 平面 于点 ，点 P 为圆 上的点，则 为 与面 所成角，其中 为定值，则满足题意时， 有最大值即可，设圆 的半径为 ，则 ，即： ,则 ，中，由勾股定理
3、可得 ，6在 直角坐标系 中，直线 的参数方程为 (t 为参数） ，若以原点 为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 的极坐标方程为 ，设 是圆 上任一点，连结 并延长到 ，使.（1）求点 轨迹的直角坐标方程；（2）若直线 与点 轨迹相交于 两点，点 的直角坐标为 ，求 的值.【答案】 （1） ,（2）【解析】（1）设 点坐标 ， ，即化为平面直角坐标系下的方程为（2）把 ，代入 得所以 ，7已知点 ， ，动点 满足 (1)求动点 的轨迹 的方程；(2)设点 为轨迹 上异于原点 的两点，且 若 为常数，求证：直线 过定点 ；求轨迹 上任意一点 到中的点 距离的最小值【答案】 （1） ；（
4、2）见解析设 ，则点 到点 的距离 满足：， 因为 ，故当 即 时，点 到点 的距离的最小值为 ； 当 即 时，点 到点 的距离的最小值 .8已知动圆 过点 并且与圆 相外切，动圆圆心 的轨迹为 。（1）求曲线 的轨迹方程；（2）过点 的直线 与轨迹 交于 、 两点，设直线 ，设点 ，直线 交 于 ,求证：直线 经过定点.【答案】 （1） ；（2）见解析得 ， ，下面证明直线 经过点 ，即证 ，即 ,即 ,由 ，整理得， ，即即证 经过点 ，直线 过定点9已知点 P(2,2)，圆 C：x 2y 28y0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为M，O 为坐标原
5、点.(1)求 M 的轨迹方程；(2)当|OP |OM|时，求 l 的方程.【答案】(1) M 的轨迹方程是 (x1) 2( y3) 22 (2) x3y8010如图，抛物线 的焦点为 ，抛物线 上 两点，在抛物线的准线上的射影分别为 .（1）如图，若 点在线段 上，过 作 的平行线 与抛物线准线交于 ，证明： 是 的中点；（2）如图，若 的面积是 的面积的两倍，求 中点的轨迹方程.【答案】(1)见解析;(2 ) .11已知圆 的圆心为 ，点 是圆 上的动点，点 ，线段 的垂 直平分线交于 点（1）求点 的轨迹 的方程；（2）过点 作斜率不为 0 的直线 与（1）中的轨迹 交于 ， 两点，点 关
6、于 轴的对称点为 ，连接交 轴于点 ，求 【答案】(1) ;(2) .12已知焦点为 的的抛物线 ： （ ）与圆心在坐标原点 ，半径为 的 交于 ， 两点，且， ，其中 ， ， 均为正实数.（1）求抛物线 及 的方程；（2）设点 为劣弧 上任意一点，过 作 的切线交抛物线 于 ， 两点，过 ，的直线 ， 均于抛物线 相切，且两直线交于点 ，求点 的轨迹方程.【答案】(1)答案见解 析 ；(2) .同理 ： .13已知双曲线 的左、右顶点分别为 ，直线 与双曲线交于 ，直线 交21xy12,A:lxp,MN2A直线 于点 .1ANQ（ 1）求点 的轨迹方程；（2）若点 的轨迹与矩形 的四条边都相
7、切，探究矩形 对角线长是否为定值，若是，求出ABCDABCD此值；若不是，说明理由.【答案】(1) ;(2)见解析.【解析】（1）设点 ， ， ，其中 .,Qxy0,Mpy0,Ny0，即 .14已知动点 与 ， 两点连线的斜率之积为 ，点 的轨迹为曲线 ，过点 的直线交曲线 于 ， 两点. （1）求曲线 的方程；（2）若直线 ， 的斜率分别为 ， ，试判 断 是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由.【答案】 （1） （ 2）【解析】试题分析：（1）第（1）问 ，利用动点 与 ， 两点连线的斜率之积为 求出曲线C 的方程. (2)第（2）问，先设直线 的斜率为 ，利用韦达定理计算出 ，
8、再利用 计算出 的值.试题解析：（1）设点 ，由题知， ，整理，得曲线 ： ，即为所求.（2）由题意，知直线 的斜率不为 0，故可设 ： ， ， ，设直线 的斜率为 ，由题知， ， ，由 ，消去 ，得 ，所以 ，所以 .又因为点 在椭圆上，所以 ，所以 ，为定值. 18如图，已知椭圆 的长轴长 AB，C 为圆 上非 轴上的一动点，线段 CA,CB 与椭圆M 分别交于点 D,E 线段 EA 与 DB 相交于点 F.（1）当点 C 在 轴的正半轴上时，求 与 的面积和；（2）求证：直线 AF 与 BF 的斜率之积为定值，并求点 F 的轨迹方程.【答案】(1) ;(2) .19已知曲线 ，点 在曲线
9、 上，直线 与曲线 相交于 两点，若满足.（1）求线段 中点的轨迹方程；（2）当 两点在 轴的同一侧时，求线段 长度的取值范围.【答案】(1) 或 ；(2) .【解析】（1）当直线 的斜率为 时，中点的轨迹为 （ ）当 直线 斜率存在且 不为 时，设直线 的方程为 ，设 为弦 的中点20如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，过直线 ： 左侧的动点 作 于点 ， 的角平分线交 轴于点 ，且 ，记动点 的轨迹为曲线 .（1）求曲线 的方程；（2）过点 作直线 交曲线 于 两点，设 ，若 ，求 的取值范围. 【答案】(1) ；(2) .21已知圆 上一动点 ，过点 作 轴，垂足为 点， 中点为 （1）
10、当 在圆 上运动时，求点 的轨迹 的方程；（）过点 的直线 与 交于 两点，当 时，求线段 的垂直平分线方程【答案】(1) ；(2) 或 【解析】分析：（1）要求点 的轨迹 的方程，可设点 的坐标为 ，由条件过点 作 轴，垂足为点， 中点为 ，可写出点 A 的坐标 。因为点 在圆 上，故可将点 的坐标代入圆 的方程 ，可得点 的轨迹 。中点横坐标 ，斜率为故 的垂直平分线方程为：当 时，同理可得 的垂直平分线方程为：所以 的垂直平分线方程为： 或 22已知点 ，圆 ： ，点 是圆 上一动点，线段 的垂直平分线与 交于点 .（1）求点 的轨迹 的方程；（2）曲线 与 轴交于点 ， ，直线 过点
11、且垂直于 轴，点 在直线 上，点 在曲线 上，若 ，试判断直线 与曲线 的交点的个数.【答案】(1) .(2) 与曲线 只有一个交点.23已知 中，角 、 、 所对的边分别是 、 、 ，且 ， ，有以下四个命题：满足条件的 不可能是直角三角形；当 时， 的周长为 15；当时，若 为 的内心，则 的面积为 ； 的面积的最大值为 40其中正确命题有_（填写出所有正确命题的序号） 【答案】【解析】对于， ， 即 ，设 ，由 ，可得 ，满足条件的可能是直角三角形，故错误；对于， ， ， ，可得 ，由正弦定理可得 ，可得 ，由24具有公共 轴的两个直角坐标平面 和 所成的二面角 轴 大小为 ，已知在 内的曲线yy45的方程是 ，曲线 在平面 内射影的方程 ，则 的值是_C24xC2px【答案】 2【解析】结合题中所给的示意图可知：曲线 的方程是 ，则 ，C24yx2OF作 平面 于点 ，由于平面 和 所成的二面角 轴 大小为 ，FF45故 ，即曲线 在平面 内射影所形成的抛物线的焦距为 ， 1故 .故答案为： 225在平面直角在平面直角坐标系 中，已知圆 ，圆 ，动点 在直线上的两点 之间，过点 分别作圆 的切线，切点为 ，若满足 ，则线段 的长度为_【答案】 . 因为 EF 为直线截圆所得的弦，所以 故答案为： .
