1、宿州市十三所重点中学 2018-2019 学年度第一学期期末质量检测高二数学（理科）试题注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 若 、 是两个简单命题， “ 且 ”的是真命题，则必有pqpqA 假 假 B 真 真 C 真 假 D
2、 假 真pqpq2. 已知 ，给出命题：“ ，若 ，则 ”，则它的逆命题、,xyR,xyR20xy0xy否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )A0 个 B1 个 C2 个 D3 个3抛物线 的焦点坐标为（ ）28xyA B C D)1,()0,16(),0()1,0(4 “ ”是“ ”的（ ）323sinA充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件5.过两点 的直线的倾斜角为 ，则 （ ）4,2,3y45yA B C D1326.直三棱柱 中，若 ，则 （ ）1CAcbBa, 1ABA B C Dcbacbacbacba7.椭圆 的焦距是 2，则 的值是（ ）218x
3、ymmA9 B12 或 4 C9 或 7 D208.下列双曲线中离心率为 的是（ ）62A B C214xy214xyD6209.在正方体 中， 、 分别为棱1CAMN和棱 的中点，则异面直线 AC 与 MN 所成的角BC1为 ( )A30 B45 C60 D9010. 若动圆与圆 外切，又与直线 相切，则动圆圆心的轨迹方程是1)3(2yx 02x（ ）A. B. C. D.y12x262y6211.如图是某个几何体的三视图，小正方形的边长为 1，则该几何体的体积是（ ）A.8 B.4 C. D.343812. 已知椭圆 ，圆 在第一象限有公共点 ，设圆 在2:1xMya22:6CxyaPC点
4、 处的切线斜率为 ，椭圆 在点 处的切线斜率为 ，则 的取值范围为（ P1kMP2k1）A. B C D(1,6)(,5)(3,6)(3,5)二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.全称命题“ ”的否定是_(0,2)cos2xx14.直线 与圆 相交弦的长度为_3yy615.已知直三棱柱 , , ,其外接球体积为1CBA32,BC41A_16.下列说法：（1）设 是正实数，则 是 的充要条件；ba, “1ba“logl22ba（2）对于实数 ，如果 ，则 ；c,c（3） 是直线 与直线 相互垂直“m013)2(myx 03)2()(ymx的充分不必要条件；（4）等比数
5、列 的公比为 ，则 且 是对任意 ,都有 的充naq“1a“qNnna1分不必要条件；其中正确的命题有_三、解答题 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. （本小题满分 10 分）设命题 ：函数 的定义域为 ；命题 ：p)1lg()2axxf Rq函数 在 上单调递减12)(axf ,(（）命题 为真命题时，求 的值;p（）若命题“ ”为真，“ ”为假，求实数 的取值范围；qqpa18.（本小题满分 12 分）在四棱锥 P-ABCD 中，底面ABCD 是菱形，AC 与 BD 交于点 O,PA 底面ABCD，E 为 PB 的中点求证：（） 平面 ；PD/ACE（） B19
6、.（本小题满分 12 分）已知抛物线的方程是 ，直线 交抛物线于 两点xy42lBA,（）若弦 AB 的中点为 ，求弦 AB 的直线方程;)3,(（）设 ，若 ，求证 AB 过定点.),(21yxBA1220. （本小题满分 12 分）已知椭圆 的右焦点为 F（1，0），且)0(1:2bayxC通径长为 3， 为坐标原点O（）求椭圆 C 的标准方程；（）过右焦点 的直线与椭圆 交于 M、N 两点（N 点在 x 轴上方），且 ,求FCFNM2直线 MN 的方程.21.（本小题满分 12 分）如图 1，在直角梯形 ABCD 中， ADBC， ， 将ABD 沿BCADBD 折起，折起后点 A 的位置
7、为点 P，得到几何体 PBCD，如图 2 所示，且平面 PBD平面 BCD， （）证明：PB平面 PCD；（）若 AD=2，当 PC 和平面 PBD 所成角的正切值为 时，试判断线段 BD 上是否存2在点 E，使二面角 DPC E 平面角的余弦值为 ？若存在，请确定其位置；若不存在，74请说明理由.22.（本小题满分 12 分）已知双曲线 C 的一个焦点为 ，且过点)05-(，. 如图， 为双曲线的左、右焦)25(Q， 21,F点，动点 （ ）在 的右支),(0yxPC上，且 的平分线与 轴、 轴分别21xy交于点 （ ） 、 ，设),(mMN过点 的直线 与 交于 两点. NF1lCED,（
8、）求 C 的标准方程；（）求 的面积最大值E2图 2图 1参考答案1.【答案】B2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】D7.【答案】C8.【答案】B9.【答案】C10.【答案】 A 11.【答案】 D 【解析】本题考查了由三视图还原直观图.由三视图还原后的图形如下：即为三棱锥 D-ABC 的体积 384213ABCDV12.【答案】D【考查角度】本题以椭圆为背景，考查圆和椭圆的相关知识，考查化简求解能力，考查数学运算素养.【解题分析】因为椭圆 和圆 在第一象限有公共点 ，2:1xMya22:6CxyaP所以 ，解得 .设椭圆 和圆 在第2261a2352:122:
9、6Cxya一象限的公共点 ，则椭圆 在点 处的切线方程为 ，圆 在点0(,)PxyMP021xyaC处的切线方程为 ，所以 ， ，所以206a01ky02，故选 D.21(3,5)ka13. 【答案】 002cos),2(xx14.【答案】 3515.【答案】264【分析】已知三角形 为等腰三角形，由余弦定理求得 ，再有正弦定理ABC120ABC,（ 为三角形 外接圆半径）， ,又因为 ，设RBC243sinAB2R41球心为 ， ,所以球的体积为O2)(12A 36)(34OA16.【答案】 （3）（4）【解析】本题考查了命题和充分必要条件的判定，属于简单题对于（1） 求得 ，所以 是 的充
10、“logl“22ba0a“1ba“logl22ba分不必要条件，所以错误对于（2） 不成立，所以错误0c对于（3）直线 与直线 相互垂直，13)(myx 03)()2(ymx或 ，所以正确1m对于（4） 且 可以推出对任意 ,都有 ，反之不成立，如0“1a“qNnna1数列 ，所以正确2,8617.解：（1）若 p 真：即函数 f（ x）的定义域为 R x2+ax+10 对 x R 恒成立，= a2-40，解得：-2 a2，4 分(2)若 q 真，则 a1，命题“ p q”为真，“ p q”为假 p 真 q 假或 p 假 q 真 或 ，解得：-12a2 a1 或 a210 分18.【解析】底面
11、 ABCD 是菱形， O 是 AC 的中点，又因为 E 是 PB 的中点， OE PD，又因为 OE 平面 ACE， PD 不在平面 PCD 上, PD平面 ACE；6 分（2）证明：底面 ABCD 是菱形， BD AC， PA平面 ABCD， PA BD， BD平面 ACE， BD AE12 分19.【解答】解：（1）因为抛物线的方程为 ，设 ， ，则有 x1 x2 ， ， ，因为弦 AB 的中点为(3,3)，两式相减得 ，所以 ，经验证符合题意324121yxy所以直线 l 的方程为 y-3= （ x-3）,即 y= x+1 ；32（2）当 AB 斜率存在时，设 AB 方程为 y=kx+b
12、 代入抛物线方程：ky2-4y+4b=0，,，kbky3,12421AB 方程为 y=kx-3k=k(x-3)，恒过定点（3,0）.当 AB 斜率不存在时， ，则 x1=x2=3，过点(3,0).21y综上， AB 恒过定点（3,0）.20.【解答】（）由题意得 ，所以 ，所以椭圆的标准方2231cba1,3,cba程是 4 分 1342yx（）由题意得，直线 MN 的方程斜率必须存在，设直线 MN 的方程为 ，代入椭1myx圆方程得 ，则096)34(2my 22346,3416-myNM，所以 ， ，故直线 MN 的FNM2021-25方程为 （12 分）05yx21.【考查角度】本题以图
13、形折叠为背景，考查空间线面垂直的判定和性质定理、面面垂直的性质、空间中的线面角、二面角的平面角等知识，考查学生空间想象能力、运算求解能力，考查数学运算、直观想象和数学建模素养.【解题分析】 解：（1）证明：平面 PBD平面 BCD，平面 PBD平面 BCD=BD，又 BDDC，DC平面 PBD， （2 分）PB平面 PBD，DCPB，又折叠前后均有 PDPB，DCPD=D，PB平面 PDC （4 分）（2）由（1）知 DC平面 PBD，即 为线面角， CPD（5 分）所以 ，解得 ， 2tanPCD2（6 分）又 ， ，ABDBA令 即 ，解得 ，即 （7 分）a42a2a如图所示，以点 D
14、为坐标原点， 为 x 轴正方向， 为 y 轴正方向，过点 D 垂直平面BDCBCD 为 Z 轴正方向，建立空间直角坐标系，所以 ， ， ，)0(， )2(，P)0(，C设 ，tEt则 ， ， ， （8 分）)2(C， )2(D，)02(E， t设平面 PCD 的法向量为 m ， 则 ,1zyxPmC即 ，解得 m （9 分）0211zxy),0(设平面 PCE 的法向量为 n ，则 ，),(2zyxCEn即 ，解得 n （10 分）022ytx )2,(t 74)2(8,cos2tnm整理得 ，解得 ， （不合题意，舍去） （11022tt tt分）即 E 为 BD 的四等分点，且 . （12
15、 分）DBE4122.本题以直线与双曲线的位置关系为背景，考查抛物线的标准方程、双曲线的标准方程、直线与双曲线的位置关系、韦达定理、弦长公式及二次函数的性质等知识，考查转化化归思想和运算求解能力，考查数学运算、数学抽象和数学建模素养.【解题分析】解：（1）知双曲线的左、右焦点分别为 ，)05-(F1， )(2，又双曲线过点 )25(Q， 4)()(2-)0()F2a 2221 解得双曲线 C 的标准方程为 . （4 分）142yx（或者待定系数法解题相应步骤给分）（2）由 F1（ ，0） ，F 2（ ，0） ，得直线 PF1方程为 y= （x+ ） ，直线 PF2方程为 y= （x ） ，即直
16、线 PF1方程为 y0x（x 0+ ）y+ y0=0，直线 PF2方程为 y0x（x 0 ）y y0=0，由点 M（m，0）在F 1PF2的平分线上，得 = ，由 m ，y 01，以及 y02= x021，解得 x02 ，y 02+（x 0+ ） 2= x02+2 x0+4=（ x0+2） 2， = ，解得 m= ，即（7 分）),4(0xM直线 PM 的方程为：y （x ） ，令 x=0，得 y= = ，故点 N（0， ） ， ，0051)(ykl 由 ，消去 x 得（5y 024）y 2+10y0y+1=0，=100y 024（5y 024）=80y 02+160，设 D（x 1，y 1） ，E（x 2，y 2） ，则 y1+y2= ，y 1y2= ， （9 分）|y 1y 2|= = ，由 y01，y 1+y2= 0，y 1y2= 0，y 10，y 20，F 2DE 的面积 S= = |F1F2|y1y 2|= 2 ，设 5y024= t，t1，则F 2DE 的面积 S=4 =4 =4 ，t=1 时，即 P 为（2 ，1）时，F 2DE 的面积最大值为 4 （12 分）
