1、第二章 2.3 双曲线,2.3.2 双曲线的几何性质,1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等). 2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程. 3.掌握标准方程中 a，b，c，e 间的关系. 4.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一 双曲线的范围、对称性,观察下面的图形：(1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么是否与椭圆一样有范围限制？,答案,有限制，因为 1，即x2a2，所以xa或xa.,思考,(2)是不是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是不是中心对称图形？对称中心是哪个点
2、？,答案,关于x轴、y轴和原点都是对称的，x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心.,梳理,(1)双曲线 (a0，b0)中要求x ，yR.双曲线 (a0，b0)中要求x ，y . (2)双曲线的对称轴为 ，对称中心为 .,(，aa，),R,(，aa，),x轴、y轴,原点,思考,知识点二 双曲线的顶点,(1)双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，你认为对吗？为什么？,答案,不对，双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点，只有在标准形式下，坐标轴才是双曲线的对称轴，此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点.,思考,(2)双曲线是否只有两个顶点？双曲线的顶点和焦点能在虚轴上吗？,答案
3、,是，只有两个顶点.双曲线的顶点和焦点都不能在虚轴上，只能在实轴上.,梳理,双曲线 (a0，b0)的顶点坐标为 ， ；双曲线(a0，b0)的顶点坐标为 ， .,(a,0),(a,0),(0，a),(0，a),思考1,知识点三 渐近线与离心率,能否和椭圆一样，用a，b表示双曲线的离心率？,答案,思考2,离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？,答案,双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大.,梳理,(1)渐近线：直线 叫做双曲线 (a0，b0)的渐近线. (2)离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 ，叫做双曲线的离心率，用e表示(e1)
4、.,(3)双曲线的几何性质见下表：,题型探究,类型一 已知双曲线的标准方程求其简单几何性质,例1 求双曲线nx2my2mn(m0，n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.,解答,引申探究 将本例改为“求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程”，请给出解答.,解答,因此顶点坐标为(3,0)，(3,0)，,实轴长是2a6，虚轴长是2b4，,反思与感悟,由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值. (3)由c2a2b2求出c的值，从而写出双曲线
5、的几何性质.,跟踪训练1 求双曲线9y216x2144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.,解答,由此可知，实半轴长a4，虚半轴长b3，,类型二 由双曲线的几何性质确定标准方程,例2 求下列双曲线的标准方程.,解答,解得20或7(舍去)，,则c210k，b2c2a2k.,解答,反思与感悟,(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式. (2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧 焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为 (a0，b0). 焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为 (a0，b0). 与双曲线 共焦点的
6、双曲线方程可设为 (0，b2a2).,与双曲线 具有相同渐近线的双曲线方程可设为 (0). 渐近线为ykx的双曲线方程可设为k2x2y2(0). 渐近线为axby0的双曲线方程可设为a2x2b2y2(0).,跟踪训练2 (1)求与双曲线 有共同的渐近线，且经过点M(3，2)的双曲线的标准方程；,解答,点M(3，2)在双曲线上，,a23b2. ,解答,又直线AB的方程为bxayab0，,解组成的方程组，得a23，b21.,类型三 共轭双曲线与等轴双曲线,命题角度1 共轭双曲线 例3 已知双曲线E与双曲线 共渐近线，且过点A(2 ，3).若双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M的
7、标准方程.,解答,又双曲线M与双曲线E互为共轭双曲线，,反思与感悟,跟踪训练3 与双曲线 有共同渐近线，且过点(3,2 )的双曲 线的共轭双曲线的方程为_.,答案,解析,命题角度2 等轴双曲线 例4 已知等轴双曲线的焦点在x轴上，且焦点到渐近线的距离是 ，求此双曲线的方程.,解答,设双曲线方程为x2y2a2(a0)，则它的渐近线方程为yx，,反思与感悟,(1)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. (2)等轴双曲线的性质：渐近线方程为yx；渐近线互相垂直；离心率e . (3)等轴双曲线的特征是ab，等轴双曲线的方程可以设为x2y2(0).当0时，双曲线的焦点在x轴上；当0时，双曲线的焦点在y轴
8、上.,跟踪训练4 若双曲线 (a0，b0)的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率e为,答案,解析,类型四 直线与双曲线的位置关系,命题角度1 直线与双曲线位置关系的判定与交点问题 例5 已知直线ykx1与双曲线x2y24. (1)若直线与双曲线没有公共点，求k的取值范围；,解答,得(1k2)x22kx50. ,(1)直线与双曲线没有公共点，则式方程无解.,(2)若直线与双曲线有两个公共点，求k的取值范围；,解答,直线与双曲线有两个公共点，则式方程有两个不相等的根.,(3)若直线与双曲线只有一个公共点，求k的值.,解答,直线与双曲线只有一个公共点，则式方程只有一解. 当1k20，即k1时，式方程
9、只有一解； 当1k20时，应满足4k220(1k2)0，,研究直线与双曲线的位置关系，一般通过解直线方程 与双曲线方程所组成的方程组 的解的个数进行判断. 代入得(b2a2k2)x22a2mkxa2m2a2b20. 当b2a2k20，即k 时，直线与双曲线渐近线平行时，直线与双曲线交于一点. 当b2a2k20，即k 时， (2a2mk)24(b2a2k2)(a2m2a2b2). 0直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交； 0直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切； 0直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离.,反思与感悟,通过几何图形也可判定直线与双曲线的位置关系，一般通过直线与渐近线
10、的位置关系进行判断(图中为渐近线倾斜角，为直线l倾斜角). 如图，时，直线l只与双曲线一支相交，交点只有一个； 如图，时，直线l只与双曲线一支相交，交点有两个； 如图，时，直线l与双曲线两支都相交，交点有两个.,跟踪训练5 (1)设双曲线C： y21(a0)与直线l：xy1相交于A，B两个不同的点. 求双曲线的离心率e的取值范围；,解答,得(1a2)x22a2x2a20， (*),设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知P(0,1)，,又x1，x2是方程(*)的两个根，,解答,(2)已知过点P(1,1)的直线l与双曲线x2 1只有一个公共点，试探究直线l的斜率k的取值.,解答,设直线l的斜率
11、为k，则l：yk(x1)1， 代入双曲线方程得 (4k2)x2(2k2k2)xk22k50. 若4k20，即k2，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点； 若4k20，则(2k2k2)24(4k2)(k22k5)0，解得k . 综上可得，直线l的斜率k的取值为 或2.,命题角度2 直线与双曲线的相交弦及弦长问题 例6 (1)求直线yx1被双曲线x2 1截得的弦长；,化简得3x22x50.,解答,(2)求过定点(0,1)的直线被双曲线x2 1截得的弦中点的轨迹方程.,解答,方法一 该直线的斜率不存在时，直线与双曲线无交点，故可设直线的方程为ykx1，它被双曲线截得的弦AB对应的
12、中点为P(x，y).,设此方程的解为x1，x2，则4k20， 4k220(4k2)0，16k280，即|k| ，k2，,得4x2y2y0(y4或y1).,方法二 设弦的两个端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦的中点为P(x，y)，,，得4(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，当直线AB的斜率k0时，,整理得4x2y2y0(y1). 当k0时，y1y21，x1x20， x0，y1，也满足4x2y2y0. 综上所述，弦中点的轨迹方程为4x2y2y0(y4或y1).,反思与感悟,(2)涉及弦长的中点问题，常用“点差法”，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，同时还应充
13、分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系.,跟踪训练6 已知双曲线的方程为2x2y22. (1)过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1，P2两点，当点P(2,1)是弦P1P2的中点时，求此直线方程；,解答,若直线斜率不存在，即P1P2垂直于x轴，则由双曲线的对称性知弦P1P2的中点在x轴上，不可能是点P(2,1)，所以直线l斜率存在. 故可设直线l的方程为y1k(x2)， 即ykx2k1.,得(2k2)x22k(2k1)x4k24k30. 设直线l与双曲线的交点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2).,又点P(2,1)是弦P1P2的中点，,当k4时，4k2(2k1)24(2k2)(4k24k
14、3)5650.,综上可知，所求直线的方程为4xy70.,(2)过定点Q(1,1)能否作直线l，使l与此双曲线相交于Q1，Q2两点，且Q是弦Q1Q2的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.,解答,假设这样的直线l存在，设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，,2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0， 2(x1x2)(y1y2)0. 若直线Q1Q2垂直于x轴， 则线段Q1Q2中点不可能是点Q(1,1)，,直线Q1Q2的方程为y12(x1)，即y2x1.,即2x24x30，16240. 直线l与双曲线没有公共点，因此这样的直线不存在.,当堂训练,1.设双曲线 的渐近线方程为
15、3x2y0，则a的值为 A.4 B.3 C.2 D.1,答案,解析,1,2,3,4,5,2.已知双曲线 (a0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于,答案,解析,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,3.等轴双曲线的一个焦点是F1(6,0)，则其标准方程为,答案,解析,等轴双曲线的焦点为(6,0)，c6， 2a236，a218.,1,2,3,4,5,4.若双曲线 的渐近线方程为y x，则双曲线的焦点坐 标是_.,答案,解析,5.设双曲线 (a0，b0)的虚轴长为2，焦距为2 ，则双曲线的 渐近线方程为_.,1,2,3,4,5,答案,解析,规律与方法,双曲线的综合问题常涉及其离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力. (1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解. (2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解.,本课结束,
