1、,10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理,【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同( ) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事( ) (3)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成( ),(4)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的( ) 【答案】 (1) (2) (3) (4),1用0，1，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A243
2、 B252 C261 D279 【解析】 由分步乘法计数原理知，用0，1，9十个数字组成三位数(可用重复数字)的个数为91010900，组成没有重复数字的三位数的个数为998648，则组成有重复数字的三位数的个数为900648252.故选B. 【答案】 B,2(教材改编)已知集合M1，2，3，N4，5，6，7，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是( ) A12 B8 C6 D4 【解析】 分两步：第一步先确定横坐标，有3种情况，第二步再确定纵坐标，有2种情况，因此第一、二象限内不同点的个数是326，故选C.
3、 【答案】 C,3从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( ) A24 B18 C12 D6,【解析】 分两类情况讨论：第1类，奇偶奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有2种选择，共有32212(个)奇数；第2类，偶奇奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有1种选择，共有3216(个)奇数根据分类加法计数原理，知共有12618(个)奇数 【答案】 B,45位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有_种 【解析】 每位同学都有2种报名方法，因此，可分五步安排5名同学报名，由分步乘法计数原理，知总的报名方法共
4、2222232(种) 【答案】 32,题型一 分类加法计数原理的应用 【例1】 高三一班有学生50人，其中男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，其中男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，其中男生35人，女生20人 (1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从高三一班、二班男生中或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？,【解析】 (1)完成这件事有三类方法： 第一类，从高三一班任选一名学生共有50种选法； 第二类，从高三二班任选一名学生共有60种选法； 第三类，从高三三班任选一名学生共有55种选法 根据分类加法计数
5、原理，任选一名学生任学生会主席共有506055165(种)不同的选法,(2)完成这件事有三类方法： 第一类，从高三一班男生中任选一名共有30种选法； 第二类，从高三二班男生中任选一名共有30种选法； 第三类，从高三三班女生中任选一名共有20种选法 根据分类加法计数原理，共有30302080(种)不同的选法,【思维升华】 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,跟踪训练1 定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2
6、m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数若m4，则不同的“规范01数列”共有( ) A18个 B16个 C14个 D12个,题型二 分步乘法计数原理的应用 【例2】 (1)(2016全国甲卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ),A24 B18 C12 D9 (2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有_种不同的报名方法,【解析】 (1)从E点到F点的最短路径有6种，从F点到G点的最短路径有3种，所以从E点到G点的最短路径为6318(种)，故选B. (2)每
7、项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有654120(种) 【答案】 (1)B (2)120,【思维升华】 (1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事 (2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成,跟踪训练2 (1)用0，1，2，3，4，5可组成无重复数字的三位数的个数为_ (2)(2018石家庄质检)五名学
8、生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为_五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有_种,【解析】 (1)可分三步给百、十、个位放数字，第一步：百位数写有5种放法；第二步：十位数字有5种放法；第三步：个位数字有4种放法，根据分步乘法计数原理，三位数个数为554100. (2)五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性 【答案】 (1)100 (2)45 54,题型三 两个计数原理的综合应用
9、 【例3】 (1)如图，矩形的对角线把矩形分成A，B，C，D四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有_种不同的涂色方法,(2)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是_,【解析】 (1)区域A有5处涂色方法；区域B有4种涂色方法；区域C的涂色方法可分2类：若C与A涂同色，区域D有4种涂色方法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色方法，区域D也有3种涂色方法所以共有5445433260(种)涂色方法 (2)第1类，对于每一条棱，都可以与
10、两个侧面均成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有21224(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个所以正方体中“正交线面对”共有241236(个) 【答案】 (1)260 (2)36,【思维升华】 利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 (1)弄清完成一件事是做什么 (2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类 (3)弄清分步、分类的标准是什么 (4)利用两个计数原理求解,跟踪训练3 (2018济南质检)如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为_,
