1、第一章 4 不等式的证明,第1课时 比较法,学习目标 1.理解比较法证明不等式的理论依据. 2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤. 3.体会比较法所体现的转化与化归的数学思想方法,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 求差比较法,思考 求差比较法的理论依据是什么？,答案 abab0；abab0；abab0.,梳理 求差比较法 (1)求差比较法的理论依据：ab0ab；ab0 ；ab0ab. (2)求差比较法解题的一般步骤：作差；变形；判断符号；下结论 其中变形是解题的关键，变形的目的是为了能够直接判定 ，常用的方法：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等,ab,与0的大
2、小,知识点二 求商比较法,思考1 对于两个正数a，b，若 1，能够判断a，b的大小吗？,答案 能，根据不等式的性质知， 1ab.,思考2 类比求差比较法，请谈谈求商比较法,答案 对于正数a，b， 1ab； 1ab； 1ab.,梳理 (1)求商比较法：若a0，b0，要证明ab，只要证明 ；要 证明ba，只要证明 .这种证明不等式的方法，叫作求商比较法 (2)求商比较法的理论依据是不等式的基本性质： b0，若 ，则ab；若 ，则ab； b0，若 ，则ab；若 ，则ab. (3)求商比较法解题的一般步骤：判定a，b符号；求商；变形整理；判定与1的大小；得出结论,题型探究,类型一 求差比较法证明不等式
3、,例1 已知正数a，b，c成等比数列，求证：a2b2c2(abc)2.,证明,证明 因为正数a，b，c成等比数列，,又(a2b2c2)(abc)2 a2b2c2a2b2c22ab2ac2bc 2ab4b22bc2b(a2bc),所以a2b2c2(abc)2.,反思与感悟 求差比较法的关键是作差后的变形，一般通过分解因式或将差式转化为积商式，以便与0比较大小,证明,类型二 求商比较法证明不等式,例2 已知a0，b0，求证：aabb,证明,证明 因为aabb0， 0，所以 当ab时，显然有 1；,所以由指数函数的单调性可知， 1；,所以由指数函数的单调性可知， 1. 综上可知，对任意正数a，b，都
4、有aabb,引申探究 1.若a0，b0，求证： abba.,证明,证明 因为abba0， 0， 所以 所以当ab时，显然有 1；,综上可知，对任意a0，b0，都有abba .,2.当a0，b0时，比较aabb与abba的大小.,解答,解 由例2和探究1知，aabb abba.,反思与感悟 求商比较法证明不等式的一般步骤 (1)作商：将不等式左右两边的式子进行作商. (2)变形：化简商式到最简形式. (3)判断：判断商与1的大小关系，也就是判断商大于1或小于1或等于1. (4)得出结论.,又a2b22ab，,证明,当且仅当ab0时取等号，,类型三 比较法的应用,a，b，m都是正数，且ab， ba
5、0，b(bm)0，,证明,反思与感悟 比较法理论上便于理解，实用时便于操作，故应用比较广泛.,跟踪训练3 已知b，m1，m2都是正数，ab，m1m2，,证明,因为b0，m10，m20，所以(bm1)(bm2)0. 又ab，m1m2，所以ab0，m2m10， 从而(ab)(m2m1)0.,达标检测,1,2,4,3,5,解析 x232x(x1)220，故正确； 取ab1，则a5b52，a3b2a2b32，故不正确； a2b22(ab1)(a1)2(b1)20，故正确.,1.已知不等式：x232x(xR)；a5b5a3b2a2b3(a，bR)；a2b22(ab1).其中正确的个数为 A.0 B.1
6、C.2 D.3,答案,解析,1,2,4,3,5,A.a1 B.a0 C.a0 D.a1或a0,答案,解析,1,2,4,3,5,wu.,3.若x，yR，记wx23xy，u4xyy2，则 A.wu B.wu C.wu D.无法确定,答案,解析,1,2,4,3,5,解析 a，b都是正数， P0，Q0，,A.PQ B.PQ C.PQ D.PQ,答案,解析,P2Q20，PQ.,1,2,4,3,5,原不等式成立. 方法二 ab0，a2b20. 左边0，右边0.,证明,原不等式成立.,规律与方法,1.求差比较法证明不等式的技巧 (1)求差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少. (2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法. (3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断差式的符号，常将差式变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的差式是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号.,2.求商比较法适用证明的不等式的特点 适合欲证的不等式两端是乘积形式、幂指数的不等式或某些不同底数对数值的大小比较.,本课结束,
