1、2019 年高三二轮复习讲练测之讲案【新课标版文科数学】专题五 立体几何考向一 三视图与几何体的面积、体积【 高考改编回顾基础】1 【数学文化与三视图】 【2018 年全国卷文】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）A B C D【答案】A【解析】观擦图形图可知，俯视图为故答案为 A.2. 【三视图与空间几何体的体积】 【2018 年浙江卷改编】某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积（单位：cm 3）是 .【答案】6
2、【解析】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为 2，底面为直角梯形，上下底分别为 1，2，梯形的高为 2，因此几何体的体积为 .3. 【空间几何体的体积】【2018 年全国卷 II 文】已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 互相垂直， 与圆锥底面所成角为 ，若 的面积为 ，则该圆锥的体积为_【答案】8【解析】如下图所示，又 ，解得 ，所以 ，所以该圆锥的体积为 .4. 【三视图与空间几何体的结构特征】 【2018 年北京文改编】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为【答案】3【解析】由三视图可得四棱锥 ，在四棱锥 中， ，由勾股定理可知： ，则在四棱锥中，直角三角形有：共三
3、个，故选 C. 【趁热打铁】 【2018 届湖北省稳派教育高三上第二次联考】已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 8163 B. 1683 C. 26 D. 43【答案】A【解析】由三视图可得，该几何体为右侧的一个半圆锥和左侧的一个三棱锥拼接而成.由三视图中的数据可得其体积为 .选 A.【方法总结全面提升】1.三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高.2.空间几何体的面积有侧面积和表面积之分,表面积就是全面积,是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积,在计算时要
4、注意区分“是求侧面积还是求表面积”.多面体的表面积就是其所有面的面积之和,旋转体的表面积除了球之外,都是其侧面积和底面面积之和.3. 等体积法也称等积转化法或等积变形法,它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,多用来解决与锥体有关的问题,特别是三棱锥的体积.【规范示例避免陷阱】【典例】 【2016全国卷改编】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是 ，则它的表面积是_ 283【规范解答】该几何体为一个球去掉八分之一，设球的半径为 r，则 r3 ，解得 r2，故该几78 43 283何体的表面积为 42 2 2 217.78 34【反思提高】
5、在由空间几何体的三视图确定几何体的形状时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后 根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置,特别注意由各视图中观察者与几何体的相对位置与图中的虚实线来确定几何体的形状,最后根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系,确定轮廓线的各个方向的尺寸.【误区警示】1.求几何体体积问题,可以多角度、多方位地考虑问题.在求三棱锥体积的过程中,等体积转化法是常用的方法,转换底面的原则是使其高易求,常把底面放在已知几何体的某一面上.2.求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规则几何体变为规则几何体,易于求解.考向二 球与多面体的切
6、接问题【高考改编回顾基础】1.【球与多面体的切接、面积与体积】 【2017 天津，文 11】已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 .【答案】 92 2 【球与多面体的切接、面积与体积】 【2017 课标 1，文 16】已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的直径若平面 SCA平面 SCB，SA=AC ，SB=BC，三棱锥 S-ABC 的体积为 9，则球 O的表面积为_【答案】 36【解析】取 SC的中点 ，连接 ,AOB因为所以因为平面 SAC平面 B所以 O平面设 r 所以 ，所以球的表面积为 2436r3.
7、【球与旋转体的切接、面积与体积】 【2017 江苏，6】 如图,在圆柱 12,O内有 一个球 O,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱 12,O的体积为 1V,球 O的体积为 2V,则 的值是 .OO1O2(第 6 题)【答案】 32 【命题预测看准方向】球与多面体的切、接问题中的有关几何体的表面积、体积计算，往往与三视图结合考查，一般为选择题或填空题，难度以低、中档为主.【典例分析提升能力】【例 1【四川省泸州市 2019 届高三第一次诊断】已知三棱锥 的所有顶点都在同一球面上，底面是正三角形且和球心 在同一平面内，若此三棱锥的最大体积为 ，则球 的表面积等于_【答案】【解析】与球心 在
8、同一平面内， 是 的外心，设球半径为 ，则 的边长 ，当 到 所在面的距离为球的半径 时，体积最大，球表面积为 ，故答案为 .【趁热打铁】已知 ,SABC是球 O上的点 ， ABC, ， 2BC,则球 O的表面积等于_ 【答案】 4【例 2】 【2018 届江西省莲塘一中、临川二中高三上学期第一次 联考】已知三棱锥 SABC的各顶点在一个表面积为 4的球面上，球心 O在 AB上， S平面 ABC， 2,则三棱锥 的体积为_.【答案】 13【解析】如图所示,设球的半径为 r,则 24r， 解得 r=1.OC 2+OA2=2=AC2，OCOA.球心 O 在 AB 上，SO平面 ABC，则三棱锥的底
9、面积： ，三棱锥的体积： .故答案为： 13.【趁热打铁】 【2018 届贵州省遵义航天高级中学高三第五次模拟】如图 1，在平面 ABCD 中，AB=AD=CD=1，BD= 2, BDC,将其对角线 BD 折成四面体 ABCD,如图 2，使平面 ABD平面BCD,若四面体 A的顶点在同一球面上，则该球的体积为_【答案】 823【解析】因为 BD 中点 O 到 A距离为 2 ，O 到 C距离为 62 ，所以，体积为 【例 3】有人由“追求”联想到“锥、球”并构造了一道名为追求 2017的题目，请你解答此题：球 O的球心为点 O，球 O 内切于底面半径为 3、高为 3 的圆锥，三棱锥 VABC 内
10、接于球 O，已知OAOB，ACBC，则三棱锥 VABC 的体积的最大值为_【答案】 21 【解析】圆锥的母线长为 39 =2 ，设球 O 的半径为 r，则 32r ，解得 r=1OAOB，OA=OB=1，AB= 2，ACBC，C 在以 AB 为直径的圆上，平面 OAB平面 ABC，O 到平面 ABC 的距离为 2，故 V 到平面 ABC 的最大距离为 1又 C 到 AB 的最大距离为 2，三棱锥 VABC 的体积的最大值为 = 21故答案为： 21学_科网【趁热打铁】在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1内有一个体积为 V 的球.若 ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,则 V 的最大值是
11、( )A.4 B. C.6 D.【答案】B【解析】由题意知要使球的体积最大,则它与直三棱柱的若干个面相切.设球的半径为 R,易得ABC 的内切圆的半径为 =2,则 R2.因为 2R3,即 R ,所以 Vmax= ,故选 B.【方法总结全面提升】1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径球的内接长方体、正四棱柱等问题的关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长.2.涉及
12、球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系3.球心与截面圆心的连线垂直圆面，其距离为 d，常利用直角三角形建立量的关系，R 2d 2r 2.【规范示例避免陷阱】【典例】如图，直三棱柱 ABC A1B1C1的六个顶点都在半径为 1 的半球面上， AB AC，侧面 BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面 ABB1A1的面积为( ) A2 B1 C. D.222【规范解答】基本法 根据题中给定条件寻求所求侧面边长与其他量之间关系由题意知，球心在侧面 BCC1B1的中心 O 上， BC 为截面圆的直径
13、， BAC90， ABC 的外接圆圆心 N位于 BC 的中点，同理 A1B1C1的外心 M 是 B1C1的中点设正方形 BCC1B1边长为 x，Rt OMC1中，OM ， MC1 ， OC1 R1( R 为球的半径)，x2 x2 2 21，(x2) (x2)即 x ，则 AB AC1，2 S 矩形 ABB1A1 1 .2 2速解法 根据大圆的内接正方形寻求球半径与正方形边长的关系正方形 BCC1B1所在的是大圆面， B1C2， B1C22 BC2， BC ，2在 Rt ABC 中， AB AC1， SABB1A1 1 .2 2【反思提升】球心与截面圆心的连线垂直圆面，其距离为 d，常利用直角三
14、角形建立量的 关系，22Rdr .【误区警示】(1)涉及球与棱柱、棱锥的相切、接问题时, 一般先过球心及多面体中的特殊点(如接、切点或线)作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程组求解.(2)若球面上四点 P,A,B,C 构成的三条线段 PA,PB,PC 两两互相垂直,且 一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,根据 求解.考向三 空间中的平行与垂直【高考改编回顾基础】1 【两线垂直的判断】 【2017全国卷改编】如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三
15、角形，ADCD，则 AC与 BD 的位置关系是_【答案】垂直【解析】取 AC 的中点 O，连接 DO， BO.因为 AD CD，所以 AC DO.又由于 ABC 是正三角形，所以 AC BO.从而 AC平面 DOB，故 AC BD.2. 【两线平行的判断】 【2017全国卷改编】如图，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则直线 AB 与平面 MNQ 的位置关系是_ 【答案】平行【解析】因为 M， Q 分别为对应棱的中点，所以有 AB MQ，又 AB 不在平面 MNQ 内，所以 AB平面 MNQ.3. 【数学文化与几何体的结构特征】 【2018 年上海卷】 九章算术中，称底面
16、为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）A4 B8 C12 D16【答案】D4. 【平行垂直关系的证明】 【2018 年北京文】如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAD平面 ABCD， PA PD， PA=PD， E， F 分别为 AD， PB 的中点.（）求证： PE BC；（）求证：平面 PAB平面 PCD；（）求证： EF平面 PCD.【答案】 （）见解析；（）见解析；（）见解析【解析】（） ，且 为 的中点， .底面 为矩形， ， .（）底面
17、为矩形， .平面 平面 ， 平面 . .又 , 平面 ，平面 平面 .（）如图，取 中点 ，连接 . 分别为 和 的中点， ，且 .四边形 为矩形，且 为 的中点， ， ，且 ，四边形 为平行四边形， .又 平面 ， 平面 ， 平面 .【命题预测看准方向】高考对空间点、线、面位置关系的考查主要有两种形式:一是对命题真假的判断,通常以选择题、填空题的形式考查,难度不大,也不是高考的热点;二是在解答题中考查平行、垂直关系的证明,常以柱体、锥体为载体,难度中档偏难,是高考的热点.预计随着高考对能力要求的不断加强,今后对空间中平行、垂直关系及体积中的探索性问题的考查会逐渐升温.【典例分析提升能力】【例
18、 1】 【2017 江苏，15】 如图,在三棱锥 A-BCD 中,ABAD, BCBD, 平面 ABD平面 BCD, 点 E,F(E 与 A,D不重合)分别在棱 AD,BD 上,且 EFAD. 求证：（1）EF平面 ABC；（2）ADAC.(第 15 题)ADBCEF【答案】 （1）见解析（2）见解析【趁热打铁】已知四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，ABCD 是正方形，E 是 PA 的中点()求证：PC平面 EBD；()求证：平面 PBC平面 PCD.【答案】()见解析 ()见解析【解析】试题分析：（1）连 BD，与 AC交于 O，利用三角形的中位线，可得线线平行，从而可得线面平行；
19、（2）证明 ，即可证得平面 PB平面 CD试题解析：()连接 AC 交 BD 与 O，连接 EO, E、O 分别为 PA、AC 的中点，EOPC，PC平面 EBD，EO平面 EBDPC平面 EBD()PD平面 ABCD, BC平面 ABCD，PDBC，ABCD 为正方形，BCCD，PDCDD, PD、CD平面 PCDBC平面 PCD，又BC平面 PBC，平面 PBC平面 PCD.【例 2】在如图所示的几何体中,四边形 CDEF 为正方形,四边形 ABCD 为等腰梯形,ABCD,AC= 3,AB=2BC=2,ACFB. (1)求证:AC平面 FBC;(2)求四面体 F-BCD 的体积;(3)线段
20、 AC 上是否存在点 M,使 EA平面 FDM?证明你的结论. 【答案】(1)证明：见解析.(2) (3)线段 AC 上存在点 M,使得 EA平面 FDM 成立 .【解析】(1)证明：在ABC 中,因为 AC= ,AB=2,BC=1,所以 ACBC.又因为 ACFB,BCFB=B,所以 AC平面 FBC.(2)解：因为 AC平面 FBC,所以 ACFC.因为 CDFC,ACCD=C,所以 FC平面 ABCD.在等腰梯形 ABCD 中,可得 CB=DC=1,所以 FC=1.所以BCD 的面积为 S=所以四面体 F-BCD 的体积为 VF-BCD= SFC=(3)解：线段 AC 上存在点 M,且
21、M 为 AC 中点时,有 EA平面 FDM.证明如下:连接 CE,与 DF 交于点 N,取 AC 的中点 M,连接 MN,如图 .因为四边形 CDEF 为正方形,所以 N 为 CE 的中点 .所以 EA MN.因为 MN平面 FDM,EA平面 FDM,所以 EA平面 FDM.所以线段 AC 上存在点 M,使得 EA平面 FDM 成立 . 【趁热打铁】如图,在直角梯形 ABCD 中,ABCD,ADAB,CD=2AB=4,AD= 2,E 为 CD 的中点,将BCE 沿 BE折起,使得 CODE,其中点 O 在线段 DE 内.(1)求证:CO平面 ABED;(2)求CEO(记为 )多大时,三棱锥 C
22、-AOE 的体积最大?最大值为多少? 【答案】(1)证明：见解析.(2)当 = 时,三棱锥 C-AOE 的体积最大,最大值为 .【解析】(1)证明：在直角梯形 ABCD 中,CD=2AB,E 为 CD 的中点,则 AB=DE.又 ABDE,ADAB,知 BECD.在四棱锥 C-ABED 中,BEDE,BECE,CEDE=E,CE,DE平面 CDE,则 BE平面 CDE.因为 CO平面 CDE,所以 BECO.又 CODE,且 BE,DE 是平面 ABED 内两条相交直线,故 CO平面 ABED.(2)解：由(1)知 CO平面 ABED,知三棱锥 C-AOE 的体积 V= SAOE OC= OE
23、ADOC.由直角梯形 ABCD 中,CD=2AB=4,AD= ,CE=2,得三棱锥 C-AOE 中,OE=CEcos =2cos ,OC=CEsin =2sin ,V= sin 2 ,当且仅当 sin 2=1, ,即 = 时取等号(此时 OE= DE,O 落在线段 DE 内).故当 = 时,三棱锥 C-AOE 的体积最大,最大值为 .【方法总结全面提升】1.要注意线线平行(垂直)、线面平行(垂直) 与面面平行(垂直)的相互转化.在解决线线平行、线面平行问题时,若题目中已出现了中点,可考虑在图形中再取中点,构成中位线进行证明.2.要证明线面平行,先在平面内找一条直线与已知直线平行,或找一个经过已
24、知直线与已知平面相交的平面,找出交线,证明两线平行.3.要证明线线平行,可考虑公理 4 或转化为证明线面平行.4.要证明线面垂直可转化为证明线线垂直,应用线面垂直的判定定理与性质定理进行转化.5判定面面平行的四个方法:(1)利用定义,即判断两个平面没有公共点;(2)利用面面平行的判定定理;(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行;(4)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面 ,则这两个平面平行.6.面面垂直的证明方法:(1)用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线 ;(2)用面面垂直的定义,即证明两个平面所成的二面角是直二面角 .7.从解题方法上说,由于线线
25、平行(垂直) 、线面平行(垂直) 、面面平行( 垂直)之间可以相互转化,因此整个解题过程始终沿着线线平行(垂直 )、线面平行(垂直) 、面面平行( 垂直)的转化途径进行.8.对命题条件的探索的三种途径:(1)先猜想后证明,即先察与尝试给出条件再证明;(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明充分性 ;(3)将几何问题转化为代数问题,探索出命题成立的条 件.9.对命题结论的探索方法:从条件出发,探索出要求的结论是什么,对于探索结论是否存在 ,求解时常假设结论存在,再寻找与条件相容或者矛盾的结论.【规范示例避免陷阱】【典例】 【2017 课标 II，文 18】如图，四棱锥 PABC
26、D中，侧面 PA为等边三角形且垂直于底面ABCD, （1）证明：直线 /平面 PAD;（2）若 P面积为 27，求四棱锥 BC的体积.【规范解答】【反思提升】 （1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.（4）证明面面垂直，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直.（5）先利用线面平行说明点面距为定值，计算点面距时，如直接求不方便，应首先想到转化，如平行转化、对称转化、比例转化等，找到方便求值时再计算，可以减少运算量，提高准确度，求点到平面的距离有时能直接作出就直接求出，不方便直接求出的看成三棱锥的高，利用等体积法求出【误区警示】在立体几何类解答题中，对于证明与计算过程中得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写
