1、第 2 讲 抛体运动一、平抛运动1.定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动.2.性质：平抛运动是加速度为 g 的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线.3.研究方法：运动的合成与分解(1)水平方向：匀速直线运动；(2)竖直方向：自由落体运动.4.基本规律(如图 1)图 1(1)位移关系(2)速度关系自测 1 一个物体以初速度 v0 水平抛出，落地时速度为 v，则运动时间为(不计空气阻力)( )A. B. C. D.v v0g v v0g v2 v20g v2 v20g答案 C自测 2 (多选)某人向放在水平地面上正前方的小桶中水平抛球，结果球划着一条弧线飞到小桶的前方，如
2、图 2 所示.不计空气阻力，为了能把小球抛进小桶中，则下次再水平抛球时，可能做出的调整为( )图 2A.减小初速度，抛出点高度不变B.增大初速度，抛出点高度不变C.初速度大小不变，降低抛出点高度D.初速度大小不变，提高抛出点高度答案 AC二、斜抛运动1.定义：将物体以初速度 v0 斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动.2.性质：斜抛运动是加速度为 g 的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线.3.研究方法：运动的合成与分解(1)水平方向：匀速直线运动；(2)竖直方向：匀变速直线运动.4.基本规律(以斜上抛运动为例，如图 3 所示)图 3(1)水平方向：v 0xv 0cos，F 合 x0；
3、(2)竖直方向：v 0yv 0sin，F 合 ymg .自测 3 有 A、B 两小球，B 的质量为 A 的两倍，现将它们以相同速率沿同一方向抛出，不计空气阻力，如图 4 所示，为 A 的运动轨迹，则 B 的运动轨迹是( )图 4A.B.C. D.答案 A解析 物体做斜抛运动的轨迹只与初速度的大小和方向有关，而与物体的质量无关，A、B两小球的运动轨迹相同，故 A 项正确.命题点一 平抛运动基本规律的应用1.飞行时间由 t 知，时间取决于下落高度 h，与初速度 v0 无关.2hg2.水平射程xv 0tv 0 ，即水平射程由初速度 v0 和下落高度 h 共同决定，与其他因素无关.2hg3.落地速度v
4、 ，以 表示落地速度与水平正方向的夹角，有 tan ，vx2 vy2 v20 2ghvyvx 2ghv0落地速度与初速度 v0 和下落高度 h 有关.4.速度改变量因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度 g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔 t 内的速度改变量 vg t 是相同的，方向恒为竖直向下，如图 5 所示.图 55.两个重要推论(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图 6 所示，即 xB .xA2图 6推导：Error! xBxA2(2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有 tan2tan.推导：Error! tan 2tan类型
5、 1 单个物体的平抛运动例 1 (2017全国卷15) 发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响).速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网 .其原因是( )A.速度较小的球下降相同距离所用的时间较多B.速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大C.速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少D.速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大答案 C解析 由题意知，两个乒乓球均做平抛运动，则根据 h gt2 及 vy22gh 可知，乒乓球的12运动时间、下降的高度及竖直方向速度的大小均与水平速度大小无关，故选项 A、B、D均错误；由发出点到球网的水平位移
6、相同时，速度较大的球运动时间短，在竖直方向下落的距离较小，可以越过球网，故 C 正确.变式 1 (多选)(2017江西南昌 3 月模拟)如图 7 所示，空间有一底面处于水平地面上的正方体框架 ABCDA1B1C1D1，从顶点 A 沿不同方向平抛一小球(可视为质点). 关于小球的运动，下列说法正确的是( )图 7A.落点在 A1B1C1D1 内的小球，落在 C1 点时平抛的初速度最大B.落点在 B1D1 上的小球，平抛初速度的最小值与最大值之比是 1 2C.运动轨迹与 AC1 相交的小球，在交点处的速度方向都相同D.运动轨迹与 A1C 相交的小球，在交点处的速度方向都相同答案 ABC解析 依据平
7、抛运动规律有 h gt2，得飞行时间 t ，水平位移 xv 0 ，落点在12 2hg 2hgA1B1C1D1 内的小球，h 相同，而水平位移 xAC1 最大，则落在 C1 点时平抛的初速度最大，A项正确.落点在 B1D1 上的小球，由几何关系可知最大水平位移 xmaxL( L 为正方体的棱长)，最小水平位移 xmin L，据 v0x ，可知平抛运动初速度的最小值与最大值之比22 g2hvminv maxx minx max1 ，B 项正确.凡运动轨迹与 AC1 相交的小球，位移偏转角 相2同，设速度偏转角为 ，由平抛运动规律有 tan2tan，故 相同，则运动轨迹与 AC1 相交的小球，在交点
8、处的速度方向都相同，C 项正确，同理可知 D 项错误.例 2 ( 2017全 国 卷 17)如 图 8， 半 圆 形 光 滑 轨 道 固 定 在 水 平 地 面 上 ， 半 圆 的 直 径 与 地 面 垂直 ， 一小物块以速度 v 从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时，对应的轨道半径为(重力加速度大小为 g)( )图 8A. B. C. D.v216g v28g v24g v22g答案 B解析 小物块由最低点到最高点的过程，由机械能守恒定律得 mv22mgr mv12，12 12小物块做平抛运动时，落地点到轨道下端的距离 xv 1t
9、，t2 ，联立解得，x2 ，rg v2gr 4r2由数学知识可知，当 r 时，x 最大，故选项 B 正确.v28g变式 2 如图 9 所示为足球球门，球门宽为 L.一个球员在球门中心正前方距离球门 s 处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中 P 点). 球员顶球点的高度为 h，足球做平抛运动(足球可看成质点)，则( )图 9A.足球位移的大小 xL24 s2B.足球初速度的大小 v0g2hL24 s2C.足球末速度的大小 vg2hL24 s2 4ghD.足球初速度的方向与球门线夹角的正切值 tanL2s答案 B解析 足球位移大小为 x ， A 错误；根据平抛运动规律有：L22 s2 h2
10、 L24 s2 h2h gt2， v 0t，解得 v0 ，B 正确；根据动能定理 mgh mv2 mv0212 L24 s2 g2hL24 s2 12 12可 得 v ， C 错 误 ； 足 球 初 速 度 方 向 与 球 门 线 夹 角 的 正 切 值 tan v20 2ghg2hL24 s2 2gh ，D 错误 .sL2 2sL类型 2 多个物体的平抛运动1.若两物体同时从同一高度(或同一点 )抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动.2.若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由物体的水平分运动和竖直高度差决定.3.若两物体从同一
11、点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动.4.两条平抛运动轨迹的相交处只是两物体的可能相遇处，两物体必须同时到达此处才会相遇.例 3 如图 10 所示，A、B 两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间 t 在空中相遇.若两球的抛出速度都变为原来的 2 倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为( )图 10A.t B. tC. D.22 t2 t4答案 C解析 设 A、B 两小球的抛出点间的水平距离为 L，分别以水平速度 v1、v 2 抛出，经过时间 t 的水平位移分别为 x1、x 2，根据平抛运动规律有 x1v 1t，x 2v 2t，又 x1x 2L，则
12、 t；若两球的抛出速度都变为原来的 2 倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为 tLv1 v2 ，故选项 C 正确.L2v1 v2 t2变式 3 在水平路面上做匀速直线运动的小车上有一固定的竖直杆，车上的三个水平支架上有三个完全相同的小球 A、B、C ，它们离地面的高度分别为 3h、2h 和 h，当小车遇到障碍物 P 时，立即停下来，三个小球同时从支架上水平抛出，先后落到水平路面上，如图 11所示，不计空气阻力，则下列说法正确的是( )图 11A.三个小球落地时间差与车速有关B.三个小球落地点的间隔距离 L1L 2C.三个小球落地点的间隔距离 L1L2答案 C解析 落地时间只与下落的高度有关，故
13、A 项错误；三个小球在竖直方向上做自由落体运动，由公式 t 可得下落时间之比为 tAt Bt C 1，水平位移之比2hg 3 2xAx Bx C 1，则 L1L 2( )( 1) ，故 L1vB，A、B 两球分别打到高墙 a、b 两点，则有(不计空气阻力)( )A.a 点在 b 点的上方B.a 点在 b 点的下方C.A 球打到 a 点的速率一定大于 B 球打到 b 点的速率D.A 球打到 a 点的速率一定小于 B 球打到 b 点的速率答案 A解析 平抛运动的水平位移 xvt ，速度越大，时间越短，再由 h gt2 可得时间短的竖直12位移小，高度高，所以 a 点在 b 点的上方，选项 A 正确
14、，选项 B 错误；a 的水平速度比 b大，b 的竖直速度比 a 大，无法比较合速度 v 的大小，选项 C、D 错误.vx2 vy23.(2018福建福州调研)从距地面 h 高度水平抛出一小球，落地时速度方向与水平方向的夹角为 ，不计空气阻力，重力加速度为 g，下列结论中正确的是 ( )A.小球初速度为 tan2ghB.小球着地速度大小为2ghsinC.若小球初速度减为原来的一半，则平抛运动的时间变为原来的两倍D.若小球初速度减为原来的一半，则落地时速度方向与水平方向的夹角变为 2答案 B4.(2017广东佛山二模)2016 年起，我国空军出动 “战神”轰-6K 等战机赴南海战斗巡航.如图 2，
15、某次战备投弹训练，飞机在水平方向做加速直线运动的过程中投下一颗模拟弹.飞机飞行高度为 h，重力加速度为 g，不计空气阻力，则以下说法正确的是( )图 2A.在飞行员看来模拟弹做平抛运动B.模拟弹下落到海平面的时间为2hgC.在飞行员看来模拟弹做自由落体运动D.若战斗机做加速向下的俯冲运动，此时飞行员一定处于失重状态答案 B解析 模拟弹相对于海面做平抛运动，其水平方向做匀速直线运动，因飞机在水平方向做加速运动，所以在飞行员看来模拟弹做的既不是平抛运动，也不是自由落体运动，A、C项错误.模拟弹在竖直方向做自由落体运动，h gt2，得 t ，B 项正确.“加速”是指12 2hg其有一定的加速度， “
16、向下”是指其竖直向下的分速度不为 0，但其加速度未必有竖直向下的分量，则飞行员不一定处于失重状态，D 项错误.5.如图 3 所示，窗子上、下沿间的高度 H1.6m，墙的厚度 d0.4m，某人在离墙壁距离L1.4m、距窗子上沿 h0.2m 处的 P 点，将可视为质点的小物件以 v 的速度水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，空气阻力不计，取 g10m/s 2.则 v 的取值范围是( )图 3A.v7 m/s B.v2.3 m/sC.3 m/sv7 m/s D.2.3 m/sv3 m/s答案 C6.如图 4 所示，小球由倾角为 45的斜坡底端 P 点正上方某一位置 Q 处自由下落，下落至P
17、 点的时间为 t1，若小球从同一点 Q 处以速度 v0 水平向左抛出，恰好垂直撞在斜坡上，运动时间为 t2，不计空气阻力，则 t1t 2 等于( )图 4A.12 B. 13C.1 D.12 3答案 B7.(2017河南百校联盟 4 月模拟) 如图 5 所示，斜面体 ABC 固定在水平地面上，斜面的高AB 为 m，倾角为 37，且 D 是斜面的中点，在 A 点和 D 点分别以相同的初速度水平2抛出一个小球，结果两个小球恰能落在地面上的同一点，则落地点到 C 点的水平距离为( )图 5A. mB. mC. mD. m34 23 22 43答案 D解析 设斜面的高 AB 为 h，落地点到 C 点的
18、距离为 x，则由几何关系及平抛运动规律有 ，解得 x m，选项 D 正确.htan x2hgh2tan xhg 438.一阶梯如图 6 所示，其中每级台阶的高度和宽度都是 0.4m，一小球以水平速度 v 飞出，g 取 10m/s2，空气阻力不计，欲打在第四台阶上，则 v 的取值范围是 ( )图 6A. m/shbhc，由 t ，得 tatbtc，又 vgt ，则知 vavbvc，A、B 项错误.速度变化2hg快慢由加速度决定，因为 aaa ba cg，则知三个小球飞行过程中速度变化快慢相同，C项错误.由题给条件可确定小球落在左边斜面上的瞬时速度不可能垂直于左边斜面，而对右边斜面可假设小球初速度
19、为 v0 时，其落到斜面上的瞬时速度 v 与斜面垂直，将 v 沿水平方向和竖直方向分解，则 vxv 0，v ygt ，且需满足 tan ( 为右侧斜面倾角) ，由几何vxvy v0gt关系可知 tan ，则 v0 gt，而竖直位移 y gt2，水平位移 xv 0t gt2，可以看出12 12 12 12xy，而由题图可知这一关系不可能存在，则假设不能成立，D 项正确.11.(2018贵州兴义质检)某新式可调火炮，水平射出的炮弹可视为平抛运动.如图 9，目标是一个剖面为 90的扇形山崖 OAB，半径为 R(R 为已知)，重力加速度为 g.图 9(1)若以初速度 v0(v0 为已知)射出，恰好垂直
20、打在圆弧的中点 C，求炮弹到达 C 点所用的时间；(2)若在同一高地 P 先后以不同速度射出两发炮弹，击中 A 点的炮弹运行的时间是击中 B 点的两倍，O、A、B、P 在同一竖直平面内，求高地 P 离 A 的高度.答案 (1) (2) Rv0g 43解析 (1)设炮弹的质量为 m，炮弹做平抛运动，其恰好垂直打在圆弧的中点 C 时，如图，由几何关系可知，其水平分速度和竖直分速度相等，即 vyv xv 0又 vygt得 tv0g(2)设高地 P 离 A 的高度为 h，则有h g(2t0)212hR gt0212解得 h R4312.如图 10 所示，倾角为 37的粗糙斜面的底端有一质量 m1kg
21、的凹形小滑块，小滑块与斜面间的动摩擦因数 0.25.现小滑块以某一初速度 v 从斜面底端上滑，同时在斜面正上方有一小球以速度 v0 水平抛出，经过 0.4s，小球恰好垂直斜面落入凹槽，此时，小滑块还在上滑过程中.空气阻力不计，已知 sin370.6，cos370.8，g 取 10m/s2，求：图 10(1)小球水平抛出的速度 v0 的大小；(2)小滑块的初速度 v 的大小.答案 (1)3 m/s (2)5.35 m/s解析 (1)设小球落入凹槽时竖直速度为 vy，则vygt 100.4m/s4 m/sv0v ytan373m/s.(2)小球落入凹槽时的水平位移 xv 0t30.4m1.2m则小滑块的位移为 s m1.5m1.2cos37小滑块上滑时，由牛顿第二定律有 mgsin37mgcos37 ma解得 a8m/s 2根据公式 svt at212解得 v5.35m/s.
