1、活页作业 (五) 组合与组合数公式1以下四个命题，属于组合问题的是( )A从 3 个不同的小球中，取出 2 个排成一列B老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C在电视节目中，主持人从 100 位幸运观众中选出 2 名幸运之星D从 13 位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地解析：只有从 100位幸运观众中选出 2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题答案：C2某校一年级有 5 个班，二年级有 7 个班，三年级有 4 个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，共需进行比赛的场数是( )AC C C BC C C25 27 24 252724CA A A DC25 27 24 216解析：单循环
2、赛无顺序，是组合问题，所以共需进行比赛的场数为 C C C .25 27 24答案：A3若 C C nN *，则 n( )2n 320 n 220A5 B7C5 或 7 D5 或 6解析：由题意知，Error!或Error!解得 n5 或 n7.答案：C4C C C C 的值等于_03 14 25 1821解析：原式C C C C C C C C C C C04 14 25 1821 15 25 1821 1721 1821 18227315.422答案：73155若 C C C 345，则 nm_.m 1n mn m 1n解析：由题意知：Error!由组合数公式得Error!解得：n62，m
3、27.nm622735.答案：356证明 nC (k1)C k Ckn k 1n kn证明：因为(k1)C k C ( k1) k 1n knkn！k 1！ n k 1！ n！k！ n k！ k n！k！ n k 1！ n！k！ n k！ n kn！k！ n k！k n！k！ n k！ nn！ kn！ kn！k！ n k！ nC ，所以 nC (k1)C kC .nn！k！ n k！ kn kn k 1n kn7下列有关排列数、组合数计算正确的是( )C mnAmnn！(n2)( n1)A Amn m 2nC C C C C23 24 25 2100 3101C C 是一个常数n 22 1 2
4、n 1A BC D解析：错，A C m！；正确；错，应为 C 1，正确，由组合数定义mn mn 3101可得Error!，由 (1)得 n2，由(2)得 n2，所以 n2.12所以 C C C C 2.所以正确n 22 1 2n 1 03 3答案：D8若 C C C 11，则 m、n 的值分别为( )mn 2 m 1n 2 m 2n35Am5，n2 Bm5，n5Cm2，n5 Dm 4，n4解析：由 C C 1 1得 C C ，(m1) (m2)n2 即m 1n 2 m 2n m 1n 2 m 2nn2m1，又 C C 3 5，C C 35，解得 m2，n5.mn 2 m 1n 2 m2m 3
5、m 12 3答案：C9组合数 C (nr1，n，rZ)恒等于( )rnA. C B(n1)(r1)Cr 1n 1 r 1n r 1nCnrC D. Cr 1nnr r 1n解析： C Cnr r 1n nr n 1！r 1！ n 1 r 1！ nn 1！rr 1！ n r！ n！r！ n r！ rn答案：D10在 n 个红球及 n 个白球，总计 2n 个球中取出 m(mn)个球的方法数是 C ，该方m2n法数我们还可以用如下方法得到：只取 m 个红球；取 m 1 个红球，1 个白球；取 m2 个红球，2 个白球；，于是可得到组合数公式：C C C C C C C C C (mn) ，按如上方法
6、化简下式得到的m2n mn 0n m 1n 1n rnm rn 0nmn结果是：C C C C C C C C _(其中 mn)0n 0m 1n 1m rn rm mn m解析：因为 C C ，所以原式kn n knC C C C C C C C C (或 C )0nm 1nm 1m rnm rm mn 0m mn m nn m答案：C (或 C )mn m nn m11解不等式 C C 2C Cn 5n 3n 2 2n 2 1n 2解：因为 C C ，n 5n 5n所以原不等式可化为 C (C C )(C C )，即 C C C ，5n 3n 2 2n 2 2n 2 1n 2 5n 3n 1
7、 2n 1也就是 C C ，5n 3n所以 ，即(n3)(n4)20，解得 n8 或 n1.n！5！ n 5！ n！3！ n 3！又 nN *，n5.所以 n9 且 nN *.12规定 C ，其中 xR，m 是正整数，且 C 1，这是组合数mxxx 1x m 1m！ 0xC (n，m 是正整数，且 mn )的一种推广mn(1)求 C 的值5 15(2)组合数的两个性质：C C ；mn n mnC C C 是否都能推广到 C (xR，m 是正整数 )的情形；若能推广，mn m 1n mn 1 mx请写出推广的形式并给出证明，若不能，则说明理由解：(1)C 5 15(15)(16)(17)( 18)( 19)/5!C 11628.519(2)性质不能推广，例如当 x 时， 有意义，但 无意义；2性质能推广，它的推广形式是 C C C ，xR，m 为正整数mx m 1x mx 1证明：当 m1 时，有 C C x 1C ；1x 0x 1x 1当 m2 时，C C mx m 1xxx 1x m 1m！xx 1x 2x m 2m 1！ C .xx 1x m 2m 1！ (x m 1m 1) x 1xx 1x m 2m！ mx 1综上，性质的推广得证
