（浙江专用）2019高考数学二轮复习精准提分 第三篇 渗透数学思想，提升学科素养课件（打包4套）.zip

第三篇 渗透数学思想 ， 提升学科素养数学 教学的最终目标，是要让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界 .数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现 .二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起到引领和导向作用 .(一 )函数与方程思想、数形结合思想函数与方程思想栏目索引数形结合思想数学 素养专练一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题 .一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解 .函数与方程思想1.设 00，则 f′ (x)＝ ex－ 1，∴ f(x)在 (0，＋ ∞ )上是增函数，且 f(0)＝ 0， f(x)0，∴ ex－ 1x，即 ea－ 1a.又 y＝ ax(0ae，从而 ea－ 1aae.答案解析(－ ∞ ， 0)解析 ∵ 函数 g(x)的图象关于直线 x＝ 2对称，∴ g(0)＝ g(4)＝ 1.又 g′ (x)－ g(x)0恒成立，当 x＝ 2时，不等式不成立， ∴ x≠ 2.解得 x2或 x0, 设 Sn＝ f(n)，则 f(n)为二次函数，又由 f(7)＝ f(17)知， f(n)的图象开口向上，关于直线 n＝ 12对称，故 Sn取最小值时 n的值为 12.12答案解析8.设等差数列 {an}的前 n项和为 Sn，若 S4＝－ 2， S6＝ 3， 则 nSn的最小值 为 ____.又 ∵ n是正整数，当 n＝ 3时， nSn＝－ 9， n＝ 4时 ，nSn＝－ 8，故当 n＝ 3时， nSn取得最小值－ 9.－ 9答案解析三、函数与方程思想在解析几何中的应用解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率、几何量等经常要用到方程 (组 )的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答 .A.2 B.4 C.6 D.8√答案解析解析 不妨设抛物线 C： y2＝ 2px(p0)，圆的方程设为 x2＋ y2＝ r2(r0)，如图，联立 ①②③ ，解得 p＝ 4(负值舍去 )，即 C的焦点到准线的距离为 p＝ 4，故选 B.√ 答案解析解析 因为 ∠ PAQ＝ 60°， |AP|＝ |AQ|，所以 |AP|＝ |AQ|＝ |PQ|，设 |AQ|＝ 2R，即 a2b2＝ 3R2(a2＋ b2)，在 △ OQA中，由余弦定理得，|OA|2＝ |OQ|2＋ |QA|2－ 2|OQ||QA|cos 60°所以双曲线 C的离心率为答案解析直线 AB， EF的方程分别为 x＋ 2y＝ 2， y＝ kx(k0).如图，设 D(x0， kx0)， E(x1， kx1)， F(x2， kx2)，其中 x1x2，且 x1， x2满足方程 (1＋ 4k2)x2＝ 4，由点 D在 AB上知 x0＋ 2kx0＝ 2，化简得 24k2－ 25k＋ 6＝ 0，12.已知直线 l： y＝ k(x＋ 1)与抛物线 C： y2＝ 4x交于不同的两点 A， B，且以 AB为直径的圆过抛物线 C的焦点 F，则 k＝ __________.答案解析解析 点 F的坐标为 (1,0)，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1＝ k(x1＋ 1)， y2＝ k(x2＋ 1)，当 k＝ 0时， l与 C只有一个交点，不合题意，因此 k≠ 0.将 y＝ k(x＋ 1)代入 y2＝ 4x，消去 y，得 k2x2＋ 2(k2－ 2)x＋ k2＝ 0， ①依题意知， x1， x2是 ① 的不相等的两个实根，由以 AB为直径的圆过 F，得 AF⊥ BF， 即 kAF·kBF＝－ 1，②所以 x1x2＋ k2(x1＋ 1)(x2＋ 1)－ (x1＋ x2)＋ 1＝ 0，所以 (1＋ k2)x1x2＋ (k2－ 1)(x1＋ x2)＋ 1＋ k2＝ 0， ③数形结合思想一、数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用讨论方程的解 (或函数零点 )的问题一般可以构造两个函数，将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数 .构造函数时，要先对方程进行变形，尽量构造两个比较熟悉的函数 .第三篇 渗透数学思想 ， 提升学科素养(三 )求准提速 ， 秒杀选择、填空题选择、填空题具有小巧灵活、结构简单、运算量不大等特点 .在高考中，选择、填空题的题量较大，共同特点是不管过程，只要结果 .因此解答这类题目除直接法外，还要掌握一些解题的基本策略，避免 “ 小题大做 ”. 解题基本解答策略是：充分利用题目提供的信息作出判断 .先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，提高解题速度 .方法一 直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，结合有关性质或结论，有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题 .1.已知全集 U＝ {1,2,3,4,5}，若集合 A＝ {1,3,5}， B＝ {3,4,5}，则(∁UA)∩ (∁UB)等于 A.∅ B.{2}C.{1,3} D.{2,5}答案解析√解析 由题意得 ∁UA＝ {2,4}， ∁UB＝ {1,2}，∴ (∁UA)∩ (∁UB)＝ {2}.故选 B.答案解析√答案解析解析 因为 a， b均为正实数，答案解析解析 设点 P(x0， y0)，由抛物线定义得 x0－ (－ 1)＝ 3，所以 x0＝ 2.方法二 特值、特例法当题目已知条件中含有某些不确定的量，可将题中变化的不定量选取符合条件的恰当特殊情形 (特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等 )进行处理，从而得出探求的结论 .为保证答案的正确性，在利用此方法时，可以多取几个特例 .令 x＝ 1可得 y＝ sin 1＋ 10，选项 B错误 .故 选 A.√答案解析6.已知函数 f(x)＝ ln x－ ax2＋ 1，若存在实数 x1， x2∈ [1，＋ ∞ )，且 x1－ x2≥ 1，使得 f(x1)＝ f(x2)成立，则实数 a的取值范围为 √答案解析解析 当 a＝ 0时， f(x)＝ ln x＋ 1，若 f(x1)＝ f(x2)，则 x1＝ x2，显然不成立，排除 C， D；排除 A，故选 B.7.如图，在直三棱柱 ABC－ A1B1C1的侧棱 A1A和 B1B上各有一动点 P， Q满足A1P＝ BQ，过 P， Q， C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为 答案解析A.3∶ 1 B.2∶ 1C.4∶ 1 D. ∶ 1√解析 将 P， Q置于特殊位置： P→ A1， Q→ B，此时仍满足条件 A1P＝ BQ，则 有 VP－ ABC＝ ＝ .剩余部分的体积为 ， 所以截后两部分的体积比为 2∶ 1.8.如图，在三棱锥 O－ ABC中，三条棱 OA， OB， OC两两垂直，且 OAOBOC，分别经过三条棱 OA， OB， OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为 S1， S2， S3，则 S1， S2， S3的大小关系为__________.解析 要满足各个截面使分得的两个三棱锥体积相等 ，则 需满足与截面对应的交点 E， F， G分别为中点 ，故 可以将三条棱长分别取为 OA＝ 6， OB＝ 4， OC＝ 2，如 图，S30)恒过定点 (－ 1,0)，在 同一直角坐标系中作出函数 y＝ f(x)的图象和直线 y＝ kx＋ k(k0)的图象，如图所示 ，因为 两个函数图象恰好有三个不同的交点，√答案解析√答案解析10.设 s， t是不相等的两个正数，且 s＋ sln t＝ t＋ tln s，则 s＋ t－ st的取值范围为 A.(－ ∞ ， 1) B.(－ ∞ ， 0)C.(0，＋ ∞ ) D.(1，＋ ∞ )当 x∈ (0,1)时， f′ (x)0，函数 f(x)为增函数 ；当 x∈ (1，＋ ∞ )时， f′ (x)t，则 00，所以 s＋ t－ st1.故选 D.答案解析(0,1)关于 x的方程 f(x)＝ m恰有四个互不相等的实根 x1， x2， x3， x4，即函数 y＝ f(x)的图象与直线 y＝ m有四个不同的交点 ，则 00时，由对数函数的性质知， log2x3＝－ log2x4， x3x4＝ 1，当 x－ x20， (－ x1)＋ (－ x2)＝ 2，所以 02 017e2x＋ 1(其中 e为自然对数的底数 )的解集为__________.答案解析(0，＋ ∞ )因此不等式 F(x)2 017的解集为 (0，＋ ∞ ).16.如图，已知球 O的球面上有四点 A， B， C， D， DA⊥平面 ABC， AB⊥ BC， DA＝ AB＝ BC＝ 则球 O的体积为______.答案解析解析 如图，以 DA， AB， BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球 O的半径为 R，则正方体的体对角线长即为球 O的直径 .数学素养专练1.原命题 p ： “ 设 a， b， c∈ R，若 ab，则 ac2bc2” 以及它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.4√解析 由当 c＝ 0时， ac2＝ bc2＝ 0，得原命题为假命题 ，则 其逆否命题为假命题 ，原 命题的逆命题为 “ 设 a， b， c∈ R，若 ac2bc2，则 ab” ，为真命题，则原命题的否命题为真命题 ，故 选 C.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案解析第三篇 渗透数学思想 ， 提升学科素养(二 )分类与整合思想、转化与化归思想分类与整合思想栏目索引转化与化归思想数学 素养专练一、概念、定理分类整合概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列 {an}的前 n项和公式等，然后分别对每类问题进行解决 .解决此问题可以分解为三个步骤：分类转化、依次求解、汇总结论 .汇总结论就是对分类讨论的结果进行整合 .分类与整合思想1.若一条直线过点 (5,2)，且在 x轴， y轴上截距相等，则这条直线的方程为 A.x＋ y－ 7＝ 0B.2x－ 5y＝ 0C.x＋ y－ 7＝ 0或 2x－ 5y＝ 0D.x＋ y＋ 7＝ 0或 2y－ 5x＝ 0答案解析√解析 设该直线在 x轴， y轴上的截距均为 a，即 2x－ 5y＝ 0；当 a≠ 0时，则直线方程为 x＋ y－ 7＝ 0.2.已知 Sn为数列 {an}的前 n项和，且 Sn＝ 2an－ 2，则 S5－ S4的值为 A.8 B.10C.16 D.32答案解析√解析 当 n＝ 1时， a1＝ S1＝ 2a1－ 2，解得 a1＝ 2.因为 Sn＝ 2an－ 2，当 n≥ 2时， Sn－ 1＝ 2an－ 1－ 2，两式相减得 an＝ 2an－ 2an－ 1，即 an＝ 2an－ 1，则数列 {an}为首项为 2，公比为 2的等比数列，则 S5－ S4＝ a5＝ 25＝ 32.答案解析√解析 因为 A∩ B＝ B，所以 B⊆A.若 B为 ∅，则 m＝ 0；综上， m∈ {0，－ 1,2}.故选 A.4.已知函数 f(x)＝ x|x－ a|－ a， a∈ R，若对任意 x∈ [3,5]， f(x)≥ 0恒成立 ，则 实数 a的取值范围是 ______________________.答案解析解析 因为对任意 x∈ [3,5]， f(x)≥ 0恒成立，所以 f(x)min≥ 0.当 a≤ 0时，对任意 x∈ [3,5]， f(x)＝ x|x－ a|－ a≥ 0恒成立；当 05时， f(x)min＝ min{3(a－ 3)－ a， 5(a－ 5)－ a}≥ 0，二、图形位置、形状分类整合图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于几何图形中点、线、面的位置关系的研究以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系 .5.已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为 6和 4的矩形，则它的体积为 解析 当 6是下底面周长， 4是三棱柱的高时，√答案解析当 4是下底面周长， 6是三棱柱的高时，√答案解析只有当直线 y＝ kx＋ 1与直线 x＝ 0或 y＝ 2x垂直时才满足 .答案解析8.抛物线 y2＝ 4px(p0)的焦点为 F， P为其上的一点， O为坐标原点，若△ OPF为等腰三角形，则这样的点 P的个数为 ____.4答案解析解析 当 |PO|＝ |PF|时，点 P在线段 OF的中垂线上 ，此时 ，点 P的位置有两个 ；当 |OP|＝ |OF|时，点 P的位置也有两个 ；对 |FO|＝ |FP|的情形，点 P不存在 .事实上， F(p， 0)，若设 P(x， y)，又 ∵ y2＝ 4px， ∴ x2＋ 2px＝ 0，解得 x＝ 0或 x＝－ 2p，当 x＝ 0时，不构成三角形 .当 x＝－ 2p(p0)时，与点 P在抛物线上矛盾 .∴ 符合要求的点 P有 4个 .三、含参问题分类整合某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等 .解决这类问题要根据解决问题需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全 .9.已知实数 a， x， a0且 a≠ 1，则 “ ax1” 的充要条件为 A.01， x0C.(a－ 1)x0 D.x≠ 0√答案解析解析 由 ax1知， axa0，当 01时， x0.故 “ ax1” 的充要条件为 “ (a－ 1)x0”.10.若函数 f(x)＝ ax2＋ 4x－ 3在 [0,2]上有最大值 f(2)，则实数 a的取值范围为 A.(－ ∞ ，－ 1] B.[－ 1，＋ ∞ )C.(－ ∞ ， 0) D.(0，＋ ∞ )√答案解析解析 方法一 当 a＝ 0时， f(x)＝ 4x－ 3在 [0,2]上为增函数，最大值为 f(2)，满足题意 .当 a0时， f(x)＝ ax2＋ 4x－ 3在 [0,2]上为增函数，最大值为 f(2)，满足题意 .即－ 1≤ a0，解 得 a6.又 g(x)＝ ax－ 2a的图象恒过点 (2,0)，故 当 a6时，作出函数 f(x)和 g(x)的图象如图 1所示 ，当 a6时，若 g(x0)2，又 f(1)＝ 4， ∴ f(x0)0不成立 .综上，实数 a的取值范围为 (7，＋ ∞ ).转化与化归思想一、特殊与一般的转化一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案或者思路 .1.据统计某超市两种蔬菜 A， B连续 n天价格分别为 a1， a2， a3， … ， an和b1， b2， b3， … ， bn，令 M＝ {m|am＜ bm， m＝ 1,2， … ， n}，若 M中元素个数 大于 则 称蔬菜 A在这 n天的价格低于蔬菜 B的价格，记作： A＜ B，现有三种蔬菜 A， B， C，下列说法正确的是 A.若 A＜ B， B＜ C，则 A＜ CB.若 A＜ B， B＜ C同时不成立，则 A＜ C不成立C.A＜ B， B＜ A可同时不成立D.A＜ B， B＜ A可同时成立√解析 特例法：例如蔬菜 A连续 10天价格分别为 1,2,3,4， … ， 10，蔬菜 B连续 10天价格分别为 10,9， … ， 1时， A＜ B， B＜ A同时不成立，故选 C.答案解析答案解析√答案解析√解析 当 a＝ 0时，函数 f(x)＝－ 3x， x∈ [－ 1,1]，显然满足条件 ，故 排除 A， B；当－ 1≤ x≤ 1时， f′ (x)≤ 0，所以 f(x)在 [－ 1,1]上为减函数，综上，选 D.答案解析第三篇 渗透数学思想 ， 提升学科素养(四 )审题路线中寻求解题策略审题是解题的前提，只有认真阅读题目，提炼关键信息，明确题目的条件与结论，才能通过分析、推理启发解题思路，选取适当的解题方法 .最短时间内把握题目条件与结论间的联系是提高解题效率的保障 .审题不仅存在于解题的开端，还要贯穿于解题思路的全过程和解答后的反思回顾 .正确的审题要多角度地观察，由表及里，由条件到结论，由数式到图形，洞察问题实质，选择正确的解题方向 .事实上，很多考生往往对审题掉以轻心，或不知从何处入手进行审题，致使解题失误而丢分 .下面结合实例，教你正确的审题方法，制作一张漂亮的 “ 审题路线图 ” ，助你寻求解题策略 .一 审条件挖隐含题目的条件是解题的主要素材，条件有明示的，也有隐含的，审视条件时更重要的是充分挖掘每一个条件的内涵和隐含信息，对条件进行再认识、再加工，注意已知条件中容易疏忽的隐含信息、特殊情形，明晰相近概念之间的差异，发挥隐含条件的解题功能审题路线图代入 b2＝ a2＋ c2－ 2accos B，解得 ac＝ 3.二 审结论会转换解题的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误，因而解题的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的 .审视结论，就是在结论的启发下，探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律 .善于从结论中捕捉解题信息，善于对结论进行转化，使之逐步靠近已知条件，从而发现和确定解题方向 .审题路线图3.在 Rt△ ABC中， BC＝ 2， AB＝ 4， ∠ ACB＝ 90°， E为 AC边上的点， D是AB边的中点，点 O为 BE与 CD的交点，且 AE＝ 2EC，沿 CD把 △ BCD折起，使平面 BCD⊥ 平面 ACD.(1)求证：平面 EOB⊥ 平面 BCD；(2)求直线 AB与平面 ACD所成角的正弦值 .审题路线图(1)证明 ∵ BC＝ 2， BA＝ 4， ∠ ACB＝ 90°， D为 AB边的中点，∴∠ CBE＝ 30°，∵ BC＝ CD＝ DB， ∴ OB⊥ CD， OE⊥ CD.又 OB∩ OE＝ O， OB， OE⊂平面 BOE，∴ CD⊥ 平面 BOE.又 CD⊂平面 BCD， ∴ 平面 BCD⊥ 平面 BOE.(2)解 连接 OA.由 (1)可知 OB⊥ 平面 ACD，则 ∠ BAO就是直线 AB与平面 ACD所成的角，在 △ ADO中， OD＝ 1， AD＝ 2， ∠ ADO＝ 120°，三 审图形抓特点在一些数学高考试题中，问题的条件往往是以图形的形式给出，或将条件隐含在图形之中，因此在审题时，要善于观察图形，洞悉图形所隐含的特殊关系、数值的特点、变化的趋势 .抓住图形的特征，运用数形结合的数学思想方法，是破解题目的关键 .4.函数 y＝ 2x2－ e|x|在 [－ 2,2]的图象大致为 审题路线图答案 D解析 y＝ f(x)＝ 2x2－ e|x|为偶函数 ，当 x0时， f′ (x)＝ 4x－ ex，作 y＝ 4x与 y＝ ex的图象如图所示 ，故 存在实数 x0∈ (0,1)，使得 f′ (x0)＝ 0，则 当 x∈ (0， x0)时， f′ (x0)0，所以 f(x)在 (0， x0)内单调递减，在 (x0， 2)内单调递增 ，又 f(2)＝ 8－ e2≈ 8－ 7.4＝ 0.6，故选 D.审题路线图∴△ ABC为正三角形，解析 根据向量加法的平行四边形法则知，四边形 ABDC为平行四边形，四 审结构定方案数学问题中的条件和结论，很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现 .在这些问题的数式结构中，往往都隐含着某种特殊关系，认真审视数式的结构特征，对数式结构进行深入分析，加工转化，和我们熟悉的数学结构联想比对，就可以寻找到解决问题的方案 .审题路线图解 (1)因为 a1＋ 3a2＋ … ＋ (2n－ 1)an＝ 2n，所以当 n≥ 2时， a1＋ 3a2＋ … ＋ (2n－ 3)an－ 1＝ 2(n－ 1)，两式相减，得 (2n－ 1)an＝ 2，又由题设可得 a1＝ 2，满足上式，五 审细节更完善审题不仅要从宏观上、整体上去分析、去把握，还要更加注意审视一些细节上的问题 .例如括号内的标注、数据的范围、图象的特点等 .因为标注、范围大多是对数学概念、公式、定理中所涉及的一些量或解析式的限制条件，审视细节能适时地利用相关量的约束条件，调整解决问题的方向 .所以说重视审视细节，更能体现审题的深刻性 .审题路线图