四川省内江市2019届高三数学第一次模拟考试试题 文（PDF）.rar

高 三 一 模 考 试 数 学 （ 文 科 ） 试 题 答 案 第 １ 页 （ 共 ３ 页 ） 内 江 市 高 中 ２０ １９ 届 第 一 次 模 拟 考 试 题 数 学 （ 文 科 ） 答 案 及 评 分 意 见 一 、 选 择 题 （ 本 大 题 共 １２ 小 题 ， 每 小 题 ５ 分 ， 共 ６ ０ 分 ． ） １ ． Ａ ２ ． Ｃ ３ ． Ｄ ４ ． Ａ ５ ． Ｄ ６ ． Ｂ ７ ． Ｃ ８ ． Ｂ ９ ． Ｂ １ ０ ． Ａ １ １ ． Ｃ １２ ． Ａ 二 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 ４ 小 题 ， 每 小 题 ５ 分 ， 共 ２ ０ 分 ． ） １３ ． － ２ １ ４ ． ４ １５ ． 槡 ３ ２１６ ． ８ ０ ６ ８ 三 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 ６ 个 小 题 ， 共 ７ ０ 分 ． ） １７ ． 解 ： 设 ｛ ａ ｎ ｝ 的 公 比 为 ｑ （ ｑ ＞ ０ ） ， 则 ａ ｎ ＝ ａ １ ｑ ｎ － １ （ ａ １ ＞ ０ ） ． １ 分 !!!!!!!!! 由 题 得 ２ ａ １ ＋ ３ ａ １ ｑ ＝ １ （ ａ １ ｑ ２ ） ２ ＝ ９ ａ １ ｑ · ａ １ ｑ ５ ａ １ ＞ ０ ， ｑ ＞ { ０ ３ 分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 解 得 ａ １ ＝ ｑ ＝ １ ３ ． ５ 分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ ａ ｎ ＝ １ ３ ｎ ． ６ 分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （ ２ ） 由 （ １ ） 知 ， ａ ｎ ＝ １ ３ ｎ ． ｌ ｏ ｇ ３ ａ ｎ ＝ － ｎ ７ 分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ ｂ ｎ ＝ － （ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ … ＋ ｎ ） ＝ － ｎ （ ｎ ＋ １ ） ２ ． ８ 分 !!!!!!!!!!!!!!! ∴ １ ｂ ｎ ＝ － ２ ｎ （ ｎ ＋ １ ） ＝ － ２ （ １ ｎ － １ ｎ ＋ １ ） ． １ ０ 分 !!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ Ｓ ｎ ＝ １ ｂ １ ＋ １ ｂ ２ ＋ １ ｂ ３ ＋ … ＋ １ ｂ ｎ ＝ － ２ ［ （ １ － １ ２ ） ＋ （ １ ２ － １ ３ ） ＋ … ＋ （ １ ｎ － １ ｎ ＋ １ ） ］ ＝ － ２ （ １ － １ ｎ ＋ １ ） ＝ － ２ ｎ ｎ ＋ １ ． １ ２ 分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １８ ． 解 ： （ １ ） 由 图 可 知 ， 当 函 数 ｆ （ ｘ ） 取 得 最 大 值 时 ， 有 ０ ＜ ｘ ＜ ２ ， ｆ （ ｘ ） ＝ ４ ０ ｓ ｉ ｎ （ π ３ ｘ ） ＋ １３ ． ３ 分 !!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ 当 π ３ ｘ ＝ π ２ ， 即 ｘ ＝ ３ ２ 时 ， 函 数 ｆ （ ｘ ） 取 得 最 大 值 ｆ （ ３ ２ ） ＝ ４０ ＋ １ ３ ＝ ５３ ． ５ 分 !!! 故 喝 一 瓶 啤 酒 １ ． ５ 小 时 血 液 中 的 酒 精 含 量 达 到 最 大 值 ５ ３ 毫 克 ／ 百 毫 升 ． ６ 分 !!!! （ ２ ） 由 题 意 知 ， 当 车 辆 驾 驶 人 员 血 液 中 的 酒 精 含 量 小 于 ２ ０ 毫 克 ／ 百 毫 升 时 可 以 驾 车 ， 由 图 知 ， 此 时 ｘ ＞ ２ ， ｆ （ ｘ ） ＝ ９ ０ ｅ － ０ ． ５ ｘ ＋ １４ ． ７ 分 !!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ ９０ ｅ － ０ ． ５ ｘ ＋ １４ ＜ ２０  ｅ － ０ ． ５ ｘ ＜ １ １５  － ０ ． ５ ｘ ＜ ｌ ｎ １ １ ５  ｘ ＞ ２ ｌ ｎ １ ５ ≈ ５ ． ４２ ． １ １ 分 !!! 故 喝 １ 瓶 啤 酒 需 ６ 个 小 时 后 才 可 以 驾 车 ． １ ２ 分 !!!!!!!!!!!!!!!!! １９ ． 解 ： （ １ ） 在 Δ Ａ Ｃ Ｄ 中 ， 由 正 弦 定 理 得 Ａ Ｃ ｓ ｉ ｎ ∠ Ａ Ｄ Ｃ ＝ Ｃ Ｄ ｓ ｉ ｎ ∠ Ｃ Ａ Ｄ １ 分 !!!!!!!!! ｓ ｉ ｎ ∠ Ａ Ｄ Ｃ ＝ Ａ Ｃ ｓ ｉ ｎ ∠ Ｃ Ａ Ｄ Ｃ Ｄ ． ∵ Ａ Ｃ ＝ 槡 ３ Ｃ Ｄ ， ∠ Ｃ Ａ Ｄ ＝ ３ ０ ° ， ∴ ｓ ｉ ｎ ∠ Ａ Ｄ Ｃ ＝ 槡 ３ ｓ ｉ ｎ ∠ Ｃ Ａ Ｄ ＝ 槡 ３ ２ ． ３ 分 !!!!!!!!高 三 一 模 考 试 数 学 （ 文 科 ） 试 题 答 案 第 ２ 页 （ 共 ３ 页 ） 又 ∠ Ａ Ｄ Ｃ ＝ ∠ Ｂ ＋ ∠ Ｂ Ａ Ｄ ＝ ∠ Ｂ ＋ ６０ ° ＞ ６ ０ ° ， ∴ ∠ Ａ Ｄ Ｃ ＝ １２０ ° ． ５ 分 !!!!!!! ∴ ∠ Ｂ ＝ ∠ Ａ Ｄ Ｃ － ∠ Ｂ Ａ Ｄ ＝ １２０ ° － ６ ０ ° ＝ ６０ ° ， 即 ∠ Ｂ ＝ ６０ ° ． ６ 分 !!!!!!!! （ ２ ） 设 Ｃ Ｄ ＝ ｘ ， 则 Ｂ Ｄ ＝ ２ ｘ ， Ｂ Ｃ ＝ ３ ｘ ， Ａ Ｃ ＝ 槡 ３ ｘ ． ７ 分 !!!!!!!!!!!!!! ∴ ｓ ｉ ｎ Ｂ ＝ Ａ Ｃ Ｂ Ｃ ＝ 槡 ３ ３ ， ｃ ｏ ｓ Ｂ ＝ 槡 ６ ３ ， Ａ Ｂ ＝ 槡 ６ ｘ ． ９ 分 !!!!!!!!!!!!!!!!! 在 Δ Ａ Ｂ Ｄ 中 ， 由 余 弦 定 理 得 Ａ Ｄ ２ ＝ Ａ Ｂ ２ ＋ Ｂ Ｄ ２ － ２ Ａ Ｂ · Ｂ Ｄ ｃ ｏ ｓ Ｂ ， １ ０ 分 !!!!!!!! 即 （ 槡 ２ ３ ） ２ ＝ ６ ｘ ２ ＋ ４ ｘ ２ － ２ × 槡 ６ ｘ × ２ ｘ × 槡 ６ ３  ｘ ２ ＝ ６ ， ∴ ｘ ＝ 槡 ６ ． 故 Ｃ Ｄ ＝ 槡 ６ ． １ ２ 分 !! ２０ ． 解 析 ： （ １ ） 由 ５ （ ０ ． ０８ ＋ ａ ＋ ０ ． ０３ ＋ ０ ． ０ ２ ＋ ０ ． ０２ ） ＝ １ ， 得 ａ ＝ ０ ． ０ ５ ． ２ 分 !!!!! （ ２ ） 在 所 抽 取 的 女 生 中 ， 月 上 网 次 数 不 少 于 １５ 次 的 学 生 频 率 为 （ ０ ． ０５ ＋ ０ ． ０ ２ ） × ５ ＝ ０ ． ３５ ， ∴ 在 所 抽 取 的 女 生 中 ， 月 上 网 次 数 不 少 于 １ ５ 次 的 学 生 有 ０ ． ３５ × ２０ ＝ ７ 人 ． ４ 分 !!! 在 所 抽 取 的 男 生 中 ， 月 上 网 次 数 不 少 于 １ ５ 次 的 学 生 频 率 为 （ ０ ． ０ ４ ＋ ０ ． ０３ ） × ５ ＝ ０ ． ３５ ， ∴ 在 所 抽 取 的 男 生 中 ， 月 上 网 次 数 不 少 于 １ ５ 次 的 学 生 有 ０ ． ３５ × ２０ ＝ ７ 人 ． ６ 分 !!! 故 抽 取 的 ４０ 名 学 生 中 月 上 网 次 数 不 少 于 １ ５ 次 的 人 数 有 ７ ＋ ７ ＝ １４ 人 ． ７ 分 !!!!! （ ３ ） 记 “ 再 从 月 上 网 次 数 不 少 于 ２０ 次 的 学 生 中 随 机 抽 取 ２ 人 ， 至 少 抽 到 １ 名 女 生 ” 为 事 件 Ａ ， ８ 分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 在 抽 取 的 女 生 中 ， 月 上 网 次 数 不 少 于 ２０ 次 的 学 生 频 率 为 ０ ． ０ ２ × ５ ＝ ０ ． １ ， 人 数 为 ０ ． １ × ２０ ＝ ２ 人 ． 在 抽 取 的 男 生 中 ， 月 上 网 次 数 不 少 于 ２０ 次 的 学 生 频 率 为 ０ ． ０３ × ５ ＝ ０ ． １ ５ ， 人 数 为 ０ ． １５ × ２０ ＝ ３ 人 ． １ ０ 分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 记 两 名 女 生 为 Ａ １ ， Ａ ２ ， 三 名 男 生 为 Ｂ １ ， Ｂ ２ ， Ｂ ３ ， 则 在 抽 取 的 ４０ 名 学 生 中 ， 从 月 上 网 次 数 不 少 于 ２０ 次 的 学 生 中 随 机 抽 取 ２ 人 ， 所 有 可 能 有 １０ 种 ： 即 （ Ａ １ ， Ａ ２ ） ， （ Ａ １ ， Ｂ １ ） ， （ Ａ １ ， Ｂ ２ ） ， （ Ａ １ ， Ｂ ３ ） ， （ Ａ ２ ， Ｂ １ ） ， （ Ａ ２ ， Ｂ ２ ） ， （ Ａ ２ ， Ｂ ３ ） ， （ Ｂ １ ， Ｂ ２ ） ， （ Ｂ １ ， Ｂ ３ ） ， （ Ｂ ２ ， Ｂ ３ ） ， 而 事 件 Ａ 包 含 的 结 果 有 ７ 种 ： （ Ａ １ ， Ａ ２ ） ， （ Ａ １ ， Ｂ １ ） ， （ Ａ １ ， Ｂ ２ ） ， （ Ａ １ ， Ｂ ３ ） ， （ Ａ ２ ， Ｂ １ ） ， （ Ａ ２ ， Ｂ ２ ） ， （ Ａ ２ ， Ｂ ３ ） ， ∴ Ｐ （ Ａ ） ＝ ７ １０ ． １ ２ 分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２１ ． 解 ： （ １ ） 由 ａ ＋ ｂ ＝ ０ ， 得 ｂ ＝ － ａ ， 则 ｆ （ ｘ ） ＝ ｌ ｎ ｘ － ａ ｘ ＋ ａ ． ∴ ｆ ′ （ ｘ ） ＝ １ ｘ － ａ （ ｘ ＞ ０ ） ． １ 分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ① 若 ａ ≤ ０ ， 则 ｆ ′ （ ｘ ） ＞ ０ ， ｆ （ ｘ ） 在 （ ０ ， ＋ ∞ ） 上 递 增 ． 又 ｆ （ １ ） ＝ ０ ， ∴ 当 ｘ ＞ １ 时 ， ｆ （ ｘ ） ＞ ｆ （ １ ） ＝ ０ 不 符 合 题 意 ． ２ 分 !!!!!!!!!! ② 若 ａ ＞ ０ ， 则 当 ０ ＜ ｘ ＜ １ ａ 时 ， ｆ ′ （ ｘ ） ＞ ０ ， ｆ （ ｘ ） 递 增 ； 当 ｘ ＞ １ ａ 时 ， ｆ ′ （ ｘ ） ＜ ０ ， ｆ （ ｘ ） 递 减 ． ∴ 当 ｘ ＞ ０ 时 ， ｆ （ ｘ ） ｍ ａ ｘ ＝ ｆ （ １ ａ ） ＝ ａ － １ － ｌ ｎ ａ ． 欲 使 ｆ （ ｘ ） ≤ ０ 恒 成 立 ， 则 需 ｆ （ ｘ ） ｍ ａ ｘ ＝ ａ － １ － ｌ ｎ ａ ≤ ０ ． ４ 分 !!!!!!!!!!! 记 ｇ （ ａ ） ＝ ａ － １ － ｌ ｎ ａ ， 则 ｇ ′ （ ａ ） ＝ １ － １ ａ （ ａ ＞ ０ ） ． ∴ 当 ０ ＜ ａ ＜ １ 时 ， ｇ ′ （ ａ ） ＜ ０ ， ｇ （ ａ ） 递 减 ； 当 ａ ＞ １ 时 ， ｇ ′ （ ａ ） ＞ ０ ， ｇ （ ａ ） 递 增 ． ∴ 当 ａ ＞ ０ 时 ， ｇ （ ａ ） ≥ ｇ （ １ ） ＝ ０ ． ５ 分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!高 三 一 模 考 试 数 学 （ 文 科 ） 试 题 答 案 第 ３ 页 （ 共 ３ 页 ） 综 上 所 述 ， 满 足 题 意 的 ａ ＝ １ ． ６ 分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （ ２ ） 由 （ １ ） 知 ， 欲 使 ｆ （ ｘ ） ≤ ０ 恒 成 立 ， 则 ａ ＞ ０ ． ７ 分 !!!!!!!!!!!!!!! 而 ｆ （ ｘ ） ≤ ０ 恒 成 立  ｌ ｎ ｘ ≤ ａ ｘ ＋ ｂ 恒 成 立  函 数 ｙ ＝ ｌ ｎ ｘ 的 图 象 不 在 函 数 ｙ ＝ ａ ｘ ＋ ｂ 图 象 的 上 方 ， 又 需 使 得 ａ ＋ ｂ （ ａ ＞ ０ ） 的 值 最 小 ， 则 需 使 直 线 ｙ ＝ ａ ｘ ＋ ｂ 与 曲 线 ｙ ＝ ｌ ｎ ｘ 的 图 象 相 切 ． ９ 分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 设 切 点 为 （ ｘ ０ ， ｌ ｎ ｘ ０ ） （ ｘ ０ ＞ ０ ） ， 则 切 线 方 程 为 ｙ － ｌ ｎ ｘ ０ ＝ １ ｘ ０ （ ｘ － ｘ ０ ） ， 即 ｙ ＝ １ ｘ ０ ｘ ＋ ｌ ｎ ｘ ０ － １ ． ∴ ａ ＋ ｂ ＝ １ ｘ ０ ＋ ｌ ｎ ｘ ０ － １ ． １ ０ 分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 令 ｈ （ ｘ ） ＝ １ ｘ ＋ ｌ ｎ ｘ － １ ， 则 ｈ ′ （ ｘ ） ＝ － １ ｘ ２ ＋ １ ｘ ＝ ｘ － １ ｘ ２ （ ｘ ＞ ０ ） ． ∴ 当 ０ ＜ ｘ ＜ １ 时 ， ｈ ′ （ ｘ ） ＜ ０ ， ｈ （ ｘ ） 递 减 ； 当 ｘ ＞ １ 时 ， ｈ ′ （ ｘ ） ＞ ０ ， ｈ （ ｘ ） 递 增 ． ∴ ｈ （ ｘ ） ｍ ｉ ｎ ＝ ｈ （ １ ） ＝ ０ ． １ １ 分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 故 ａ ＋ ｂ 的 最 小 值 为 ０ ． １ ２ 分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２２ ． 解 ： （ １ ） 由 ｘ ＝ ２ ＋ ２ ｃ ｏ ｓ φ ｙ ＝ ２ ｓ ｉ ｎ { φ 消 去 参 数 φ ， 得 Ｃ １ 的 普 通 方 程 为 （ ｘ － ２ ） ２ ＋ ｙ ２ ＝ ４ ． ２ 分 !!!!!!!!!!!!!!!!!! ∵ ρ ＝ ４ ｓ ｉ ｎ θ  ρ ２ ＝ ４ ρ ｓ ｉ ｎ θ ， 又 ｘ ＝ ρ ｃ ｏ ｓ θ ｙ ＝ ρ ｓ ｉ ｎ { θ ， ∴ Ｃ ２ 的 直 角 坐 标 方 程 为 ｘ ２ ＋ （ ｙ － ２ ） ２ ＝ ４ ． ５ 分 !!!!!!!!!!!!!!!! （ ２ ） 由 （ １ ） 知 曲 线 Ｃ １ 的 普 通 方 程 为 （ ｘ － ２ ） ２ ＋ ｙ ２ ＝ ４ ， ∴ 其 极 坐 标 方 程 为 ρ ＝ ４ ｃ ｏ ｓ θ ， ６ 分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ ｜ Ａ Ｂ ｜ ＝ ｜ ρ Ａ － ρ Ｂ ｜ ＝ ４ ｜ ｓ ｉ ｎ α － ｃ ｏ ｓ α ｜ ＝ 槡 ４ ２ ｜ ｓ ｉ ｎ （ α － π ４ ） ｜ ＝ 槡 ４ ２ ． ７ 分 !!!! ∴ ｓ ｉ ｎ （ α － π ４ ） ＝ ± １  α － π ４ ＝ ｋ π ＋ π ２  α ＝ ｋ π ＋ ３ π ４ （ ｋ ∈ Ｚ ） ． 又 ０ ＜ α ＜ π ， ∴ α ＝ ３ π ４ ． １ ０ 分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２３ ． 解 ： （ １ ） 当 ａ ＝ － ３ 时 ， ｆ （ ｘ ） ＝ ｘ ２ ＋ ｜ ２ ｘ － ４ ｜ － ３ ． １ 分 !!!!!!!!!!!!! ∴ ｆ （ ｘ ） ＞ ｘ ２ ＋ ｜ ｘ ｜  ｜ ２ ｘ － ４ ｜ － ｜ ｘ ｜ － ３ ＞ ０  ｘ ≤ ０ － ｘ ＋ １ ＞ { ０ 或 ０ ＜ ｘ ≤ ２ － ３ ｘ ＋ １ ＞ { ０ 或 ｘ ＞ ２ ｘ － ７ ＞ { ０  ｘ ≤ ０ 或 ０ ＜ ｘ ＜ １ ３ 或 ｘ ＞ ７  ｘ ＜ １ ３ 或 ｘ ＞ ７ ． ４ 分 !!!!!!!!!!!!! ∴ 当 ａ ＝ － ３ 时 ， 不 等 式 ｆ （ ｘ ） ＞ ｘ ２ ＋ ｜ ｘ ｜ 的 解 集 为 （ － ∞ ， １ ３ ） ∪ （ ７ ， ＋ ∞ ） ． ５ 分 !! （ ２ ） ∵ ｆ （ ｘ ） ≥ ０ 的 解 集 为 实 数 集 Ｒ  ａ ≥ － ｘ ２ － ｜ ２ ｘ － ４ ｜ 对 ｘ ∈ Ｒ 恒 成 立 ， ６ 分 !!! 又 ｇ （ ｘ ） ＝ － ｘ ２ － ｜ ２ ｘ － ４ ｜ ＝ － ｘ ２ ＋ ２ ｘ － ４ ， ｘ ≤ ２ － ｘ ２ － ２ ｘ ＋ ４ ， ｘ ＞ { ２ ＝ － （ ｘ － １ ） ２ － ３ ， ｘ ≤ ２ － （ ｘ ＋ １ ） ２ ＋ ５ ， ｘ ＞ { ２ ， ８ 分 ! ∴ ｇ （ ｘ ） ｍ ａ ｘ ＝ ｇ （ １ ） ＝ － ３ ． ９ 分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ ａ ≥ － ３ ． 故 ａ 的 取 值 范 围 是 ［ － ３ ， ＋ ∞ ） ． １ ０ 分 !!!!!!!!!!!!!!!!