1、1第四章 数系的扩充与复数的引入章末复习学习目标 1.掌握复数的有关概念及复数相等的充要条件.2.理解复数的几何意义.3.掌握复数的相关运算1复数的有关概念(1)复数的概念：形如 a bi(a， bR)的数叫作复数，其中 a， b 分别是它的实部和虚部若 b0，则 a bi 为实数，若 b0，则 a bi 为虚数，若 a0 且 b0，则 a bi 为纯虚数(2)复数相等： a bi c dia c 且 b d(a， b， c， dR)(3)共轭复数： a bi 与 c di 共轭 a c， b d0( a， b， c， dR)(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面 x 轴叫作实
2、轴， y 轴叫作虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数(5)复数的模：设复数 z a bi 在复平面内对应的点是 Z(a， b)，点 Z 到原点的距离| OZ|叫作复数的模或绝对值，记作| z|，即| z| a bi| (a， bR)a2 b22复数的几何意义(1)复数 z a bi 复平面内的点 Z(a， b) 一 一 对 应 (a， bR)(2)复数 z a bi(a， bR) 平面向量 . 一 一 对 应 OZ 3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设 z1 a bi， z2 c di(a， b， c， dR)，则加法： z1 z
3、2( a bi)( c di)( a c)( b d)i；减法： z1 z2( a bi)( c di)( a c)( b d)i；乘法： z1z2( a bi)(c di)( ac bd)( ad bc)i；除法： i(c di0)z1z2 a bic di a bic dic dic di ac bdc2 d2 bc adc2 d2(2)复数加法的运算律2复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1， z2， z3C，有 z1 z2 z2 z1，( z1 z2) z3 z1( z2 z3)31复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小( )2原点是实轴与虚轴的交点( )3方程 x2 x1
4、0 没有解( )类型一 复数的概念例 1 已知复数 z a2 a6 i，分别求出满足下列条件的实数 a 的值：a2 2a 15a2 4(1)z 是实数；(2) z 是虚数；(3) z 是 0.考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数解 由 a2 a60，解得 a2 或 a3.由 a22 a150，解得 a5 或 a3.由 a240，解得 a2.(1)由 a22 a150 且 a240，得 a5 或 a3，当 a5 或 a3 时， z 为实数(2)由 a22 a150 且 a240，得 a5 且 a3 且 a2，当 a5 且 a3 且 a2 时， z 是虚数(3)由 a2 a60 且 a22
5、a150 且 a240，得 a3，当 a3 时， z0.引申探究 本例中条件不变，若 z 为纯虚数，是否存在这样的实数 a，若存在，求出 a，若不存在，请说明理由解 由 a2 a60 且 a22 a150，且 a240，得 a 无解，不存在实数 a，使 z 为纯虚数反思与感悟 (1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据跟踪训练 1 复数 zlog 3(x23 x3)ilog 2(x3)，当 x 为何实数时：(1) zR；(2) z 为4虚数考点 复数的概念题点 由复数的
6、分类求未知数解 (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为 0，所以Error!解得 x4，所以当 x4 时， zR.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为 0，所以Error!解得 x 且 x4.3 212所以当 x 且 x4 时， z 为虚数3 212类型二 复数的四则运算例 2 (1)计算： 2018 ； 23 i1 23i ( 21 i) 4 8i2 4 8i211 7i(2)已知 z1i，求 的模z2 3z 6z 1考点 复数四则运算的综合运用题点 复数的混合运算解 (1)原式 1009 i(i)i1 23i1 23i ( 21 i)2 4 8i 8i 44 8i 4 8i11
7、 7i100900.(2) 1i，z2 3z 6z 1 1 i2 31 i 62 i 3 i2 i 的模为 .z2 3z 6z 1 2反思与感悟 (1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到( a bi)(c di)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化(2)虚数单位 i 的周期性i 4n1 i，i 4n2 1，i 4n3 i，i 4n1( nN )；i ni n1 i n2 i n3 0( nN )跟踪训练 2 (1)已知 2i，则复数 z 等于( )z1 iA13i B13iC3i D3i考点 共轭复数的定义与应用5题点 利用定义求共轭复数答案 B解析 2i， (1i)(2i
8、)23i113i， z13i.z1 i z(2)已知 z 是复数， z3i 为实数， 为纯虚数(i 为虚数单位)z 5i2 i求复数 z；求 的模z1 i考点 复数四则运算的综合应用题点 与混合运算有关的未知数求解解 设 z a bi(a， bR)，由 z3i a( b3)i 为实数，可得 b3.又 为纯虚数，z 5i2 i a 2i2 i a 2i2 i2 i2 i 2a 2 a 4i5 a1，即 z13i. z1 i 1 3i1 i 1 3i1 i1 i1 i 2i， 4 2i2 |2i| .|z1 i| 22 12 5类型三 数形结合思想的应用例 3 已知复平面内点 A， B 对应的复数
9、分别是 z1sin 2 i， z2cos 2 icos2 ，其中 (0，)，设 对应的复数为 z.AB (1)求复数 z；(2)若复数 z 对应的点 P 在直线 y x 上，求 的值12考点 分类讨论思想与数形结合思想在复数中的应用题点 数形结合思想的应用解 (1)由题意得 z z2 z1cos 2 sin 2 (cos2 1)i1(2sin 2 )i12isin 2 .(2)由(1)知，点 P 的坐标为(1，2sin 2 )由点 P 在直线 y x 上，得2sin 2 ，12 126sin 2 ，又 (0，)，sin 0，14因此 sin ， 或 .12 6 56反思与感悟 根据复平面内的点
10、、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论跟踪训练 3 在复平面内，设 z1i(i 是虚数单位)，则复数 z2对应的点位于( )2zA第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限考点 复数的乘除法运算法则题点 运算结果与点的对应关系答案 A解析 z2 (1i) 22z 21 i 2i(1i)2i1i，21 i复数 z2对应点的坐标为(1,1)，2z故在第一象限.1若 z12i，则 等于( )4izz 1A1B1CiDi考点 复数四则运算的综合应用题点 复数的混合运算答案 C解析 i.4izz 1 4i12 22 12复数
11、z (aR)在复平面内对应的点在虚轴上，则 a 等于( )2 ai1 iA2B1C1D2考点 乘除法的运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 D7解析 z 2 ai1 i 2 ai1 i1 i1 i 在复平面内对应的点的坐标为 且在虚轴上，所以 2 a0，2 a a 2i2 (2 a2 ， a 22 )即 a2.3设 i 是虚数单位， 是复数 z 的共轭复数，若 z i22 z，则 z 等于( )z zA1iB1iC1iD1i考点 复数四则运算的综合应用题点 与混合运算有关的未知数求解答案 A解析 设 z a bi(a， bR)，则 a bi，z所以 z i22 z，z即 2( a2 b
12、2)i2 a2 bi，根据复数相等的充要条件得 22 a， a2 b22 b，解得 a1， b1，故 z1i.4若复数 z 满足| z| ，则 z_.z101 2i考点 复数四则运算的综合应用题点 与混合运算有关的未知数求解答案 34i解析 设 z a bi(a， bR)， a bi，z| z| ，| z| 24i，z101 2i z则 a bi24i，a2 b2Error! 解得Error! z34i.1复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化2复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现3利用两个复数相等可以解决求参数值(或取值范围)和复数方程等问题.
13、8一、选择题1i 是虚数单位，若集合 S1,0,1，则( )Ai S Bi 2 SCi 3 S D. S2i考点 虚数单位 i 及其性质题点 虚数单位 i 的运算性质答案 B2已知 i 是虚数单位， m， nR，且 mi1 ni，则 等于( )m nim niA1B1CiDi考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的运算法则答案 D解析 由 mi1 ni(m， nR)，得 m1 且 n1，则 i.m nim ni 1 i1 i 1 i223若 a 为正实数，i 为虚数单位， 2，则 a 等于( )|a ii |A. B2C. D13 2考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答
14、案 A解析 ( ai)(i)1 ai，a ii |1 ai| 2，|a ii | 1 a2解得 a 或 a (舍)3 34已知 z112i， z2 m( m1)i，i 为虚数单位，且两复数的乘积 z1z2的实部和虚部为相等的正数，则实数 m 的值为( )A B. C D.43 43 34 34考点 复数的乘除法运算法则9题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 D解析 因为 z1z2(12i) m( m1)i m2( m1)2 m( m1)i(2 m)(3 m1)i，所以 2 m3 m1，即 m .34经检验， m 能使 2 m3 m10，34所以 m 满足题意345已知复数 z (bR)的实部为
15、1，i 为虚数单位，则复数 b 在复平面上对应的4 bi1 i z点位于( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限考点 复数的乘除法运算法则题点 运算结果与点的对应关系答案 C解析 z 4 bi1 i 4 bi1 i1 i1 i i，4 b 4 bi2 4 b2 4 b2又复数 z (bR)的实部为1，4 bi1 i 1，即 b6.4 b2 z15i，则 15i.z复数 b15i675i，在复平面上对应的点的坐标为(7，5)，位于第三象z限故选 C.6设 z(2 t25 t3)( t22 t2)i， tR，i 为虚数单位，则以下结论正确的是( )A z 对应的点在第一象限B z 一定不
16、为纯虚数C. 对应的点在实轴的下方zD z 一定为实数考点 复数的几何意义10题点 复数与点的对应关系答案 C解析 t22 t2( t1) 210， z 对应的点在实轴的上方又 z 与 对应的点关于实轴对称，C 正确z7复数 z 满足( z3)(2i)5(i 为虚数单位)，则 z 的共轭复数 为( )zA2iB2iC5iD5i考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数答案 D解析 由( z3)(2i)5，得 z3 2i，52 i z5i， 5i.z二、填空题8若复数 z ai( aR)与它的共轭复数 所对应的向量互相垂直，则 a_.z考点 共轭复数的定义与应用题点 与共轭复数有关的综合
17、应用答案 1解析 ai，因为复数 z 与它的共轭复数 所对应的向量互相垂直，所以 a21，所以z za1.9i 是虚数单位，复数 z 满足(1i) z2，则 z 的实部为_考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 1解析 因为(1i) z2，所以 z 1i，所以其实部为 1.21 i10在复平面内，若 z m2(1i) m(4i)6i(i 为虚数单位)所对应的点在第二象限，则实数 m 的取值范围是_考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 (3,4)解析 z m24 m( m2 m6)i 所对应的点在第二象限，Error!解得 3m4.11如图，在复平面内，点 A
18、 对应的复数为 z1，若 i(i 为虚数单位)，则 z2_.z2z111考点 复数的乘除法运算法则题点 复数与点的对应关系答案 2i解析 由题图可知， z112i，由 i，得 z2 z1i(12i)i2i.z2z1三、解答题12已知复数 z1(1 bi)(2i)， z23(1 a)i (a， bR，i 为虚数单位)(1)若 z1 z2，求实数 a， b 的值；(2)若 b1， a0，求 .|z1 z21 2i|考点 复数四则运算的综合应用题点 复数的混合运算解 (1)复数 z1(1 bi)(2i)2 b(2 b1)i，z23(1 a)i，由 z1 z2，可得Error!解得Error!所以 a
19、2， b1.(2)若 b1， a0，则 z113i， z23i. 2.|z1 z21 2i| |1 3i 3 i|1 2i| 42 221 2213已知复数 z1满足 z1(1i)2(i 为虚数单位)，若复数 z2满足 z1 z2是纯虚数， z1z2是实数，求复数 z2.考点 复数四则运算的综合运用题点 与混合运算有关的未知数求解解 z1(1i)2， z1 1i.21 i 21 i1 i1 i 21 i2设 z2 a bi(a， bR)， z1 z21 a( b1)i 是纯虚数，Error! a1， b1.12 z1z2(1i)(1 bi)(1 b)( b1)i，又 z1z2是实数，则 b10
20、， b1， z21i.四、探究与拓展14若 a 是复数 z1(1i)(3i)的虚部， b 是复数 z2 的实部，则 ab_.1 i2 i考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 25解析 z1(1i)(3i)42i，由 a 是复数 z1(1i)(3i)的虚部，得 a2.z2 i，1 i2 i 1 i2 i2 i2 i 1 3i5 15 35由 b 是复数 z2 的实部，得 b .1 i2 i 15则 ab2 .15 2515求虚数 z，使 z R，且| z3|3.9z考点 复数四则运算的综合应用题点 与混合运算有关的未知数求解解 设 z a bi(a， bR 且 b0)，则z a bi i.9z 9a bi (a 9aa2 b2) (b 9ba2 b2)由 z R，得 b 0，9z 9ba2 b2又 b0，故 a2 b29.又由| z3|3，得 3.a 32 b2由，得Error!即 z i 或 z i.32 332 32 332
