2018-2019学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入同步课件（打包5套）新人教A版选修1-2.zip

3.1.1 数系的扩充和复数的概念第三章 §3.1 数系的扩充和复数的概念学习目标1.了解数系的扩充过程与引入复数的必要性 .2.理解复数的有关概念及其代数形式 .3.掌握实数、虚数、纯虚数之间的关系及复数相等的充要条件 .4.利用两个复数相等的充要条件解决实际问题 .问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 对虚数单位的理解在实数集中，有些方程是无解的，例如 x2＋ 1＝ 0，为此，人们引进一个新数 i，并且规定：(1)它的平方等于－ 1，即 i2＝－ 1；(2)实数可以与它进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立 .知识点二 复数的概念与分类思考 为解决方程 x2＝ 2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程 x2＋ 1＝ 0在实数系中无根的问题呢？答案 设想引入新数 i，使 i是方程 x2＋ 1＝ 0的根，即 i·i＝－ 1，方程 x2＋ 1＝ 0有解，同时得到一些新数 .梳理 (1)复数① 定义：把集合 C＝ {a＋ bi|a， b∈ R}中的数，即形如 a＋ bi(a， b∈ R)的数叫做复数，其中 i叫做 .a叫做复数的 ， b叫做复数的 .② 表示方法：复数通常用字母 表示，即 (a， b∈ R)，这一表示形式叫做复数的代数形式 .(2)复数集① 定义： 所成的集合叫做复数集 .② 表示：通常用大写字母 表示 .虚数单位 虚部z＝ a＋ bi全体复数C实部z知识点三 两个复数相等的充要条件思考 由 42能否推出 4＋ i2＋ i?答案 不能 .当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小 .梳理 在复数集 C＝ {a＋ bi|a， b∈ R}中任取两个数 a＋ bi， c＋ di (a， b，c， d∈ R)，我们规定： a＋ bi与 c＋ di相等的充要条件是 .a＝ c且 b＝ d知识点四 复数的分类(2)集合表示：1.若 a， b为实数，则 z＝ a＋ bi为虚数 .( )2.复数 z＝ bi是纯虚数 .( )3.若两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0，那么这两个复数相等 .( )[思考辨析 判断正误 ]××√题型探究A.0 B.1C.2 D.3类型一 数系的扩充与复数的概念解析 答案√(2)给出下列四个命题：① 若 z∈ C，则 z2≥0； ② 2i－ 1的虚部是 2i； ③ 复数 3－ 4i的实部与复数 4－3i的虚部相等； ④ 若 a∈ R，则 (a＋ 1)i是纯虚数 .其中真命题的个数为A.0 B.1 C.2 D.3解析 对于 ① ，当 z∈ R时， z2≥0成立，否则不一定成立，如 z＝ i， z2＝－ 10； ③ z的虚部为 i.A.1 B.2C.3 D.0答案√5解析 易知 ① 正确， ②③ 错误，故选 A.解析解析 答案1 2 3 4 5√3.1.2 复数的几何意义第三章 §3.1 数系的扩充和复数的概念学习目标1.了解复数 z、复平面内的点 Z、向量 之间的一一对应关系 .2.理解并掌握复数的几何意义 .3.通过对复数的几何意义的学习，了解 “ 数与形 ” 之间的联系，提高用数形结合思想解决问题的能力 .问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 复平面的定义思考 1 实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？答案 任何一个复数 z＝ a＋ bi，都和一个有序实数对 (a， b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系 .思考 2 判断下列命题的真假：① 在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；② 在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；③ 在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；④ 在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；⑤ 在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限 .答案 ①②③ 正确， ④⑤ 错误 .因为原点在虚轴上，而其表示实数，所以 ④ 错 .因为非纯虚数包括实数，而实数对应的点在实轴上，所以 ⑤ 错 .梳理 如图所示，点 Z的横坐标为 a，纵坐标为 b，复数 z＝ a＋ bi可用点Z(a， b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 ， x轴叫做， y轴叫做 .实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 .复平面虚轴实轴知识点二 复数的几何意义思考 平面向量能够与复数一一对应的前提是什么？答案 向量的起点是原点 .梳理 复数 z＝ a＋ bi(a， b∈ R)与复平面内的点 及以原点为起点，点 Z(a， b)为终点的向量 ____是一一对应的 .Z(a， b)知识点三 复数的模思考 (1)复数的模一定是正数吗？答案 不一定，复数的模是非负数，即 |z|≥0.当 z＝ 0时， |z|＝ 0；反之，当 |z|＝ 0时，必有 z＝ 0.(2)若复数 z满足 |z|＝ 1，则在复平面内，复数 z对应的点 Z的轨迹是什么？答案 点 Z的轨迹是以原点为圆心， 1为半径的一个圆 .梳理 复数 z＝ a＋ bi(a， b∈ R)，对应的向量为 ，则向量 的模 r叫做复数 z＝ a＋ bi的模，记作 或 .由模的定义可知： |z|＝ |a＋ bi|＝ r＝________(r≥0， r∈ R).|z| |a＋ bi|1.在复平面内，对应于实数的点都在实轴上 .( )2.若 |z1|＝ |z2|，则 z1＝ z2.( )[思考辨析 判断正误 ]√×题型探究例 1 (1)对于复平面，下列说法错误的是A.实轴上的点都表示实数，表示实数的点都在实轴上B.虚轴上的点都表示纯虚数，表示纯虚数的点都在虚轴上C.第一象限的点都表示实部为正数的虚数D.实部为正数、虚部为负数的虚数对应的点必定在第四象限类型一 复平面的相关概念解析 答案√解析 原点是虚轴上的点，但它表示实数 .(2)下列命题为假命题的是A.复数的模是非负实数B.复数等于零的充要条件是它的模等于零C.两个复数的模相等是这两个复数相等的必要条件D.复数 z1z2的充要条件是 |z1||z2|解析 D中两个复数不一定能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，故 D错 .解析 答案√解析 答案－ 3i解析 答案(4)已知复数 z＝ 2＋ i(i是虚数单位 )，则 |z|＝ ____.反思与感悟 确定复数对应的点在复平面内的位置时，关键是理解好复数与该点的对应关系，复数的实部就是该点的横坐标，复数的虚部就是该点的纵坐标，据此可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程或不等式求解 .跟踪训练 1 已知复数 z＝ m－ 2－ (4－ m2)i，且复数 z在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数 m的值为A.0 B.2 C.－ 2 D.±2解析 答案解析 当点在虚轴上时，实部 m－ 2＝ 0， ∴ m＝ 2.√类型二 复数的几何意义解答解 因为 x是实数，所以 x2＋ x－ 6， x2－ 2x－ 15也是实数 .即当－ 3x2时，点 Z在第三象限 .例 2 实数 x分别取什么值时，复数 z＝ (x2＋ x－ 6)＋ (x2－ 2x－ 15)i对应的点 Z在：(1)第三象限；解答解 z＝ x2＋ x－ 6＋ (x2－ 2x－ 15)i对应点 Z(x2＋ x－ 6， x2－ 2x－ 15)，当实数 x满足 (x2＋ x－ 6)－ (x2－ 2x－ 15)－ 3＝ 0，即当 x＝－ 2时，点 Z在直线 x－ y－ 3＝ 0上 .(2)直线 x－ y－ 3＝ 0上 .解答解 当实数 x满足 x2＋ x－ 6＝ 0，即当 x＝－ 3或 2时，点 Z在虚轴上 .引申探究 若本例中的条件不变，其对应的点在：(1)虚轴上；解答即当 2x5时，点 Z在第四象限 .(2)第四象限 .反思与感悟 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值 .跟踪训练 2 (1)当 0m1时， z＝ (m＋ 1)＋ (m－ 1)i在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析 z＝ (m＋ 1)＋ (m－ 1)i对应的点为 (m＋ 1， m－ 1)，∵ 0m1， ∴ 1m＋ 12，－ 1m－ 10，∴ 点 (m＋ 1， m－ 1)位于第四象限 .√答案解析解答类型三 复数的模则 1＋ a24，所以 a23，命题角度 1 复数模的基本运算例 3 (1)如果复数 z＝ 1＋ ai满足条件 |z|2，那么实数 a的取值范围是答案√解析答案解析反思与感悟 复数的模的几何意义是复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可以类比以原点为起点的向量的模来加以理解 .解答3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义第三章 §3.2 复数代数形式的四则运算学习目标1.理解并掌握复数代数形式的加减运算法则 .2.了解复数代数形式的加法、减法的几何意义，掌握不同数集中加减运算法则的联系与区别 .3.在研究复数代数形式的加法、减法的几何意义时，充分利用向量加法、减法的性质 .问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 复数代数形式的加减法思考 1 类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？答案 两个复数相加 (减 )就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加 (减 )，即 (a＋ bi)±(c＋ di)＝ (a±c)＋ (b±d)i.思考 2 若复数 z1， z2满足 z1－ z20，能否认为 z1z2?答案 不能，如 2＋ i－ i0，但 2＋ i与 i不能比较大小 .梳理 (1)运算法则设 z1＝ a＋ bi， z2＝ c＋ di是任意两个复数，那么 (a＋ bi)＋ (c＋ di)＝_______， (a＋ bi)－ (c＋ di)＝ .(2)加法运算律对任意 z1， z2， z3∈ C，有 z1＋ z2＝ ， (z1＋ z2)＋ z3＝ .(a＋ c)＋(a－ c)＋ (b－ d)iz2＋ z1 z1＋ (z2＋ z3)(b＋ d)i知识点二 复数加减法的几何意义思考 1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？思考 2 怎样作出与复数 z1－ z2对应的向量？梳理1.两个虚数的和或差可能是实数 .( )2.在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部 .( )3.复数的减法不满足结合律，即 (z1－ z2)－ z3＝ z1－ (z2＋ z3)可能不成立 .( )[思考辨析 判断正误 ]√√×题型探究类型一 复数的加、减法运算解答(3)(6－ 3i)＋ (3＋ 2i)－ (3－ 4i)－ (－ 2＋ i).解 (6－ 3i)＋ (3＋ 2i)－ (3－ 4i)－ (－ 2＋ i)＝ [6＋ 3－ 3－ (－ 2)]＋ [－ 3＋ 2－ (－ 4)－ 1]i＝ 8＋ 2i.反思与感悟 (1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减 .(2)当一个等式中同时含有 |z|与 z时，一般用待定系数法，设 z＝ x＋ yi(x，y∈ R).跟踪训练 1 (1)若复数 z满足 z＋ i－ 3＝ 3－ i，则 z＝ _____.解析 ∵ z＋ i－ 3＝ 3－ i， ∴ z＝ 6－ 2i.解析 答案6－ 2i(2)(a＋ bi)－ (2a－ 3bi)－ 3i＝ _____________(a， b∈ R).－ a＋ (4b－ 3)i解析 (a＋ bi)－ (2a－ 3bi)－ 3i＝ (a－ 2a)＋ (b＋ 3b－ 3)i＝－ a＋ (4b－ 3)i.解析 答案∴z ＝－ 4＋ 3i.(3)已知复数 z满足 |z|＋ z＝ 1＋ 3i，则 z＝ ________.－ 4＋ 3i类型二 复数加、减法的几何意义解答解 z1－ z2＝ (－ 2＋ i)－ (－ 1＋ 2i)＝－ 1－ i.例 2 已知复数 z1＝－ 2＋ i， z2＝－ 1＋ 2i.(1)求 z1－ z2；(2)在复平面内作出 z1－ z2的运算结果所对应的向量 .反思与感悟 复数的减法可以用向量来运算，同样可以运用平行四边形法则和三角形法则进行运算 .跟踪训练 2 已知 z1＝ 2＋ i， z2＝ 1－ 2i，则复数 z＝ z2－ z1在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案√解析 z＝ z2－ z1＝ (1－ 2i)－ (2＋ i)＝－ 1－ 3i，故复数 z在复平面内对应的点的坐标为 (－ 1，－ 3)，故选 C.解析类型三 复数加、减法及其几何意义的综合运用解答解 由已知得，在复平面内复数 z对应的点 Z在以原点为圆心，半径为 2的圆上 .跟踪训练 3 在平行四边形 ABCD中，点 A， B， C对应的复数分别为 4＋i,3＋ 4i,3－ 5i，则点 D对应的复数是A.2－ 3i B.4＋ 8iC.4－ 8i D.1＋ 4i答案√解析∴z ＝ (3－ 5i)－ (－ 1＋ 3i)＝ (3＋ 1)＋ (－ 5－ 3)i＝ 4－ 8i.达标检测1 2 3 41.计算 (3＋ i)－ (2＋ i)的结果为A.1 B.－ iC.5＋ 2i D.1－ i答案√5解析 (3＋ i)－ (2＋ i)＝ 1.解析解析 答案1 2 3 4 5√解析 答案√1 2 3 4 54.若 z1＝ x1＋ y1i， z2＝ x2＋ y2i(x1， x2， y1， y2∈ R)，则 |z2－ z1|＝__________________.1 2 3 4 5 答案解析 ∵ z1＝ x1＋ y1i， z2＝ x2＋ y2i，∴ z2－ z1＝ (x2－ x1)＋ (y2－ y1)i，解析1 2 3 4 5 答案解析5.若复数 z1＋ z2＝ 3＋ 4i， z1－ z2＝ 5－ 2i，则 2z1＝ ______.8＋ 2i解析 两式相加得 2z1＝ 8＋ 2i.1.复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算 .2.复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则 .规律与方法3.2.2 复数代数形式的乘除运算第三章 §3.2 复数代数形式的四则运算学习目标1.掌握复数代数形式的四则运算法则，熟练地运用复数的乘法、除法的运算法则 .2.理解复数乘法的交换律、结合律、分配律 .3.理解并掌握共轭复数的性质及应用 .问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 复数的乘法及运算律思考 请你探究 in(n∈ N*)的取值情况及其规律 .答案 in(n∈ N*)的取值只有 i，－ 1，－ i,1，且具有周期性，具体取值规律为： i4k＋ 1＝ i， i4k＋ 2＝－ 1， i4k＋ 3＝－ i， i4k＝ 1， k∈ N.梳理 (1)复数的乘法法则设 z1＝ a＋ bi， z2＝ c＋ di是任意两个复数，那么它们的积(a＋ bi)(c＋ di)＝ .(2)复数乘法的运算律对于任意 z1， z2， z3∈ C，有(ac－ bd)＋ (ad＋ bc)i交换律 z1z2＝ ____结合律 (z1z2)z3＝ _______乘法对加法的分配律 z1(z2＋ z3)＝ ________z2z1z1(z2z3)z1z2＋ z1z3知识点二 共轭复数思考 当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个怎样的数？与复数的模的关系是什么？梳理 (1)共轭复数的概念一般地，当两个复数的 时，这两个复数叫做互为共轭复数 .虚部不等于 0的两个共轭复数也叫做 .z的共轭复数用 ___表示 .若 z＝ a＋ bi(a， b∈ R)，则 ＝ .(2)共轭复数的性质① 在复平面内，两个共轭复数对应的点关于 对称 .② 实数的共轭复数是 ，即 z＝ ⇔ z∈ R，利用这个性质可证明一个复数为实数 .实部相等，虚部互为相反数共轭虚数实轴它本身a－ bi③ 若 z≠0 且 z＋ ＝ 0，则 z为 ，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数 .纯虚数知识点三 复数的除法法则1.复数的除法法则设 z1＝ a＋ bi， z2＝ c＋ di(a， b， c， d∈ R， c＋ di≠0)，则 ＝.复数的除法的实质是 .若分母为 a＋ bi型，则分子、分母同乘 a－bi；若分母为 a－ bi型，则分子、分母同乘 a＋ bi.2.实数的平方根设 a∈ R，当 a＝ 0时， a的平方根为 0；当 a0时， a的平方根是两个实数当 a0时， a的平方根是两个共轭纯虚数分母实数化3.虚数的平方根1.复数加减乘除的混合运算法则是先乘除后加减 .( )2.两个共轭复数的和与积是实数 .( )3.若 z1， z2∈ C， 则 z1＝ z2＝ 0.( )[思考辨析 判断正误 ]√√×题型探究类型一 复数的乘、除法运算命题角度 1 复数乘、除法基本运算例 1 (1)i(1－ i)2的值等于A.－ 4 B.2 C.－ 2i D.4i解析 i(1－ i)2＝ i(－ 2i)＝ 2.答案√解析解析 答案(2)若复数 z满足 (1－ z)(1＋ 2i)＝ i，则在复平面内表示复数 z的点位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案√解析解析 答案(3)若复数 z满足 (1＋ i)·z＝ 2i(i为虚数单位 )，则复数 z＝ ____.答案解析解析 答案1＋ i反思与感悟 (1)两个复数代数形式乘法的一般运算方法：首先按多项式的乘法展开；再将 i2换成－ 1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式 .(2)常用公式① (a＋ bi)2＝ a2＋ 2abi－ b2(a， b∈ R).② (a＋ bi)(a－ bi)＝ a2＋ b2(a， b∈ R).③ (1±i)2＝ ±2i.解析 因为 (1＋ i)(1－ bi)＝ 1＋ b＋ (1－ b)i＝ a，又 a， b∈ R，所以 1＋ b＝ a且 1－ b＝ 0，解析 答案2由题意知， (x－ yi)(x＋ yi＋ 2)＝ 4＋ 3i.解答命题角度 2 复数乘除法的灵活运算例 2 计算下列各式：＝ 1＋ (4i)4－ i25＝ 257－ i.答案解析解答答案解析解答反思与感悟 复数四则运算的解答策略(1)复数的加法、减法、乘法运算法则可以类比多项式的运算法则，除法的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数，解题时要注意把 i的幂写成最简形式 .答案解析A.i B.－ iC.22 005 D.－ 22 005答案√解析(2)计算：解答②1 ＋ in＋ i2n＋ … ＋ i2 000n(n∈N*).答案解析解答解 当 n＝ 4k(k∈ N*)时，原式＝ ＝ 2 001.当 n≠4k(k∈ N*)时，类型二 复数运算的综合应用解答解 设 x0是方程 x2－ (4－ 2i)x＋ 3－ 2i＝ 0的实根，例 3 试判断方程 x2－ (4－ 2i)x＋ 3－ 2i＝ 0是否有实根，并解该方程 .解得 x0＝ 1，故该方程有实根 .根据根与系数的关系，得方程的两个根分别为 1,3－ 2i.反思与感悟 根据复数相等的充要条件解决复系数方程是否有实根问题时，可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数，化复数问题为实数问题来解决 .答案解析√答案解析(2)已知复数 z＝－ 3＋ 2i(i为虚数单位 )是关于 x的方程 2x2＋ px＋ q＝ 0(p，q为实数 )的一个根，则 p＋ q的值为A.22 B.36 C.38 D.42√章末复习第三章 数系的扩充与复数的引入学习目标1.掌握复数的有关概念及复数相等的条件 .2.理解复数的几何意义 .3.掌握复数的相关运算 .知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理1.复数的有关概念(1)复数的概念：形如 a＋ bi(a， b∈ R)的数叫做复数，其中 a， b分别是它的和 .若 b＝ 0，则 a＋ bi为实数，若 ，则 a＋ bi为虚数，若 _____，则 a＋ bi为纯虚数 .(2)复数相等： a＋ bi＝ c＋ di⇔ (a， b， c， d∈ R).(3)共轭复数： a＋ bi与 c＋ di共轭 ⇔ (a， b， c， d∈ R).(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 . 叫做实轴，叫做虚轴 .实轴上的点都表示 ；除了原点外，虚轴上的点都表示；各象限内的点都表示非纯虚数 .实部 虚部 b≠0 a＝ 0且 b≠0a＝ c且 b＝ da＝ c， b＋ d＝ 0x轴y轴 实数纯虚数(5)复数的模：向量 的模 r叫做复数 z＝ a＋ bi的模，记作 或 ，即 |z|＝ |a＋ bi|＝ ________(r≥0， r∈ R).2.复数的几何意义(1)复数 z＝ a＋ bi 复平面内的点 Z(a， b)(a， b∈ R).(2)复数 z＝ a＋ bi(a， b∈ R) 平面向量 3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设 z1＝ a＋ bi， z2＝ c＋ di(a， b， c， d∈ R)，则① 加法： z1＋ z2＝ (a＋ bi)＋ (c＋ di)＝ ；② 减法： z1－ z2＝ (a＋ bi)－ (c＋ di)＝ ；|a＋ bi|(a＋ c)＋ (b＋ d)i(a－ c)＋ (b－ d)i|z|③ 乘法： z1·z2 ＝ (a＋ bi)·(c ＋ di)＝ ；④ 除法：(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1， z2， z3∈C ，有 z1＋ z2＝， (z1＋ z2)＋ z3＝ .z2＋ z1 z1＋ (z2＋ z3)(ac－ bd)＋ (ad＋ bc)i1.2i＋ 5的共轭复数为 2i－ 5.( )2.若 m， n∈ R， m＋ (n－ 1)i＝ 1＋ i，则 m＝ 1， n＝ 2.( )3.若 z1， z2为复数，且 z1－ z20，则 z1z2.( )4.复数 z＝ i(2＋ i)对应的点在第二象限 .( )5.若 |z－ z1|＝ r，则在复平面内，复数 z对应的点的轨迹是以 z1的对应点为圆心，半径为 r的圆 .( )[思考辨析 判断正误 ]×√×√√√题型探究(1)z是实数；类型一 复数的概念解答解 由 a2－ a－ 6＝ 0，解得 a＝－ 2或 a＝ 3.由 a2＋ 2a－ 15＝ 0，解得 a＝－ 5或 a＝ 3.由 a2－ 4≠0，解得 a≠±2.要使 z为实数，需 a2＋ 2a－ 15＝ 0且 a2－ 4≠0，解得 a＝－ 5或 a＝ 3，∴ 当 a＝－ 5或 a＝ 3时， z为实数 .(2)z是虚数；答案解 要使 z为虚数，需 a2＋ 2a－ 15≠0且 a2－ 4≠0，解得 a≠－ 5且 a≠3且 a≠±2，∴ 当 a≠－ 5且 a≠3且 a≠±2时， z是虚数 .(3)z是 0.解 要使 z为 0，需 a2－ a－ 6＝ 0，且 a2＋ 2a－ 15＝ 0，且 a2－ 4≠0，解得 a＝ 3，∴ 当 a＝ 3时， z＝ 0.引申探究 本例中条件不变，若 z为纯虚数，是否存在这样的实数 a，若存在，求出 a，若不存在，说明理由 .解答解 由 a2－ a－ 6＝ 0，且 a2＋ 2a－ 15≠0，且 a2－ 4≠0，得 a无解，∴ 不存在实数 a，使 z为纯虚数 .反思与感悟 (1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念 (如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模 )的前提 .(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据 .解答解 设方程的实数根为 m，类型二 复数的四则运算解 设 z＝ a＋ bi(a， b∈ R)，∴ z－ 3i＝ a＋ (b－ 3)i为实数，可得 b＝ 3.解答(1)求复数 z；∴a ＝－ 1，即 z＝－ 1＋ 3i.解答反思与感悟 复数的综合运算中会涉及模、共轭及分类等，求 z时要注意是把 z看作一个整体还是设为代数形式应用方程思想；当 z是实数或纯虚数时注意常见结论的应用 .解 z1＝ z2(2＋ i)，(3＋ i)z1＝ z2(2＋ i)(3＋ i)＝ z2(5＋ 5i)∈ R，解答所以 z2(5＋ 5i)＝ ±50，类型三 方程思想解答解 将 b代入题中方程 x2－ (6＋ i)x＋ 9＋ ai＝ 0，整理得 (b2－ 6b＋ 9)＋ (a－ b)i＝ 0.则 b2－ 6b＋ 9＝ 0，且 a－ b＝ 0，解得 a＝ b＝ 3.例 3 已知关于 x的方程 x2－ (6＋ i)x＋ 9＋ ai＝ 0(a∈ R)有实数根 b.(1)求实数 a， b的值；解答解 设 z＝ x＋ yi(x， y∈ R)，复数 z在复平面内对应的点为 Z，则 (x－ 3)2＋ (y＋ 3)2＝ 4(x2＋ y2)，即 (x＋ 1)2＋ (y－ 1)2＝ 8.反思与感悟 方程思想主要用来分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决 .在本章中方程思想主要体现在复数相等的充要条件及点的轨迹和复数方程等问题上 .解答解 方法一 设 z＝ x＋ yi(x， y∈ R)，代入已知等式中得 2x－ (3x2＋ 3y2)i＝ 1－ 3i，达标检测1 2 3 4A.(1,3) B.(3,1)C.(－ 1,3) D.(3，－ 1)答案√解析所以它的实部为 1，虚部为 3，所以它在复平面内对应的点的坐标为 (1,3).故选 A.5答案解析1 2 3 4 52.复平面内表示复数 i(1－ 2i)的点位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限√解析 复数 i(1－ 2i)＝ 2＋ i，在复平面内对应的点的坐标是 (2,1)，位于第一象限 .故选 A.答案则 |z|＝ 1.故选 A.解析1 2 3 4 5√解答1 2 3 4 5＝ (1＋ i)2－ (－ 1)＝ 1＋ 2i.解答5.已知集合 M＝ {z||z－ 1|≤1， z∈ C}， N＝ {z||z－ 1－ i|＝ |z－ 2|， z∈ C}，集合 P＝ M∩N.(1)指出集合 P在复平面内所对应的点集表示的图形；1 2 3 4 5