1、1第二章 几个重要的不等式章末复习学习目标 1.梳理本章的重点知识，构建知识网络.2.进一步理解柯西不等式、排序不等式和贝努利不等式，并能够熟练应用.3.理解数学归纳法的基本思想，初步形成“归纳猜想证明”的思维模式1柯西不等式定理 1：对任意实数 a， b， c， d，有( a2 b2)(c2 d2)( ac bd)2.当向量( a， b)与向量(c， d)共线时，等号成立定理 2：设 a1， a2， an与 b1， b2， bn是两组实数，则有( a a a )21 2 2n(b b b )( a1b1 a2b2 anbn)2.当向量( a1， a2， an)与向量21 2 2n(b1， b
2、2， bn)共线时，等号成立即 时(规定 ai0 时， bi0)等号成a1b1 a2b2 anbn立推论：设 a1， a2， a3， b1， b2， b3是两组实数，则有( a a a )(b b b )21 2 23 21 2 23( a1b1 a2b2 a3b3)2.当向量( a1， a2， a3)与向量( b1， b2， b3)共线时等号成立2排序不等式定理 1：设 a， b 和 c， d 都是实数，如果 a b， c d，那么 ac bd ad bc.当且仅当 a b(或 c d)时取“”号定理 2：(排序不等式)设有两个有序实数组a1 a2 an及 b1 b2 bn，则(顺序和) a
3、1b1 a2b2 anbn(乱序和) 12njjj (逆序和) a1bn a2bn1 anb1.其中 j1， j2， jn是 1,2， n 的任一排列方式，上式当且仅当 a1 a2 an(或2b1 b2 bn)时取“”号3贝努利不等式对任何实数 x1 和任何正整数 n，有(1 x)n1 nx.4数学归纳法数学归纳法原理是证明关于正整数 n 的命题步骤：(1)验证当 n 取第一个值 n0(如 n01 或 2 等)时命题正确(2)假设当 n k 时( kN ， k n0)命题正确，证明当 n k1 时命题也正确.类型一 利用柯西不等式证明不等式例 1 已知 a， b， c， d 为不全相等的正数，
4、求证： .1a2 1b2 1c2 1d2 1ab 1bc 1cd 1da证明 由柯西不等式知， (1a2 1b2 1c2 1d2) 2，(1b2 1c2 1d2 1a2) (1ab 1bc 1cd 1da)于是 .1a2 1b2 1c2 1d2 1ab 1bc 1cd 1da等号成立 a b c d.1a1b1b1c1c1d1d1a ba cb dc ad又已知 a， b， c， d 不全相等，则中等号不成立即 .1a2 1b2 1c2 1d2 1ab 1bc 1cd 1da反思与感悟 利用柯西不等式证题的技巧(1)柯西不等式的一般形式为( a a a )(b b b )( a1b1 a2b2
5、 anbn)21 2 2n 21 2 2n2(ai， biR， i1,2， n)，形式简洁、美观、对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式的证明问题迎刃而解(2)利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数，并向着柯西不等式的形式进行转化，运用时要注意体会跟踪训练 1 设 a， b， c 为正数且 a b c1，求证： 2 2 2 .(a1a) (b 1b) (c 1c) 10033证明 左边 (121 21 2)13 (a 1a)2 (b 1b)2 (c 1c)2 2 2131(a 1a) 1(b 1b) 1(c 1c) 131 (1a 1b 1c) 2 (19) 2 .
6、131 a b c(1a 1b 1c) 13 1003等号成立的条件均为 a b c ，13原结论成立类型二 利用排序不等式证明不等式例 2 设 A， B， C 表示 ABC 的三个内角弧度数， a， b， c 表示其对边，求证： .aA bB cCa b c 3证明 不妨设 a b c，于是 A B C.由排序不等式，得aA bB cC aA bB cC，aA bB cC bA cB aC，aA bB cC cA aB bC.三式相加，得 3(aA bB cC)( a b c)(A B C)( a b c)，得 .aA bB cCa b c 3引申探究若本例条件不变，求证： .aA bB c
7、Ca b c 2证明 不妨设 a b c，于是 A B C.由 0 b c a,0 a b c,0 a c b，有 0 A(b c a) C(a b c) B(a c b) a(B C A) b(A C B) c(A B C) a(2 A) b(2 B) c(2 C)( a b c)2( aA bB cC)得 .aA bB cCa b c 2反思与感悟 利用排序不等式证明不等式的策略(1)在利用排序不等式证明不等式时，首先考虑构造出两个合适的有序数组，并能根据需要进行恰当地组合这需要结合题目的已知条件及待证不等式的结构特点进行合理选择4(2)根据排序不等式的特点，与多变量间的大小顺序有关的不等
8、式问题，利用排序不等式解决往往很简捷跟踪训练 2 设 a， b， c 为正数，求证： a10 b10 c10.a12bc b12ca c12ab证明 由 a， b， c 的对称性，不妨设 a b c，于是 a12 b12 c12， .1bc 1ca 1ab由排序不等式，得 .a12bc b12ca c12ab a12ab b12bc c12ca a11b b11c c11a又因为 a11 b11 c11， ，1a 1b 1c再次由排序不等式，得 .a11a b11b c11c a11b b11c c11a由得 a10 b10 c10.a12bc b12ca c12ab等号成立的条件为 a b
9、c.类型三 归纳猜想证明例 3 已知数列 an的第一项 a15 且 Sn1 an(n2， nN )(1)求 a2， a3， a4，并由此猜想 an的表达式；(2)用数学归纳法证明 an的通项公式(1)解 a2 S1 a15， a3 S2 a1 a210，a4 S3 a1 a2 a3551020，猜想 anError!(2)证明 当 n2 时， a252 22 5，公式成立假设当 n k 时成立，即 ak52 k2 (k2， kN )，当 n k1 时，由已知条件和假设，有ak1 Sk a1 a2 ak551052 k25 52 k1 .51 2k 11 2故当 n k1 时公式也成立由可知，对
10、 n2， nN 均有 an52 n2 .5所以数列 an的通项 anError!反思与感悟 利用数学归纳法解决探索型不等式的思路：观察归纳猜想证明即先通过观察部分项的特点，进行归纳，判断并猜想出一般结论，然后用数学归纳法进行证明跟踪训练 3 在数列 an， bn中， a12， b14，且 an， bn， an1 成等差数列，bn， an1 ， bn1 成等比数列( nN )(1)求 a2， a3， a4及 b2， b3， b4，并猜想 an， bn的表达式；(2)用数学归纳法证明你的猜想(1)解 由条件可得 2bn an an1 ， a bnbn1 ，2n 1则 a22 b1 a16， b2
11、9；a2b1a32 b2 a212， b3 16；a23b2a42 b3 a320， b4 25.a24b3猜想 an n(n1)， bn( n1) 2.(2)证明 当 n1 时，由 a12， b14 知，结论正确假设当 n k(k1， kN )时结论正确，即 ak k(k1)， bk( k1) 2.则当 n k1 时，ak1 2 bk ak2( k1) 2 k(k1)( k1)( k2)，bk1 ( k2) 2.a2k 1bk k 12k 22k 12即当 n k1 时结论正确由知猜想的结论正确类型四 利用柯西不等式或排序不等式求最值例 4 (1)求实数 x， y 的值，使得( y1) 2(
12、 x y3) 2(2 x y6) 2达到最小值解 由柯西不等式，得(122 21 2)(y1) 2(3 x y)2(2 x y6) 21( y1)2(3 x y)1(2 x y6) 21，即( y1) 2( x y3) 2(2 x y6) 2 ，166当且仅当 ，y 11 3 x y2 2x y 61即 x ， y 时，上式取等号故 x ， y .52 56 52 56(2)设 a1， a2， a3， a4， a5是互不相等的正整数，求 M a1 的最小值a222 a332 a442 a552解 设 b1， b2， b3， b4， b5是 a1， a2， a3， a4， a5的一个排列，且 b
13、1 b2 b3 b4 b5.因此 b11， b22， b33， b44， b55.又 1 .122 132 142 152由排序不等式，得a1 b1 a222 a332 a442 a552 b222 b332 b442 b552112 3 4 5 1 .122 132 142 152 12 13 14 15 13760即 M 的最小值为 .13760反思与感悟 利用柯西不等式或排序不等式求最值的技巧(1)有关不等式问题往往要涉及对式子或量的范围的限定，其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易(2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值时，
14、要关注等号成立的条件，不能忽略跟踪训练 4 已知正数 x， y， z 满足 x y z xyz，且不等式 恒成1x y 1y z 1z x立，求 的取值范围解 1x y 1y z 1z x 12xy 12yz 12zx12(1 zx y z 1 xx y z 1 yx y z)12 .1212 12 12( zx y z xx y z yx y z) 32故 的取值范围是 .32， )1函数 y2 的最大值为( )1 x 2x 1A. B C3D33 3答案 D7解析 y2( 1 )22 2 2x 2x 1( )21 2( )2( )2339.2 2 2x 2x 1 y3， y 的最大值为 3
15、.2设 x， y， m， n0，且 1，则 u x y 的最小值是( )mx nyA( )2 B.m n mC. D( m n)2n答案 A解析 根据柯西不等式，得 x y( x y) 2 2，(mx ny) (xmx yny) (m n)当且仅当 时，等号成立，xm yn这时 u 取最小值( )2.m n3设 a1， a2， an都是正数， b1， b2， bn是 a1， a2， an的任一排列，P a b a b a b ， Q a1 a2 an，则 P 与 Q 的大小关系是( )21 11 2 12 2n 1nA P Q B PQC P0，可知 a a a ， a a a .21 2 2
16、n 1n 1n 11由排序不等式，得a b a b a b a a a a a a ，21 11 2 12 2n 1n 21 11 2 12 2n 1n即 a b a b a b a1 a2 an.21 11 2 12 2n 1n P Q，当且仅当 a1 a2 an0 时等号成立4用数学归纳法证明“ n35 n 能被 6 整除”的过程中，当 n k1 时，对式子( k1)35( k1)应变形为_答案 k35 k3 k(k1)6解析 ( k1) 35( k1) k33 k23 k15 k5 k35 k3 k23 k6 k35 k3 k(k1)6.5用数学归纳法证明 1234 n2 (nN )，则
17、当 n k1 时，左端应在n4 n22n k 的基础上加上_8答案 ( k21)( k1) 2解析 当 n k1 时，左端123 k2( k21)( k1) 2，所以增加了( k21)( k1) 2.1对于柯西不等式要特别注意其向量形式的几何意义，从柯西不等式的几何意义出发就得到了三角形式的柯西不等式，柯西不等式的一般形式也可以写成向量形式2参数配方法是由旧知识得到的新方法，注意体会此方法的数学思想3对于排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立的条件是其中一序列为常数序列4数学归纳法是
18、用来证明和正整数有关的命题的，要特别注意归纳奠基和归纳递推是必不可少的两个步骤一、选择题1已知实数 a， b， c， d 满足 a b c d3， a22 b23 c26 d25，则 a 的最大值是( )A1B2C3D4答案 B解析 (2 b23 c26 d2) ( b c d)2，(12 13 16)即 2b23 c26 d2( b c d)2.5 a2(3 a)2.解得 1 a2.验证：当 a2 时，等号成立2已知 2x3 y4 z10，则 x2 y2 z2取到最小值时的 x， y， z 的值为( )A. ， ， B. ， ，53109 56 20293029 4029C1， D1，12
19、13 14 19答案 B解析 由柯西不等式，得(2 23 24 2)(x2 y2 z2)(2 x3 y4 z)2，9即 x2 y2 z2 .10029当且仅当 时，等号成立，x2 y3 z4联立Error!可得 x ， y ， z .2029 3029 40293已知 x， yR ，且 xy1，则 的最小值为( )(11x)(1 1y)A4B2C1D.14答案 A解析 (11x)(1 1y) 12 (1x)2 12 (1y)2 2 22 24.(11 1x1y) (1 1xy)4已知 a， b， x1， x2R ， ab1， x1 x22，则 M( ax1 bx2)(bx1 ax2)与 4 的
20、大小关系是( )A M4B M4 C M4D M4答案 C解析 M( ax1 bx2)(bx1 ax2)( )2( )2( )2( )2ax1 bx2 bx1 ax2 (x1 x2)2( x1 x2)24.ab5用数学归纳法证明对一切大于 1 的自然数 n，不等式 (113)(1 15) (1 12n 1)成立时，当 n2 时验证的不等式是( )2n 12A1 B. 13 52 (1 13)(1 15) 52C. D以上都不对(113)(1 15) 52答案 A解析 当 n2 时，2 n13,2 n15，1 .13 526用数学归纳法证明不等式 1 (nN )成立，其初始值至少应取( )12
21、14 12n 1 12764A7B8 C9D10答案 B10解析 左边1 2 ，代入验证可知 n 的最小值是 8.12 14 12n 11 12n1 12 12n 1二、填空题7设 f(n) ，用数学归纳法证明 f(n)3，在假设当 n k 时成(11n)(1 1n 1) (1 1n n)立后， f(k1)与 f(k)的关系是 f(k1) f(k)_.答案 (112k 1)(1 12k 2) kk 1解析 f(k) ，(11k)(1 1k 1) (1 1k k)f(k1) ，(11k 1)(1 1k 2) (1 1k k)(1 1k k 1) (1 1k k 2) f(k1) f(k) .(1
22、12k 1)(1 12k 2) kk 18设数列 an满足 a12， an1 2 an2，用数学归纳法证明 an42 n1 2 的第二步中，设当 n k 时结论成立，即 ak42 k1 2，那么当 n k1 时，应证明等式_成立答案 ak1 42 (k1)1 29设平面内有 n 条直线( n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用 f(n)表示这 n 条直线交点的个数，则 f(4)_；当 n4 时， f(n)_(用含 n 的式子表示)答案 5 (n2)( n1)12解析 f(3)2， f(4)5， f(5)9， f(6)14，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条
23、数 f(4) f(3)3， f(5) f(4)4， f(6) f(5)5， f(n) f(n1) n1.累加，得 f(n) f(3)34( n1) (n3)3 n 12 f(n) (n2)( n1)1210如图，矩形 OPAQ 中， a1 a2， b1 b2，则阴影部分的矩形面积之和_空白部分的矩形面积之和11答案 解析 由题图可知，阴影部分的面积等于 a1b1 a2b2，而空白部分的面积等于 a1b2 a2b1，根据顺序和逆序和可知，答案为.三、解答题11已知 f(n)(2 n7)3 n9( nN )，用数学归纳法证明 f(n)能被 36 整除证明 (1)当 n1 时， f(1)(27)39
24、36，能被 36 整除(2)假设当 n k(kN )时， f(k)(2 k7)3 k9 能被 36 整除，则当 n k1 时， f(k1)2( k1)73 k1 9(2 k7)3 k1 23 k1 9(2 k7)3k323 k1 93(2 k7)3 k92723 k1 93(2 k7)3 k918(3 k1 1)由于 3k1 1 是 2 的倍数，故 18(3k1 1)能被 36 整除，即当 n k1 时， f(k1)也能被36 整除根据(1)和(2)可知，对一切正整数 n，都有 f(n)(2 n7)3 n9 能被 36 整除12设 x1， x2， xnR ，且 x1 x2 xn1.求证： x2
25、11 x1 x21 x2 x2n1 xn.1n 1证明 ( n1) (x211 x1 x21 x2 x2n1 xn)(1 x11 x21 xn)(x211 x1 x21 x2 x2n1 xn) 2( x1 x2 xn)21，(1 x1x11 x1 1 x2x21 x2 1 xnxn1 xn) .x211 x1 x21 x2 x2n1 xn 1n 113已知 a， b， c 为正数，求证： abc.b2c2 c2a2 a2b2a b c证明 考虑到正数 a， b， c 的对称性，不妨设 a b c0，则 ， bc ca ab，1a 1b 1c由排序不等式知，顺序和乱序和，12 ，bca cab
26、abc abb bcc caa即 a b c.b2c2 c2a2 a2b2abc a， b， c 为正数，两边同乘以 ，abca b c得 abc.b2c2 c2a2 a2b2a b c四、探究与拓展14上一个 n 层的台阶，若每次可上一层或两层，设所有不同上法的总数为 f(n)，则下列猜想正确的是( )A f(n) nB f(n) f(n) f(n2)C f(n) f(n)f(n2)D f(n)Error!答案 D解析 当 n3 时， f(n)分两类，第一类，从第 n1 层再上一层，有 f(n1)种方法；第二类，从第 n2 层再一次上两层，有 f(n2)种方法，所以 f(n) f(n1) f
27、(n2)， n3.15已知 f(n)1 (nN )， g(n)2( 1)( nN )12 13 1n n 1(1)当 n1,2,3 时，分别比较 f(n)与 g(n)的大小(直接给出结论)；(2)由(1)猜想 f(n)与 g(n)的大小关系，并证明你的结论解 (1) f(1) g(1)， f(2) g(2)， f(3) g(3)(2)当 n1 时， f(1) g(1)；当 n2 时， f(2) g(2)；当 n3 时， f(3) g(3)猜想： f(n) g(n)(nN )，即 1 2( 1)( nN )12 13 1n n 1下面用数学归纳法证明当 n1 时， f(1)1， g(1)2( 1
28、)， f(1) g(1)，2不等式成立假设当 n k(k1， kN )时，不等式成立，即 1 2( 1)12 13 1k k 113则当 n k1 时， f(k1)1 2( 1) 2 12 13 1k 1k 1 k 1 1k 1 k 12，1k 1g(k1)2( 1)2 2，k 2 k 2所以只需证明 2 2 ，k 11k 1 k 2即证 2(k1)12 k32 ，k 2k 1即证(2 k3) 24( k2)( k1)，即证 4k212 k94 k212 k8，此式显然成立所以，当 n k1 时不等式也成立综上可知，对 nN ，不等式都成立，即 1 2( 1)( nN )成立12 13 1n n 1
