1、1第三章 推理与证明章末复习学习目标 1.整合本章知识要点.2.进一步理解归纳推理与类比推理的概念、思维形式、应用等.3.理解演绎推理.4.进一步熟练掌握直接证明与间接证明1归纳与类比(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理：由特殊到特殊的推理(3)合情推理：合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式2演绎推理(1)演绎推理：由一般到特殊的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提 已知的一般原理；小前提 所研究的特殊情况；结论 根据一般原理，对特殊情况作出的判断3综合法和分析法(1
2、)综合法是从已知条件推出结论的证明方法；(2)分析法是从结论追溯到条件的证明方法4反证法反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理矛盾等.类型一 合情推理2例 1 (1)观察下列等式：2 2 12；(sin 3) (sin 23) 432 2 2 2(sin 5) (sin 25) (sin 35) (sin 45) 23；432 2 2 2 34；(sin 7) (sin 27) (sin 37) (sin 67) 432 2 2 2 45；(sin 9) (sin 29) (sin 39) (sin 89) 43照此规律，2 2 2
3、 2 _.(sin 2n 1) (sin 22n 1) (sin 32n 1) (sin 2n2n 1)考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用答案 n(n1)43解析 第一个等式中 1 ，2 ；3 12 3 12第二个等式中，2 ，3 ；5 12 5 12第三个等式中，3 ，4 .7 12 7 12由此可推得第 n 个等式等于 n(n1)43 2n 1 12 2n 1 12 43(2)根据图(1)的面积关系： ，可猜想图(2)有体积关系：S PA BS PAB PAPA PBPB_.V三 棱 锥 P A B CV三 棱 锥 P ABC考点 类此推理的应用题点 平面几何与立体几何
4、之间的类比答案 PAPA PBPB PCPC解析 题干两图中，与 PAB， PA B相对应的是三棱锥 P ABC， P A B C；与3PA B两边 PA， PB相对应的是三棱锥 P A B C的三条侧棱 PA， PB， PC.与 PAB 的两条边 PA， PB 相对应的是三棱锥 P ABC 的三条侧棱 PA， PB， PC.由此，类比题图(1)的面积关系，得到题图(2)的体积关系为 .V三 棱 锥 P A B CV三 棱 锥 P ABC PAPA PBPB PCPC反思与感悟 (1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论
5、的正确与否，还要经过严格的理论证明(2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误跟踪训练 1 (1)如图所示，已知正方形 ABCD 的边长为 1，以 A 为圆心， AD 长为半径画弧，交 BA 的延长线于 P1，然后以 B 为圆心， BP1长为半径画弧，交 CB 的延长线于 P2，再以 C 为圆心， CP2长为半径画弧，交 DC 的延长线于 P3，再以 D 为圆心， DP3长为半径画弧，交 AD的延长线于 P4，再以 A 为圆心， AP4长为半径画弧，如此继续下去，画出的第 8 道弧的半径是_，画出第 n 道弧时
6、，这 n 道弧的弧长之和为_考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在图形中的应用答案 8 nn 14解析 第一道弧所在圆的半径为 1，圆心角为 90，因此弧长为 ；第二道弧所在圆的半径 2为 2，圆心角为 90，因此弧长为 ；第三道弧所在圆的半径为 3，圆心角为 90，因此弧长为 ，第 n 道弧所在圆的半径为 n，圆心角为 90，因此弧长为 .因此第 832 n2道弧的半径为 8，且各道弧的长度构成一个以 为首项， 为公差的等差数列，故所求这 n 2 2道弧的弧长之和为 n . 2 nn 12 2 nn 14(2)设 P 是 ABC 内一点， ABC 中 BC， AC， AB 边上的高分别为 hA
7、， hB， hC， P 到BC， AC， AB 三边的距离依次为 la， lb， lc，则有 1，类比到空间，设 P 是四面lahA lbhB lchC体 ABCD 内一点， A， B， C， D 四个顶点到对面的距离分别是 hA， hB， hC， hD， P 到这四个面4的距离依次是 la， lb， lc， ld，则有_考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比答案 1lahA lbhB lchC ldhD解析 易知 ，lahA13S BCDla13S BCDhA V三 棱 锥 P BCDV四 面 体 ABCD ，lbhB13S ACDlb13S ACDhB V三 棱 锥 P A
8、CDV四 面 体 ABCD ，lchC13S ABDlc13S ABDhC V三 棱 锥 P ABDV四 面 体 ABCD ，ldhD13S ABCld13S ABChD V三 棱 锥 P ABCV四 面 体 ABCD故 1.lahA lbhB lchC ldhD V三 棱 锥 P BCD V三 棱 锥 P ACD V三 棱 锥 P ABD V三 棱 锥 P ABCV四 面 体 ABCD类型二 综合法与分析法例 2 试用分析法和综合法分别推证下列命题：已知 (0，)，求证：2sin 2 .sin1 cos考点 分析法和综合法的综合应用题点 分析法和综合法的综合应用证明 分析法要证 2sin2
9、成立，sin1 cos只需证 4sin cos ，sin1 cos (0，)，sin 0，只需证 4cos ，11 cos1cos 0，4cos (1cos )1，5可变形为 4cos2 4cos 10，只需证(2cos 1) 20，显然成立综合法 4(1cos )4，11 cos当且仅当 cos ，即 时取等号，12 34cos .11 cos (0，)，sin 0，4sin cos ，sin1 cos2sin 2 .sin1 cos反思与感悟 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，
10、易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件跟踪训练 2 设 a， b 是两个正实数，且 a b，求证： a3 b3a2b ab2.考点 分析法及应用题点 分析法解决不等式问题证明 要证 a3 b3a2b ab2成立，即需证(a b)(a2 ab b2)ab(a b)成立，即需证 a2 ab b2ab 成立只需证 a22 ab b20 成立，即需证( a b)20 成立而由已知条件可知， a b，所以 a b0，所以( a b)20 显然成立即 a3 b3a2b ab2.类型三 反证法例 3 若 x， y 都是正实数，且 x y2，求证： 0
11、 且 y0，所以 1 x2 y 且 1 y2 x，两式相加，得 2 x y2 x2 y，所以 x y2.这与已知 x y2 矛盾故 2ac，即 ac0， b0，则有( )A. 2b a B. b1b 1aC b a1a 1bD. 0)考点 合情推理的综合应用题点 合情推理在函数中的应用11答案 C解析 由定义可知：“”是求两个数中的较大者，所以 A，B，D 均是恒成立的128已知 a b c0，则 ab bc ca 的值( )A大于 0 B小于 0C不小于 0 D不大于 0考点 综合法及应用题点 综合法的应用答案 D解析 因为( a b c)2 a2 b2 c22( ab bc ca)0，又因
12、为 a2 b2 c20，所以 2(ab bc ca)0，即 ab bc ca0.二、填空题9如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标 0，点(1,0)处标 1，点(1，1)处标 2，点(0，1)处标 3，点(1，1)处标4，点(1，0)处标 5，点(1,1)处标 6，点(0,1)处标 7，依此类推，则标签为 20172的格点的坐标为_考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在图形中的应用答案 (1009,1008)解析 观察已知得点(1,0)处标 1，即 12，点(2,1)处标 9，即 32，点(3,2)处标 25，即 52，由此推断点( n1， n)
13、处标(2 n1) 2.当 2n12017 时， n1008，标签为 20172的格点的坐标为(1009,1008)10已知 2 ， 3 ， 4 ， 6 ， a， b 均为正实数，2 23 23 3 38 38 4 415 415 6 ab ab由以上规律可推测出 a， b 的值，则 a b_.考点 归纳推理的应用13题点 归纳推理在数对(组)中的应用答案 41解析 由题意归纳推理得 6 ， b6 2135， a6.6 ab ab a b63541.11已知等差数列 an的首项为 8， Sn是其前 n 项和，某同学经计算得S18， S220， S336， S465，后来该同学发现了其中一个数算错
14、了，则算错的数应为_考点 题点 答案 S456解析 显然 S1是正确的假设后三个数均未算错，则 a18， a212， a316， a429，这四项不成等差数列，但可知前三项成等差数列，故 a4有误，应为 20，故 S4算错了， S4应为 56.12我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截的线段的比值为 k，那么甲的面积是乙的面积的 k 倍，可以从给出的简单图形(如图所示)中体会这个原理现在图中的曲线分别是 1 与x2a2 y2b2x2 y2 a2(a0， b0)，运用上面的原理，则该图中椭圆的面积为_考点 类比推理的应用题点 平面曲
15、线之间的类比答案 ab解析 设直线的方程为 x m( a0，则 lg ；a b2 lga lgb2(2)6 2 2.10 3考点 分析法和综合法的综合应用题点 分析法和综合法的综合应用证明 (1)当 a， b0 时，有 ，a b2 ablg lg ，a b2 ablg lg(ab) .a b2 12 lga lgb2(2)要证 2 2，6 10 3只需证( )2(2 2) 2，6 10 3即 2 2 ，这是显然成立的，60 48原不等式成立四、探究与拓展14某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，下表为10 名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.学生序号 1
16、2 3 4 5 6 7 8 9 10立定跳远(单位：米) 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.6030 秒跳绳(单位：次) 63 a 75 60 63 72 70 a1 b 65在这 10 名学生中，进入立定跳远决赛的有 8 人，同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的有 6 人，则( )A2 号学生进入 30 秒跳绳决赛B5 号学生进入 30 秒跳绳决赛15C8 号学生进入 30 秒跳绳决赛D9 号学生进入 30 秒跳绳决赛考点 题点 答案 B解析 进入立定跳远决赛的有 8 人，根据成绩应是 1 号至 8 号若 a63，则同时进入两
17、决赛的不是 6 人，不符合题意；若 61 a63，则同时进入两决赛的有 1,2,3,5,6,7 号，符合题意；若 a60，则同时进入两决赛的不是 6 人，不符合题意；若 a59，则同时进入两决赛的有 1,3,4,5,6,7 号，符合题意综上可知，5 号学生进入 30 秒跳绳决赛15已知 (0，)，试用多种方法求证：2sin 2 .sin1 cos证明 方法一 (分析法)要证明 2sin 2 成立，sin1 cos只要证明 4sin cos .sin1 cos (0，)，sin 0，只要证明 4cos .11 cos上式可变形为 4 4(1cos )11 cos (0，)，1cos 0， 4(1cos )11 cos2 4，11 cos 41 cos 当且仅当 4(1cos )，11 cos即 cos ， 时取等号12 34 4(1cos )成立，11 cos不等式 2sin 2 成立sin1 cos方法二 (综合法)16 (0，)，1cos 0. 4(1cos )11 cos2 4，11 cos 41 cos 当且仅当 4(1cos )，11 cos即 cos ， 时取等号12 34cos .11 cos (0，)，sin 0.4sin cos ，sin1 cos2sin2 .sin1 cos
