1、11 函数与方程思想、数形结合思想数学教学的最终目标，是要让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起到引领和导向作用一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数
2、，建立函数关系求解.1设 00，则 f( x)e x1， f(x)在(0，)上是增函数，且 f(0)0， f(x)0，e x1 x，即 ea1 a.又 y ax(0ae，从而 ea1 aae.2已知定义在 R 上的函数 g(x)的导函数为 g( x)，满足 g( x) g(x)1 的解集为 _gxex答案 (，0)解析 函数 g(x)的图象关于直线 x2 对称， g(0) g(4)1.设 f(x) ，则 f( x) .gxex g xex gxexex2 g x gxex又 g( x) g(x)f(0)， x2 m4 x 恒成立，则实数 x 的取值范围是_答案 (，1)(2，)解析 t ，8，
3、 f(t) .2 12， 3问题转化为 m(x2)( x2) 20 恒成立，当 x2 时，不等式不成立， x2.令 g(m) m(x2)( x2) 2， m .12， 3问题转化为 g(m)在 上恒大于 0，12， 3则Error! 即Error!解得 x2 或 x0, 设 Sn f(n)，则 f(n)为二次函数，又由 f(7) f(17)知， f(n)的图象开口向上，关于直线 n12 对称，故 Sn取最小值时 n 的值为 12.8设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S42， S63，则 nSn的最小值为_答案 9解析 由Error!解得 a12， d1，所以 Sn ，故 nSn .n
4、2 5n2 n3 5n22令 f(x) ，则 f( x) x25 x，x3 5x22 32令 f( x)0，得 x0 或 x ，103 f(x)在 上单调递减，在 上单调递增(0，103) (103， )又 n 是正整数，当 n3 时， nSn9， n4 时，4nSn8，故当 n3 时， nSn取得最小值9.三、函数与方程思想在解析几何中的应用解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率、几何量等经常要用到方程组 的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答.9以抛物线 C 的
5、顶点为圆心的圆交 C 于 A， B 两点，交 C 的准线于 D， E 两点已知|AB|4 ，| DE|2 ，则 C 的焦点到准线的距离为( )2 5A2B4C6D8答案 B解析 不妨设抛物线 C： y22 px(p0)，圆的方程设为 x2 y2 r2(r0)，如图，又可设 A(x0，2 )， D ，2 (p2， 5)点 A(x0，2 )在抛物线 y22 px 上，82 px0，2点 A(x0，2 )在圆 x2 y2 r2上， x 8 r2，2 20点 D 在圆 x2 y2 r2上，(p2， 5)5 2 r2，(p2)联立，解得 p4(负值舍去)，即 C 的焦点到准线的距离为 p4，故选 B.1
6、0如图，已知双曲线 C： 1( a0， b0)的右顶点为 A， O 为坐标原点，以 A 为圆x2a2 y2b2心的圆与双曲线 C 的一条渐近线交于 P， Q 两点，若 PAQ60，且 3 ，则双曲线 COQ OP 的离心率为( )5A. B. C. D.233 72 396 3答案 B解析 因为 PAQ60，| AP| AQ|，所以| AP| AQ| PQ|，设| AQ|2 R，又 3 ，则| OP| |PQ| R.OQ OP 12双曲线 C 的渐近线方程是 y x， A(a，0)，ba所以点 A 到直线 y x 的距离bad ，|baa 0|(ba)2 12 aba2 b2所以 2(2 R)
7、2 R2 3R2，(aba2 b2)即 a2b23 R2(a2 b2)，在 OQA 中，由余弦定理得，|OA|2| OQ|2| QA|22| OQ|QA|cos60(3 R)2(2 R)223 R2R 7 R2 a2.12由Error! 得Error!所以双曲线 C 的离心率为e .ca c2a2 a2 b2a2 1 b2a2 1 214R27R2 7211设椭圆中心在坐标原点， A(2,0)， B(0,1)是它的两个顶点，直线 y kx(k0)与 AB 相交于点 D，与椭圆相交于 E， F 两点若 6 ，则 k 的值为_ED DF 答案 或23 38解析 依题意得椭圆的方程为 y21，直线
8、AB， EF 的方程分别为x24x2 y2， y kx(k0)如图，设 D(x0， kx0)， E(x1， kx1)， F(x2， kx2)，其中 x1 .1k 14所以 k 的取值范围为 .(14， )3已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f( x1) f(x1)，当 x1,0时，f(x) x3，则关于 x 的方程 f(x)|cos x|在 上的所有实数解之和为52， 12_答案 7解析 因为函数 f(x)为偶函数，所以 f( x1) f(x1) f(x1)，所以函数 f(x)的周期为 2.又当 x1,0时， f(x) x3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数 y1 f(x)与y
9、2|cos x|的图象如图所示由图象知关于 x 的方程 f(x)|cos x|在 上的实数解有 7 个52， 12不妨设 x11 时， f(x)ln x， f( x) ，1x设切点 A 的坐标为( x1，ln x1)，则 ，lnx1 12x1 0 1x1解得 x1 ，故 kAC .e1e结合图象可得，实数 m 的取值范围是 .(12， 1e)二、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用构建函数模型，分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式.5(2018全国 )设函数 f(x)Error!则满足 f(x1) f(2x)的 x 的取值范围是( )A(，
10、1 B(0，)C(1,0) D(，0)答案 D解析 方法一 当Error!即 x1 时， f(x1) f(2x)即为 2( x1) 2 2 x，即( x1)2 x，解得 x1.因此不等式的解集为(，1当Error! 时，不等式组无解当Error! 即1 x0 时， f(x1) f(2x)即 12 2 x，解得 x0.因此不等式的解集为(1,0)当Error! 即 x0 时， f(x1)1， f(2x)1，不合题意综上，不等式 f(x1) f(2x)的解集为(，0)故选 D.方法二 f(x)Error!函数 f(x)的图象如图所示10由图可知，当 x10 且 2x0 时，函数 f(x)为减函数，
11、故 f(x1) f(2x)转化为x12 x.此时 x1.当 2x0 且 x10 时， f(2x)1， f(x1)1，满足 f(x1) f(2x)此时1 x0.综上，不等式 f(x1) f(2x)的解集为(，1(1,0)(，0)故选 D.6设 A， B 在圆 x2 y21 上运动，且| AB| ，点 P 在直线 l：3 x4 y120 上运动，3则| |的最小值为( )PA PB A3B4C. D.175 195答案 D解析 设 AB 的中点为 D，由平行四边形法则可知 2 ，PA PB PD 所以当且仅当 O， D， P 三点共线时，| |取得最小值，PA PB 此时 OP 垂直于直线 3x4
12、 y120， OP AB，因为圆心到直线的距离为 ，129 16 125|OD| ，1 34 12所以| |的最小值为 2 .PA PB (125 12) 1957若不等式| x2 a| x a1 对 xR 恒成立，则实数 a 的取值范围是_1211答案 ( ，12解析 作出 y1| x2 a|和 y2 x a1 的简图，如图所示12依题意得Error!故 a .128已知函数 f(x)Error!若存在两个不相等的实数 x1， x2，使得 f(x1) f(x2)，则实数 a的取值范围为_答案 0，)解析 根据题意知 f(x)是一个分段函数，当 x1 时，是一个开口向下的二次函数，对称轴方程为
13、 x a；当 x1 时，如图(1)所示，符合题意；当0 a1 时，如图(2)所示，符合题意；当 a0)若圆 C 上存在点P，使得 APB90，则 m 的最大值为( )A7B6C5D4答案 B解析 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心 C 的坐标为(3,4)，半径 r1，且12|AB|2 m，因为 APB90，连接 OP，可知| OP| |AB| m.12要求 m 的最大值，即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离因为| OC|5，所以|OP|max| OC| r6，即 m 的最大值为 6.10设双曲线 C： 1( a0， b0)的左、右顶点分别为 A1， A2，左、右焦点分别为x2a2
14、 y2b2F1， F2，以 F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为 P.若以 A1A2为直径的圆与直线 PF2相切，则双曲线 C 的离心率为( )A. B. C2D.2 3 5答案 D解析 如图所示，设以 A1A2为直径的圆与直线 PF2的切点为 Q，连接 OQ，则 OQ PF2.又 PF1 PF2， O 为 F1F2的中点，所以| PF1|2| OQ|2 a.又| PF2| PF1|2 a，所以| PF2|4 a.在 Rt F1PF2中，由| PF1|2| PF2|2| F1F2|2，得 4a216 a220 a24 c2，即 e .ca 511已知抛物线的方程为 x28 y， F 是其
15、焦点，点 A(2,4)，在此抛物线上求一点 P，使 APF 的周长最小，此时点 P 的坐标为_答案 ( 2，12)解析 因为(2) 21，设 a f(2)1， be f(3)1，则 a， b 的大小关系为( )A abC a b D无法确定答案 A解析 令 g(x)e xf(x)e x，14则 g( x)e xf(x) f( x)10，即 g(x)在 R 上为增函数所以 g(3)g(2)，即 e3f(3)e 3e2f(2)e 2，整理得 ef(3)1 f(2)1，即 a0， b0)的右焦点 F 作直线 y x 的垂线，垂足为 A，交双曲x2a2 y2b2 ba线左支于 B 点，若 2 ，则该双
16、曲线的离心率为( )FB FA A. B23C. D.5 7答案 C解析 设 F(c，0)，则直线 AB 的方程为 y (x c)，代入双曲线渐近线方程 y x，得ab baA .由 2 ，可得 B ，把 B 点坐标代入 1，得(a2c， abc) FB FA (2a2 c2c ， 2abc) x2a2 y2b2 1， c25 a2，离心率 e .2a2 c22a2c2 4a2c2 ca 55记实数 x1， x2， xn中最小数为 minx1， x2， xn，则定义在区间0，)上的函数 f(x)min x21， x3,13 x的最大值为( )A5B6C8D10答案 C解析 在同一坐标系中作出三
17、个函数 y x21， y x3， y13 x 的图象如图由图可知，在实数集 R 上，min x21， x3,13 x为 y x3 上 A 点下方的射线，抛物线 AB 之间的部分，线段 BC 与直线 y13 x 在点 C 下方的部分的组合体显然，在区间0，)上，在 C 点时， ymin x21， x3,13 x取得最大值解方程组Error!得点 C(5,8)所以 f(x)max8.6若关于 x 的不等式 3| x a|x2在(，0)上有解，则实数 a 的取值范围是( )A. B. C. D.(134， 3) ( 3， 134) ( ， 134) (3， )答案 A解析 3| x a|x2可化为
18、3 x2|x a|，画出 y3 x2与 y| x a|的草图如图所示，当 y x a 与 y3 x2相切时， a ；当 y a x 过点(0,3)时， a3，所以实数 a 的13416取值范围为 .(134， 3)7已知函数 f(x)Error!若不等式 f(x) mx 恒成立，则实数 m 的取值范围为( )A32 ，32 B32 ，02 2 2C32 ，0 D(，32 32 ，)2 2 2答案 C解析 函数 f(x)及 y mx 的图象如图所示，由图象可知，当 m0 时，不等式 f(x) mx 不恒成立，设过原点的直线与函数 f(x) x23 x2( x0 时能成立，令 g(x)e x(x2
19、3 x3)，则 a g(x)min，而 g( x)e x(x2 x)，由 g( x)0，可得 x(，0)(1，)，由 g( x)0， f(h)单调递增，所以当 h2 时， f(h)取得最小值 f(2) 2 212，162故 lmin 2 .12 310若函数 f(x)|2 x2| b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是_答案 (0,2)解析 由 f(x)|2 x2| b 有两个零点，可得|2 x2| b 有两个不等的实根，从而可得函数 y1|2 x2|的图象与函数 y2 b 的图象有两个交点，如图所示结合函数的图象，可得 00，12故 (x)在 上单调递增，12， )所以 (x) 0.(12) 78 e2因此 g( x)0，故 g(x)在 上单调递增，12， )则 g(x) g 12e82 ，(12) e 94所以 a 2 ，解得 a2 ，94 e 94 e所以 a 的取值集合为2 e
