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2018-2019学年高中数学 第三章 推理与证明 1.1 归纳推理学案 北师大版选修1-2.docx

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资源描述

1、11.1 归纳推理学习目标 1.了解归纳推理的含义.2.能用归纳方法进行简单的推理,体会并认识归纳推理在数学发展中的作用知识点 归纳推理思考 (1)一个人看见一群乌鸦都是黑的,于是说“天下乌鸦一般黑” ;(2)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电,猜想:一切金属都能导电以上属于什么推理?答案 属于归纳推理符合归纳推理的定义特征,即由部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理梳理 归纳推理的定义及特征定义根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个事物都有这种属性,我们将这种推理方式称为归纳推理特征 (1)归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理(2)利用归纳推理

2、得出的结论不一定是正确的1归纳推理得到的结论可作为定理应用( )2由个别到一般的推理为归纳推理( )3由归纳推理得出的结论一定是正确的( )类型一 归纳推理在数与式中的应用例 1 (1)观察下列等式:1121,(21)(22)2 213,(31)(32)(33)2 3135,2照此规律,第 n 个等式可为_(2)已知 f(x) ,设 f1(x) f(x), fn(x) fn1 (fn1 (x)(n1,且 nN ),则 f3(x)的x1 x表达式为_,猜想 fn(x)(nN )的表达式为_考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用答案 (1)( n1)( n2)( n n)2 n13

3、(2n1) (2) f3(x) fn(x)x1 4xx1 2n 1x解析 (1)观察规律可知,左边为 n 项的积,最小项和最大项依次为( n1),( n n),右边为连续奇数之积乘以 2n,则第 n 个等式为( n1)( n2)( n n)2 n13(2n1)(2) f(x) , f1(x) .x1 x x1 x又 fn(x) fn1 (fn1 (x), f2(x) f1(f1(x) ,x1 x1 x1 x x1 2xf3(x) f2(f2(x) ,x1 2x1 2 x1 2x x1 4xf4(x) f3(f3(x) ,x1 4x1 4 x1 4x x1 8xf5(x) f4(f4(x) ,x

4、1 8x1 8 x1 8x x1 16x根据前几项可以猜想 fn(x) .x1 2n 1x引申探究 在本例(2)中,若把“ fn(x) fn1 (fn1 (x)”改为“ fn(x) f(fn1 (x)”,其他条件不变,试猜想 fn(x) (nN )的表达式3解 f(x) , f1(x) .x1 x x1 x又 fn(x) f(fn1 (x), f2(x) f(f1(x) ,x1 x1 x1 x x1 2xf3(x) f(f2(x) ,x1 2x1 x1 2x x1 3xf4(x) f(f3(x) .x1 3x1 x1 3x x1 4x因此,可以猜想 fn(x) .x1 nx反思与感悟 已知等式

5、或不等式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律;(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征;(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点;(4)运用归纳推理得出一般结论跟踪训练 1 已知:1 ;1 1;1 ;1 2;.12 12 13 12 13 14 15 16 1732 12 13 115根据以上不等式的结构特点,归纳出一般性结论考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用解 12 11,32 21,72 31,152 41,猜想不等式左边最后一项的分母为2n1,而不等式右端依次分别为 , .12223242 n2归纳得一般

6、性结论:1 (nN )12 13 12n 1n2类型二 归纳推理在数列中的应用例 2 已知数列 an中, a11,且 an1 (n1,2,3,),试归纳出这个数列的通项an1 an公式考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数列中的应用4解 当 n1 时, a11,当 n2 时, a2 ,11 1 12当 n3 时, a3 ,121 12 13当 n4 时, a4 ,131 13 14,归纳得数列 an的通项公式为 an (n1,2,3,)1n反思与感悟 用归纳推理解决数列问题的方法在求数列的通项和前 n 项和公式中,经常用到归纳推理得出结论,在得出具体结论后,要注意统一形式,以便寻找规律,然后归

7、纳猜想得出结论跟踪训练 2 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形” ,则运用归纳推理得到第 11行第 2 个数(从左往右数)为( ) 1112 1213 16 1314 112 112 1415 120 130 120 15A. B. C. D.190 1110 1132 111考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数阵(表)中的应用答案 B解析 由“莱布尼兹调和三角形”中数的排列规律,我们可以推断:第 10 行的第一个数为,第 11 行的第一个数为 ,第 11 行的第 2 个数为 .110 111 110 111 11105类型三 归纳推理在图形中的应用例 3 如图(1)是一个水平摆放的

8、小正方体木块,图(2),图(3)是由(1)中的小正方体木块叠放而成的按照这样的规律摆放下去,第 7 个图形中,小正方体木块的总个数是_考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在图形中的应用答案 91解析 记第 n 个图形中木块的总数为 an,观察前三个图形中的木块数可知,a11, a21(14)156, a315(54)15915,按照题中的规律放下去,可知,第 7 个图形中小木块的总个数为 1592591.反思与感悟 归纳推理在图形中的应用策略跟踪训练 3 如图,在所给的四个选项中,能使两组图呈现一定的规律性的为( )考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在图形中的应用答案 A解析 观察第一组中的三个

9、图,可知每一个黑色方块都从右向左循环移动,每次向左移动一格,由第二组的前两个图,可知整体图形再次向左移动一格,第三个图,左边没有格的情况下,应从最右边出现,故选 A.61根据给出的数塔猜测 12345697 等于( )192111293111123941111123495111111234596111111A1111110 B1111111C1111112 D1111113考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用答案 B解析 由数塔猜测应是各位都是 1 的七位数,即 1111111.2已知 a11, a2 , a3 , a4 ,则数列 an的一个通项公式 an等于( )13 16

10、 110A. B.2n 12 22n 1C. D.2nn 1 22n 1考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数列中的应用答案 C解析 a1 , a2 , a3 , a4 ,212 223 234 245则 an .2nn 13已知 x1,由不等式 x 2; x2 3; x3 4;,可以推广为( )1x 2x 3xA xn n B xn n1nx nxC xn n1 D xn nn 1x n 1x7考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用答案 B解析 不等式左边是两项的和,第一项是 x, x2, x3,右边的数是 2,3,4,利用此规律观察所给的不等式,都是写成 xn n1 的形式

11、,从而归纳出一般性结论:nxxn n1,故选 B.nx4有一串彩旗, 代表蓝色, 代表黄色两种彩旗排成一行:,那么在前 200 个彩旗中黄旗的个数为( )A111B89C133D67考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在图形中的应用答案 D解析 观察彩旗排列规律可知,颜色的交替成周期性变化,周期为 9,每 9 个旗子中有 3 个黄旗,则 200922 余 2,则 200 个旗子中黄旗的个数为 223167.故选 D.5按照图 1、图 2、图 3 的规律,第 10 个图中圆点的个数为_考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在图形中的应用答案 40解析 图 1 中的点数为 414,图 2 中的点数为 8

12、24,图 3 中的点数为 1234,所以图 10 中的点数为 10440.1归纳推理的四个特点(1)前提:几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包括的范围(2)结论:具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验,因此,归纳推理不能作为数学证明的工具(3)步骤:先搜集一定的事实资料,有了个别性的、特殊性的事实作为前提,才能进行归纳8推理,因此归纳推理要在观察和实验的基础上进行(4)作用:具有创造性的推理,通过归纳推理能够发现新事实,获得新结论,是科学发现的重要手段2归纳推理解决问题的思维过程实验、观察分析概括猜测总结一、选择题1观察下列等式:1 3

13、2 33 2,132 33 36 2,132 33 34 310 2,根据上述规律可知,132 33 34 35 36 3等于( )A19 2B20 2C21 2D22 2考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用答案 C解析 由题意可知,1 32 33 34 35 36 3(123456) 221 2.2.观察图形规律,在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A. BC. D考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在图形中的应用答案 A解析 观察可发现规律:每行、每列中,方、圆、三角三种形状均各出现一次,每行、每列有两阴影一空白,即得结果3观察下列式子:1 0, a2 1.2同理, a

14、3 .3 2 a11, a2 1, a3 .2 3 2利用归纳推理,猜测: an , nN .n n 1四、探究与拓展14给出以下数对序列:(1,1)(1,2),(2,1)(1,3),(2,2),(3,1)(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)记第 n 行的第 m 个数对为 anm(m, nN ),如 a43(3,2),则:(1)a54_;(2) anm_.考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数阵(表)中的应用答案 (1)(4,2) (2)( m, n m1)解析 若 anm( a, b),则 a m, b n m1, a54(4,2)15某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图所示的为她们

15、刺绣的最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成的,小正方形数越多,刺绣越漂亮现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形(1)求 f(5)的值;(2)利用合情推理的“归纳推理思想” ,归纳出 f(n1)与 f(n)之间的关系式,并根据你得到的关系式求出 f(n)的表达式;(3)求 的值1f1 1f2 1 1f3 1 1fn 1考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在图形中的应用14解 (1) f(5)41.(2)f(2) f(1)441,f(3) f(2)842,f(4) f(3)1243,f(5) f(4)1644,由上述规律,得 f(n1) f(n)4 n. f(n1) f(n)4 n,f(n) f(n1)4( n1) f(n2)4( n1)4( n2) f(1)4( n1)4( n2)4( n3)42 n22 n1.(3)当 n2 时, ,1fn 1 12nn 1 12( 1n 1 1n) 1f1 1f2 1 1f3 1 1fn 11 12(11 12) 12(12 13) 12( 1n 1 1n)1 .12(1 1n) 32 12n

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