1、 第一讲 有理数的巧算 有理数运算是中学数学中一切运算的基础它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性 1括号的使用 在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单 例 1 计算： 分析 中学数学中，由于负数的引入，符号“ +”与“ -”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法
2、则，尤其是要注意去括号时符号的变化 注意 在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算 例 2 计算下式的值： 211 555+445 789+555 789+211 445 分析 直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算 解 原式 =(211 555+211 445)+(445 789+555 789) =211 (555+445)+(445+555) 789 =211 1000+1000 789 =1000 (211+789) =1 000 000 说明 加括号的一般思想方法是“分组求和
3、”，它是有理数巧算中的常用技巧 例 3 计算： S=1-2+3-4+ +(-1)n+1 n 分析 不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“ 1”或为“ -1”如果按照将第一、第二项，第三、第四项，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“ -1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法 解 S=(1-2)+(3-4)+ +(-1)n+1 n 下面需对 n 的奇偶性进行讨论： 当 n 为偶数时，上式是 n 2 个 (-1)的和，所以有 当 n 为奇数时，上式是 (n-1) 2 个 (-1)的和，再加上最后一项 (-1)n+1 n=n，所以有 例 4 在数 1， 2， 3， 1998 前添
4、符号“ +”和“ -”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？ 分析与解 因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在 1， 2， 3， 1998 之前任意添加符号“ +”或“ -”，不会改变和的奇偶性在 1， 2， 3， ， 1998 中有 1998 2 个奇数，即有 999 个奇数，所以任意添加符号“ +”或“ -”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于 1 现考虑在自然数 n， n+1， n+2， n+3 之间添加符号“ +”或“ -”，显然 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 这启发我们将 1， 2， 3， 1998 每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号
5、，即 (1-2-3+4)+(5-6-7+8)+ +(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1 所以，所求最小非负数是 1 说明 本例中， 添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化 2用字母表示数 我们先来计算 (100+2) (100-2)的值： (100+2) (100-2)=100 100-2 100+2 100-4 =1002-22 这是一个对具体数的运算，若用字母 a 代换 100，用字母 b 代换 2，上述运算过程变为 (a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2 于是我们得到了一个重要的计算公式 (a+b)(a-b)=a2-b2，
6、 这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复 公式的证明过程，可直接利用该公式计算 例 5 计算 3001 2999 的值 解 3001 2999=(3000+1)(3000-1) =30002-12=8 999 999 例 6 计算 103 97 10 009 的值 解 原式 =(100+3)(100-3)(10000+9) =(1002-9)(1002+9) =1004-92=99 999 919 例 7 计算： 分析与解 直接计算繁仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数： 12 345， 12 346， 12 347可设字母 n=12 346，那么 12 345=n-1， 1
7、2 347=n+1，于是分母变为 n2-(n-1)(n+1)应用平方差公式化简得 n2-(n2-12)=n2-n2+1=1， 即原式分母的值是 1，所以原式 =24 690 例 8 计算： (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) 分析 式子中 2， 22， 24，每一个数都是前一个数的平方，若在 (2+1)前面有一个 (2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2 了 解 原式 =(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) (216+1)(232+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) (232
8、+1) =(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)= =(232-1)(232+1) =264-1 例 9 计算： 分析 在前面的例题中，应用过公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 这个公式也可以反着使用，即 a2-b2=(a+b)(a-b) 本题就是一个例子 通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个 式子，也可使计算简化 例 10 计算： 我们用一个字母表示它以简化计算 3观察算式找规律 例 11 某班 20 名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分 87， 91， 94， 88， 93，
9、 91， 89， 87， 92， 86， 90， 92， 88， 90， 91， 86， 89， 92， 95， 88 分析与解 若直接把 20 个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在 90 上下，所以可取 90 为基准数，大于 90 的数取“正”，小于 90 的数取“负”，考察这 20 个数与 90 的差，这样会大大简化运算所以总分为 90 20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3) +2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1) +2+5+(-2) =1800-1=1799， 平均分为 90+(-1) 20=89.95 例 12 计算 1+3
10、+5+7+ +1997+1999 的值 分析 观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于 2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于 2000，于是可有如下解法 解 用字母 S 表示所求算式，即 S=1+3+5+ +1997+1999 再将 S 各项倒过来写为 S=1999+1997+1995+ +3+1 将，两式左右分别相加，得 2S=(1+1999)+(3+1997)+ +(1997+3)+(1999+1) =2000+2000+ +2000+2000(500 个 2000) =2000 500 从而有 S=500 000 说明 一般地，一列数，如果从第二项
11、开始，后项减前项的差都相等 (本题 3-1=5-3=7-5= =1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决 例 13 计算 1+5+52+53+ +599+5100 的值 分析 观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的 5 倍如果将和式各项都乘以 5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算 解 设 S=1+5+52+ +599+5100， 所以 5S=5+52+53+ +5100+5101 得 4S=5101-1， 说明 如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等 (本例中是都等于 5)，那么这
12、列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决 例 14 计算： 分析 一般情况下，分数计算是先通分本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式 来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法 解 由于 所以 说明 本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用 练习一 1计算下列各式的值 ： (1)-1+3-5+7-9+11- -1997+1999； (2)11+12-13-14+15+16-17-18+ +99+100； (3)1991 1999-1990 2000； (4)4726342+472 6352-472 633
13、 472 635-472 634 472 636； (6)1+4+7+ +244； 2某小组 20 名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分 81， 72， 77， 83， 73， 85， 92， 84， 75， 63， 76， 97， 80， 90， 76， 91， 86， 78， 74， 85 第二讲 绝对值 绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题 下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的
14、绝对值是它的相反数；零的绝对值是零即 绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值 结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数反之，相反数的绝对值相等也成立由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数 例 1 a， b 为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？ (1) a+b = a + b； (2) ab = a b； (3) a-b = b-a； (4)若 a =b，则 a=b； (5)若 a b，则 a b； (6)若 a b，则 a b 解 (1)不对当 a， b 同号或其
15、中一个为 0 时成立 (2)对 (3)对 (4)不对当 a 0 时成立 (5)不对当 b 0 时成立 (6)不对当 a b 0 时成立 例 2 设有理数 a， b， c 在数轴上的对应点如图 1-1 所示，化简 b-a + a+c + c-b 解 由图 1-1 可知， a 0， b 0， c 0，且有 c a b 0根据有理数加减运算的符号法则，有 b-a 0， a c 0， c-b 0 再根据绝对值的概念，得 b-a =a-b， a+c =-(a+c)， c-b =b-c 于是有 原式 =(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c 例 3 已知 x -3，化简： 3+
16、 2- 1+x 分析 这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号 解 原式 = 3+ 2+(1+x) (因为 1+x 0) = 3+ 3+x = 3-(3+x) (因为 3+x 0) = -x =-x 解 因为 abc 0，所以 a 0， b 0， c 0 (1)当 a， b， c 均大于零时，原式 =3； (2)当 a， b， c 均小于零时，原式 =-3； (3)当 a， b， c 中有两个大于零，一个小于零时，原式 =1； (4)当 a， b， c 中有两个小于零，一个大于零时，原式 =-1 说明 本例的解法是采取把 a， b， c 中大于零与小于零的个数分情况加
17、以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用 例 5 若 x =3， y =2，且 x-y =y-x，求 x+y 的值 解 因为 x-y 0，所以 y-x 0， y x由 x =3， y =2 可知， x 0，即 x=-3 (1)当 y=2 时， x+y=-1； (2)当 y=-2 时， x+y=-5 所以 x+y 的值为 -1 或 -5 例 6 若 a， b， c 为整数，且 a-b 19+ c-a 99=1，试计算 c-a + a-b + b-c的值 解 a， b， c 均为整数，则 a-b， c-a 也应为整数，且 a-b 19， c-a 99 为两个非负整数，和为 1，
18、所以只能是 a-b 19=0 且 c-a 99=1， 或 a-b 19=1 且 c-a 99=0 由有 a=b 且 c=a 1，于是 b-c = c-a =1；由有 c=a 且 a=b 1，于是 b-c = a-b =1无论或都有 b-c =1 且 a-b + c-a =1， 所以 c-a + a-b + b-c =2 解 依相反数的意义有 x-y+3 =- x+y-1999 因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有 x-y+3 =0 且 x+y-1999 =0即 由有 x-y=-3，由有 x+y=1999 -得 2y=2002， y=1001， 所以 例 8 化简： 3x+1 + 2x-1
19、 分析 本题是两个绝对值和 的问题解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事例如，化简 3x+1，只要考虑 3x+1 的正负，即可去掉绝对值符号这里我们 为三个部分 (如图 1 2 所示 )，即 这样我们就可以分类讨论化简了 原式 =-(3x+1)-(2x-1)=5x； 原式 =(3x+1)-(2x-1)=x+2； 原式 =(3x+1)+(2x-1)=5x 即 说明 解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法
20、” 例 9 已知 y= 2x+6 + x-1 -4 x+1，求 y 的最大值 分析 首先使用“零点分段法”将 y 化简，然后在各个取值范围内求出 y 的最大值，再加以比较，从中选出最大者 解 有三个分界点： -3， 1， -1 (1)当 x -3 时， y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1， 由于 x -3，所以 y=x-1 -4， y 的最大值是 -4 (2)当 -3 x -1 时， y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11， 由于 -3 x -1，所以 -4 5x+11 6， y 的最大值是 6 (3)当 -1 x 1 时， y=(2x+6)-(x-1)-4(
21、x+1)=-3x+3， 由于 -1 x 1，所以 0 -3x+3 6， y 的最大值是 6 (4)当 x 1 时， y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1， 由于 x 1，所以 1-x 0， y 的最大值是 0 综上可知 ，当 x=-1 时， y 取得最大值为 6 例 10 设 a b c d，求 x-a + x-b + x-c + x-d 的最小值 分析 本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦若能利用 x-a， x-b， x-c， x-d的几何意义来解题，将显得更加简捷便利 解 设 a， b， c， d， x 在数轴上的对应点分别为 A， B， C， D， X，则 x-a
22、表示线段 AX 之长，同理， x-b， x-c， x-d分别表示线段 BX， CX， DX 之长现要求 x-a， x-b， x-c， x-d之 和的值最小，就是要在数轴上找一点 X，使该点到 A， B， C， D 四点距离之和最小 因为 a b c d，所以 A， B， C， D 的排列应如图 1 3 所示： 所以当 X 在 B， C 之间时，距离和最小，这个最小值为 AD+BC，即 (d-a)+(c-b) 例 11 若 2x+ 4-5x + 1-3x +4 的值恒为常数，求 x 该满足的条件及此常数的值 分析与解 要使原式对任何数 x 恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含 x 的
23、项相加为零，即 x 的系数之和为零故本题只有 2x-5x+3x=0 一种情况因此必须有 4-5x =4-5x 且 1-3x =3x-1 故 x 应满足的条件是 此时 原式 =2x+(4-5x)-(1-3x)+4 =7 练习二 1 x 是什么实数时，下列等式成立： (1) (x-2)+(x-4) = x-2 + x-4； “.” Tel:15148119438 整理者：辛国庆 (2) (7x+6)(3x-5) =(7x+6)(3x-5) 2化简下列各式： (2) x+5 + x-7 + x+10 3若 a b 0，化简 a+b-1 - 3-a-b 4已知 y= x+3 + x-2 - 3x-9，
24、求 y 的最大值 5设 T= x-p + x-15 + x-p-15，其中 0 p 15，对于满足 p x 15 的 x 来说， T 的最小值是多少？ 6已知 a b，求 x-a + x-b的最小值 7不相等的有理数 a， b， c 在数轴上的对应点分别为 A， B， C，如果 a-b + b-c = a-c，那么 B 点应为( ) (1)在 A， C 点的右边； (2)在 A， C 点的左边； (3)在 A， C 点之间； (4)以上三种情况都有可能 第三讲 求代数式的值 用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题
25、，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧 例 1 求下列代数式的值： 分析 上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，容易出错我们可以利用已经学过的有关概念、法则，如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样 会大大提高运算的速度和结果的准确性 =0-4a3b2-a2b-5 =-4 13 (- 2)2- 12 (-2)-5 =-16+2-5=-19 (2)原式 =3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x2?3x2y-(xyz-5x2z) =3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5
26、x2z) =(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z) =2xyz-2x2z =2 (-1) 2 (-3)-2 (-1)2 (-3) =12+6=18 说明 本例中 (1)的化简是添括号，将同类项合并后，再代入求值； (2)是先去括号，然后再添括号，合并化简后，再代入求值去、添括号时，一定要注意各项符号的变化 例 2 已知 a-b=-1，求 a3+3ab-b3 的值 分析 由已知条件 a-b=-1，我们无法求出 a， b 的确定值，因此本题不能像例 1 那样，代入 a， b 的值求代数式的值下面给出本题的五种解法 解法 1 由 a-b=-1得 a=
27、b-1，代入所求代数式化简 a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3 =b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3 =-1 说明 这是用代入消元法消去 a 化简求值的 解法 2 因为 a-b=-1，所以 原式 =(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab =-1 (a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab =-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2 =-(-1)2=-1 说明 这种解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的解法 3 因为 a-b=-1，所以 原式 =a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3 =a3-3a2b+3ab2-
28、b3=(a-b)3 =(-1)3=-1 说明 这种解法巧妙地利用了 -1=a-b，并将 3ab 化为 -3ab(-1)=-3ab(a-b)，从而凑成了 (a-b)3 解法 4 因为 a-b=-1，所以 (a-b)3=(-1)3=1， 即 a3+3ab2-3a2b-b3=-1， a3-b3-3ab(a-b)=-1， 所以 a3-b3-3ab(-1)=-1， 即 a3-b3+3ab=-1 说明 这种解法是由 a-b=-1，演绎推理出所求代数式的值 解法 5 a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab =(a-b)3+3ab(a-b)+3ab =(-1)3+3ab
29、(-1)+3ab =-1 说明 这种解法是添项，凑出 (a-b)3，然后化简求值通过这个例题可以看出，求代数式的值的方法是很灵活的，需要认真思考，才能找到简便的算法在本例的各种解法中，用到了几个常用的乘法公式，现总结如下： (a+b)2=a2+2ab+b2； (a-b)2=a2-2ab+b2； (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3； (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 ； a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 解 由已知， xy=2(x+y)，代入所求代数式中，消去 xy，然后化简所以 解 因为 a=3b，所以 c=5a=5
30、 (3b)=15b 将 a， c 代入所求代数式，化简得 解 因为 (x-5)2， m都是非负数，所以由 (1)有 由 (2)得 y+1=3，所以 y=2 下面先化简所求代数式，然后再代入求值 =x2y+5m2x+10xy2 =52 2+0+10 5 22=250 例 6 如果 4a-3b=7，并且 3a+2b=19，求 14a-2b 的值 分析 此题可以用方程组求出 a， b 的值，再分别代入 14a-2b 求值下面介绍一种不必求出 a， b 的值的解法 解 14a-2b=2(7a-b) =2(4a+3a)+(-3b+2b) =2(4a-3b)+(3a+2b) =2(7+19)=52 x +
31、 x-1 + x-2 + x-3 + x-4 + x-5的值 分析 所求代数式中六个绝对值的分界点，分别为： 0， 1， 2， 据绝对值的意义去掉绝对值的符号，将有 3 个 x和 3 个 -x，这样将抵消掉 x，使求值变得容易 原式 =x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5) =-1-2+3+4+5=9 说明 实际上，本题只要 x 的值在 2 与 3 之间，那么这个代数式的值就是 9，即它与 x 具体的取值无关 例 8 若 x:y:z=3:4:7，且 2x-y+z=18，那么 x+2y-z 的值是多少？ 分析 x:y:z=3:4:7 可以写成 的形式，对于等比，我们通常可
32、以设它们的比值为常数 k，这样可以给问题的解决带来便利 x=3k， y=4k， z=7k 因为 2x-y+z=18， 所以 2 3k-4k+7k=18， 所以 k=2，所以 x=6， y=8， z=14，所以 x+2y-z=6+16-14=8 例 9 已知 x=y=11，求 (xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)的值 分析 本题是可直接代入求值的下面采用换元法，先将式子改写得较简洁，然后再求值 解 设 x+y=m， xy=n 原式 =(n-1)2+(m-2)(m-2n) =(n-1)2+m2-2m-2mn+4n =n2-2n+1+4n-2m-2mn+m2 =(n+1)2-2m(n+1
33、)+m2 =(n+1-m)2 =(11 11+1-22)2 =(121+1-22)2 =1002=10000 说明 换元法是处理较复杂的代数式的常用手法，通过换元，可以使代数式的特征更加突出，从而简化了题目的表述形式 练习三 1求下列代数式的值： (1)a4+3ab-6a2b2-3ab2+4ab+6a2b-7a2b2-2a4，其中 a=-2， b=1； 的值 3已知 a=3.5， b=-0.8，求代数式 6-5b - 3a-2b - 8b-1 的值 4已知 (a+1)2-(3a2+4ab+4b2+2)=0，求 a， b 的值 5 已知 第四讲 一元一次方程 方程是中学数学中最重要的内容最简单的
34、方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧 用等号连结两个代数式的式子叫等式如果给等式中的文字代以 任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的 如果给等式中的文字 (未知数 )代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式条件等式也称为方程使方程成立的未知数的值叫作方程的解方程的解的集合，叫作方程的解集解方程就是求出方程的解集 只含有一个未知数 (又称为一元 )，且其次数是 1 的方程叫作一元一次方程任何一个一元一次方程总可以化为ax=
35、b(a 0)的形式，这是一元一次方程的标准形式 (最简形式 ) 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母； (2)去括号； (3)移项； (4)合并同类项，化为最简形式 ax=b； (5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解 一元一次方程 ax=b 的解由 a， b 的取值来确定： (2)若 a=0，且 b=0，方程变为 0 x=0，则方程有无数多个解； (3)若 a=0，且 b 0，方程变为 0 x=b，则方程无解 例 1 解方程 解法 1 从里到外逐级去括号去小括号得 去中括号得 去大括号得 解法 2 按照分配律由外及里去括号去大括号得 化简为 去中括号得 去小括号得 例 2 已知下面
36、两个方程 3(x+2)=5x， 4x-3(a-x)=6x-7(a-x) 有相同的解，试求 a 的值 分析 本题解题思路是从方程中求出 x 的值，代入方程，求出 a 的值 解 由方程可求得 3x-5x=-6，所以 x=3由已知， x=3 也是方程的解，根据方程解 的定义，把 x=3 代入方程时，应有 4 3-3(a-3)=6 3-7(a-3)， 7(a-3)-3(a-3)=18-12， 例 3 已知方程 2(x+1)=3(x-1)的解为 a+2，求方程 22(x+3)-3(x-a)=3a 的解 解 由方程 2(x+1)=3(x-1)解得 x=5由题设知 a+2=5，所以 a=3于是有 22(x+
37、3)-3(x-3)=3 3， -2x=-21， 例 4 解关于 x 的方程 (mx-n)(m+n)=0 分析 这个方程中未知数是 x， m， n 是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论 m， n 取不同值时，方程解的情况 解 把 原方程化为 m2x+mnx-mn-n2=0， 整理得 m(m+n)x=n(m+n) 当 m+n 0，且 m=0 时，方程无解； 当 m+n=0 时，方程的解为一切实数 说明 含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三 种情况进行讨论 例 5 解方程 (a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2
38、分析 本题将方程中的括号去掉后产生 x2 项，但整理化简后，可以消去 x2，也就是说，原方程实际上仍是一个一元一次方程 解 将原方程整理化简得 (a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2， 即 (a2-b2)x=(a-b)2 (1)当 a2-b2 0 时，即 a b 时，方程有唯一解 (2)当 a2-b2=0 时，即 a=b 或 a=-b 时，若 a-b 0，即 a b，即 a=-b 时，方程无解；若 a-b=0，即 a=b，方程有无数多个解 例 6 已知 (m2-1)x2-(m+1)x+8=0 是关于 x 的一元一次方程，求代数式 199(m+x)(x-2m)+m 的值 解
39、 因为 (m2-1)x2-(m+1)x+8=0 是关于 x 的一元一次方程，所以 m2-1=0，即 m= 1 (1)当 m=1 时，方程变为 -2x+8=0，因此 x=4，代数式的值为 199(1+4)(4-2 1)+1=1991； (2)当 m=-1 时，原方程无解 所以所求代数式的值为 1991 例 7 已知关于 x 的方程 a(2x-1)=3x-2 无解，试求 a 的值 解 将原方程变形为 2ax-a=3x-2， 即 (2a-3)x=a-2 由已知该方程无解，所以 例 8 k 为何正数时，方程 k2x-k2=2kx-5k 的解是正数？ 来确定： (1)若 b=0 时，方程的解是零；反之，
40、若方程 ax=b 的解是零，则 b=0 成立 (2)若 ab 0 时，则方程的解是正数；反之，若方程 ax=b 的解是正数，则 ab 0 成立 (3)若 ab 0 时，则方程的解是负数；反之，若方程 ax=b 的解是负数，则 ab 0 成立 解 按未知数 x 整理方程得 (k2-2k)x=k2-5k 要使方程的解为正数，需要 (k2-2k)(k2-5k) 0 看不等式的左端 (k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5) 因为 k2 0，所以只要 k 5 或 k 2 时上式大于零，所以当 k 2 或 k 5 时，原方程的解是正数，所以 k 5 或 0 k 2 即为所求 例 9 若 ab
41、c=1，解方程 解 因为 abc=1，所以原 方程可变形为 化简整理为 化简整理为 说明 像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用 附加条件可使方程的求解过程大大简化 例 10 若 a， b， c 是正数，解方程 解法 1 原方程两边乘以 abc，得到方程 ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc移项、合并同类项得 abx-(a+b+c)+bcx-(a+b+c) +acx-(a+b+c)=0， 因此有 x-(a+b+c)(ab+bc+ac)=0 因为 a 0， b 0， c 0，所以 ab+bc+ac 0，所以 x-(a+b+c)=0， 即 x=a+b+c 为原方
42、程的解 解法 2 将原方程右边的 3 移到左边变为 -3，再拆为三个“ -1”，并注意到 其余两项做类似处理 设 m=a+b+c，则原方程变形为 所以 即 x-(a+b+c)=0 所以 x=a+b+c 为原方程的解 说明 注意观察，巧妙变形，是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一 例 11 设 n 为自然数， x表示不超过 x 的最大整数，解方程： 分析 要解此方程，必须先去掉 ，由于 n 是自然数，所以 n 与 (n+1) ， nx都是整数，所以 x 必是整数 解 根据 分析 ， x 必为整数，即 x=x，所以原方程化为 合并同类项得 故有 所以 x=n(n+1)为原方程的解 例 12 已
43、知关于 x 的方程 且 a 为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数 a 的最小值 解 由原方程可解得 a 最小，所以 x 应取 x=160所以 所以满足题设的自然数 a 的最小值为 2 练习四 1解下列方程： * 2解下列关于 x 的方程： (1)a2(x-2)-3a=x+1； 4当 k 取何值时，关于 x 的方程 3(x+1)=5-kx，分别有： (1)正数解； (2)负数解； (3)不大于 1 的解 第五讲 方程组的解法 二元及多元 (二元以上 )一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决所以，解方程组的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加减消
44、元两种，下面结合例题予以介绍 例 1 解方程组 解 将原方程组改写为 由方程得 x=6+4y， 代入化简得 11y-4z=-19 由得 2y+3z=4 3+ 4 得 33y+8y=-57+16， 所以 y=-1 将 y=-1 代入，得 z=2将 y=-1 代入，得 x=2所以 为原方程组的解 说明 本题解法中，由，消 x 时，采用了代 入消元法；解，组成的方程组时，若用代入法消元，无论消y，还是消 z，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程中 z 的系数是一正一负，且系数的绝对值较小，采用加减消元法较简单 解方程组消元时，是使用代入消元，还是使用加减消元，要根据方程的具体特点而定，灵活地采
45、用各种方法与技巧，使解法简捷明快 例 2 解方程组 解法 1 由，消 x 得 由，消元，得 解之得 将 y=2 代入得 x=1将 z=3 代入得 u=4所以 解法 2 由原方程组得 所以 x=5-2y=5-2(8-2z) =-11+4z=-11+4(11-2u) =33-8u=33-8(6-2x) =-15+16x， 即 x=-15+16x，解之得 x=1将 x=1 代入得 u=4将 u=4 代入得 z=3将 z=3 代入得 y=2所以 为原方程组的解 解法 3 + + +得 x+y+z+u=10， 由 -( + )得 y+u=6， 由 2-得 4y-u=4， +得 y=2以下略 说明 解法
46、2 很 好地利用了本题方程组的特点，解法简捷、流畅 例 3 解方程组 分析与解 注意到各方程中同一未知数系数的关系，可以先得到下面四个二元方程： +得 x+u=3， +得 y+v=5， +得 z+x=7， +得 u+y=9 又 + + + +得 x+y+z+u+v=15 - -得 z=7，把 z=7 代入得 x=0，把 x=0 代入得 u=3，把 u=3 代入得 y=6，把 y=6 代入得 v=-1所以 为原方程组的解 例 4 解方程组 解法 1 2+得 由得 代入得 为原方程组的解 为原方程组的解 说明 解法 1 称为整体处理法，即从整体上进行加减消元或代入消 为换元法，也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”，从而简化方程组的求解过程 例 5 已知 分析与解 一般想法是利用方程组求出 x， y， z 的值之后，代入所求的代数 式计算但本题中方程组是由三个未知数两个方程组成的，因此无法求出 x， y， z 的确定有限解，但我们可以利用加减消元法将原方程组变形 -消去 x 得 3+消去 y 得 5+ 3 消去 z 得 例 6 已知关于 x， y 的方程组 分别求出当 a 为何值时，方程组 (1)有唯一一组解； (2)无解； (3)有无穷多组解 分析 与一元一次方程一样，含有字母系数的一次方程组求 解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结为一元一次方程 ax=b 的
