1、第三章 3.2 课时作业 31 一、选择题1如图，在正三棱柱 ABCA 1B1C1 中，若 AB BB1，则 AB1 与 C1B 所成的角的大2小为( )A. 60 B. 90C. 105 D. 75解析：取 AC 中点 D，建立如图坐标系，设 ABa，则 B( a,0,0)，32C1(0， a)，A(0， ，0)，a2 22 a2B1( a,0， a)32 22cos ， 0.AB1 C1B AB C1B |AB1 |C1B |AB 1 与 C1B 所成的角为 90.答案：B 2正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E，F 分别为 AB，C 1D1 的中点，则 A1B1 与平面 A1EF夹
2、角的正弦值为( )A. B. 62 63C. D. 64 2解析：建系如图，设棱长为 1，则 A1(1,0,1)，E(1，0) ，F(0，1) ，B 1(1,1,1)12 12(0,1,0)A1B1 设平面 A1EF 的法向量 n(x，y，z)，则Error!即Error!令 y2，则Error!n(1,2,1)，cosn， ，A1B1 26 63即线面角的正弦值为 .63答案：B 3在矩形 ABCD 中，AB 1，BC ，PA平面 ABCD，PA1，则 PC 与平面2ABCD 所成角是( )A30 B45C60 D90解析：建立如右图所示的空间直角坐标系，则 P(0,0,1)， C(1， ，
3、0)， (1， ，1) ，2 PC 2平面 ABCD 的一个法向量为 n(0,0,1)，所以 cos ，nPC PC n|PC |n| ，12所以 ，n120，PC 所以斜线 PC 与平面 ABCD 的法向量所在直线所成角为 60，所以斜线 PC 与平面 ABCD 所成角为 30，故选 A.答案：A 4正方形 ABCD 所在平面外有一点 P，PA平面 ABCD.若 PAAB，则平面 PAB 与平面 PCD 的夹角为( )A30 B45C60 D90解析：建系如图，设 AB1，则 A(0,0,0)，B(0,1,0) ，P(0,0,1)，D(1,0,0)，C(1,1,0) 平面 PAB 的法向量为
4、n1(1,0,0)设平面 PCD 的法向量n2(x，y，z)，则Error!得Error!令 x1，则 z1.n 2(1,0,1)，cosn 1，n 2 .12 22平面 PAB 与平面 PCD 的夹角的余弦值为 .22此角的大小为 45.答案：B 二、填空题5在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，底面 ABCD 为边长是 1 的正方形，PA 2，则 AB 与 PC 的夹角的余弦值为_解析：因为 ( ) 1 cos451，AB PC AB PA AC AB PA AB AC 2又| | 1，| | ，AB PC 6cos ， .AB PC AB PC |AB |PC | 116 66答
5、案：666正三角形 ABC 与正三角形 BCD 所在平面垂直，则二面角 ABDC 的正弦值为_解析：取 BC 中点 O，连接 AO，DO.建立如右图所示空间直角坐标系，设 BC1，则 A(0,0， )， B(0， ，0)，D( ，0,0) 32 12 32 (0,0 ， )， (0， )， ( ，0) OA 32 BA 12 32 BD 32 12由于 (0,0 ， )为面 BCD 的法向量，可进一步求出面 ABD 的一个法向量OA 32n(1， ， 1)，3cosn， ，sinn， .OA 55 OA 255答案：25572014辽宁抚顺市四校统考 如右图所示，在棱长为 1 的正方体 ABC
6、DA 1B1C1D1 中，P 是棱 CC1 上的一点， CPm ，若直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角的正弦值为 ，则33819m_.解析：如下图，以 D 为原点， DA、DC、DD 1 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz，则 A(1,0,0)，P(0,1，m )，C(0,1,0)，D (0,0,0)，所以 (1,1，m) ，AP ( 1,1,0)，AC 又 0， 0，AC BD AC BB1 所以 是平面 BDD1B1 的一个法向量AC 设 AP 与平面 BDD1B1 所成的角为 ，则 sincos( )2 ，|AP AC |AP |AC | 22 2 m2 3
7、1938所以 m .13答案：13三、解答题8PA平面 ABC，ACBC，PAAC1，BC .求二面角 APBC 的余弦值2解：法一：如图，建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，B( ，1,0)，C(0,1,0)，2P(0,0,1)， (0,0,1)， ( ，1,0)AP AB 2设平面 PAB 的法向量为 n1( x1，y 1，z 1)，由Error!得Error!令 x11，则 n1(1， ，0)2(0，1,1)， ( ，0,0)CP CB 2设平面 PBC 的法向量为 n2 (x2，y 2，z 2)，由Error!得Error!令 z21，则 n2(0,1,1) cosn 1，n 2
8、 .n1n2|n1|n2| 232 33所求二面角为锐角，二面角 APB C 的余弦值为 .33法二：如图所示，取 PB 的中点 D，连结 CD.PA平面 ABC，PAAC.PC .PA2 AC2 2PCBC ，CDPB.2作 AEPB 于 E，那么二面角 APB C 平面角的大小就等于 与 的夹角 .DC EA PA平面 ABC，BCAC，PCBC.PB 2.PC2 BC2PD1，PE .PA2PB 12DEPD PE .12又AE ，CD1，AC 1，APABPB 32 ，AC AE ED DC 且 ， ，AE ED ED DC | |2 | |2| |2| |22| | |cos()，A
9、C AE ED DC AE DC 即 1 12 1cos，解得 cos ，34 14 32 33故二面角 APB C 的余弦值为 .339如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，MD平面 ABCD，NB平面 ABCD，且 MD NB1 ，E 为 BC 的中点(1)求异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值；(2)求直线 AM 与平面 ANE 所成的角解：(1)如图，以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Dxyz.依题意，易得 D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1) ，C (0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E( ，1,0)12 ( ，0，1)， (1,0,1) NE 12 AM cos ， ，NE AM NE AM |NE |AM | 1252 2 1010所以异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值为 .1010(2) (0,1,1)， ( ，1,0) AN AE 12设平面 ANE 的法向量为 n (x，y，z)，则Error!取 x2，则 n(2,1， 1)又 (1,0,1)，AM cos ，n ，AM 326 32则直线 AM 与平面 ANE 所成的角为 60.
