1、课时训练 20 空间向量与距离一、综合题1.若 O 为坐标原点,=(1,1,-2),=(3,2,8),=(0,1,0),则线段 AB 的中点 P 到点 C 的距离为( ).A. B.2 C. D.答案: D解析:由已知可得 A(1,1,-2),B(3,2,8).于是 P,又 C(0,1,0),故|=.2.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 3,E 为 CD 的中点,则点 D1到平面 AEC1的距离为( ).A. B. C. D.1答案: A解析:如图建立坐标系,则 D1(0,0,3),C1(0,3,3),A(3,0,0),E=(-3,3,3).设平面 AEC1的一个法向量为 n=(
2、x,y,z),则有令 y=2,则 x=1,z=-1. n=(1,2,-1).又 =(3,0,-3),点 D1到平面 AEC1的距离 d=.3.在三棱锥 P-ABC 中,PA,PB,PC 两两垂直,且 PA=1,PB=2,PC=3,则点 P 到ABC 的重心G 的距离为( ).A.2 B. C.1 D.答案: D解析:建立如图的空间直角坐标系,则 A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),G,|=.4.在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1的底面 A1B1C1D1上取一点 E,使 EAB= EAD=60,则线段 AE 的长为( ).A. B. C. D.答案: C解析:设
3、 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),E(x,y,1), cos EAB=,cos EAD=.x=y=,|=.5.已知在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为 2 的正方形,高为 4,则点 A1到截面AB1D1的距离是( ).A. B. C. D.答案: C解析:以 D 点为坐标原点,的方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系,则=(0,2,4),=(-2,0,4),设 n=(x,y,z)是截面 AB1D1的一个法向量,由取 z=1,则 n=(2,-2,1),点 A1到截面 AB1D1的距离 d=.6.点 P 为矩形 ABCD 所在平面外一点,
4、PA平面 ABCD,Q 为线段 AP 的中点,AB=3,BC=4,PA=2,则点 P 到平面 BQD 的距离为( ).A. B. C. D.答案: B解析:如图,分别以 AB,AD,AP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则 B(3,0,0),D(0,4,0),P(0,0,2),Q(0,0,1),=(3,0,-1),=(-3,4,0),=(0,0,1),设平面 BQD 的法向量 n=(x,y,z),由令 x=4,则 z=12,y=3, n=(4,3,12).点 P 到平面 BQD 的距离 d=.7.已知矩形 ABCD 中,AB=1,BC=,将矩形 ABCD 沿对角线 AC
5、折起,使平面 ABC 与平面 ACD垂直,则 B 与 D 之间的距离为 . 来源:学优来源:学优答案:解析:过 B,D 分别向 AC 作垂线,垂足分别为 M,N.则可求得 AM=,BM=,CN=,DN=,MN=1.由于,| 2=()2=|2+|2+|2+2()=+12+2(0+0+0)=,|=.8.如图,P 为矩形 ABCD 所在平面外一点,PA平面 ABCD.若已知 AB=3,AD=4,PA=1,求点P 到 BD 的距离 .解:如图所示,以 A 为原点,分别以 AB,AD,AP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系.则 P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),所以=
6、(3,0,-1),=(-3,4,0).因为,所以点 P 到 BD 的距离 d=.9.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,求平面 A1BD 与平面 B1CD1间的距离.解:如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系,则 A1(1,0,1),B(1,1,0),D1(0,0,1),=(0,1,-1),=(-1,0,-1),=(-1,0,0).设平面 A1BD 的一个法向量为 n=(x,y,z),则令 z=1,得 y=1,x=-1, n=(-1,1,1).点 D1到平面 A1BD 的距离d=.平面 A1BD 与平面 B1CD1间的距离等于点 D1到平面 A1BD 的距离,平面 A1BD
7、与平面 B1CD1间的距离为.10.如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA底面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形, BAD= ABC=90,PA=AD=2,AB=BC=1,问:在线段 PA 上是否存在一点 M,使其到平面 PCD 的距离为?若存在,试确定 M 点的位置;若不存在,请说明理由.解:如图所示,以点 A 为原点,AB,AD,AP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0),P(0,0,2),C(1,1,0),D(0,2,0),设直线 PA 上有一点 M(0,0,z0),平面 PCD 的一个法向量为 n=(x,y,z),则来源:GKSTK.Com来源:学优 gkstk令 z=1,得所以 n=(1,1,1),所以 n0=.故点 M 到平面 PCD 的距离为 d=|n0|=|2-z0|.令 d=,可解得 z0=3 或 z0=1.当 z0=3 时,M(0,0,3)在线段 AP 的延长线上,故舍去;当 z0=1 时,M(0,0,1)是线段 AP 的中点.综上可知,线段 AP 的中点到平面 PCD 的距离为.来源:学优
