1、dv2 2 2 2习题解答 习题一1-1 r 与 r 有无不同? dr 和 dr 有无不同? dv 和 dv 有 无 不 同 ?其 不 同 在 哪 里 ?d t d t d t d t试举例说明 解： （ 1） r 是位移的模， r 是位矢的模的增量，即 r r2 r1 ， r r2 r1 ； dr（2）d tdrdr是速度的模，即d tv ds . dt只 是 速 度 在 径 向 上 的 分 量 . dt有 r r r （式中 r 叫做单位矢） ，则 dr d r r r dr dr式中 就是速度径向上的分量， dtd t d t d t dr 与 d r 不同如题 1-1 图 所 示 .
2、d t d tdv dv题 1-1 图 (3)d t表示加速度的模，即 a ，dt dt 是加速度 a 在 切 向 上 的 分 量 . 有 v v(表轨道节线方向单位矢 ） ，所 以 dv dv v ddt dt dtdv式中 就 是 加 速 度 的 切 向 分 量 . dt dr d( 与 的 运 算 较 复 杂 ， 超 出 教 材 规 定 ， 故 不 予 讨 论 ) dt dt1-2 设 质 点 的 运 动 方 程 为 x = x ( t )， y = y ( t )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出 r x 2 y 2 dr d2r， 然 后 根 据 v = ， 及 a 而 求 得
3、 结 果 ； 又 有 人 先 计 算 速 度 和 加 速 度dt的分量，再合成求得结果，即 dt 2x y d2 x d2 y v = d d 及 a = 你 认 为 两 种 方 法 哪 一 种dt dt dt 2 dt 2 2 22 22 2正确？为什么？两者差别何在？ 解 ： 后 一 种 方 法 正 确 .因 为 速 度 与 加 速 度 都 是 矢 量 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 有 r xi yj ， d d d v rdt x i y jdt dt 2 2 2 a d r d x i d y j故它们的模即为 dt 2 dt 2 dt 2x y v v 2 v 2 d
4、d x y dt d 2 x dt d 2 y a ax a y dt 2 dt 2 而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作 v drdtd 2 ra dt 2dr其二，可能是将dtd 2 r dr与 误作速度与加速度的模。在 1-1 题中已说明dt 2 dt不是速度的模，而 只 是 速 度 在 径 向 上 的 分 量 ， 同 样 ， d 2 rdt 2也 不 是 加 速 度 的 模 ， 它 只 是 加 速 度 在 径 向 分 量 中 d 2 r d2 的一部分 a径 2 r 。 或者概括性地说 ， 前一种方法只考虑了位矢 r 在径 向 （即 dt dt 量
5、值） 方面随时间的变化率， 而没有考虑位矢 r 及速度 v 的方向随间的变化率对速度、 加速 度的贡献。 1-3 一 质 点 在 xOy 平面上运动，运动方程为 x =3 t +5, y = 1 t 2+3 t -4. 2式中 t 以 s计 ， x , y 以 m计 (1)以 时 间 t 为 变 量 ， 写 出 质 点 位 置 矢 量 的 表 示 式 ； (2)求 出 t =1 s 时刻和 t 2s 时 刻 的 位 置 矢 量 ， 计 算 这 1秒 内 质 点 的 位 移 ； (3)计 算 t 0 s时 刻 到 t 4s 时刻内的平均速度； (4)求出质点速度矢量表示式， 计算 t 4 s 时
6、质点的 速度； (5)计 算 t 0s 到 t 4s 内 质 点 的 平 均 加 速 度 ； (6)求 出 质 点 加 速 度 矢 量 的 表 示 式 ， 计 算 t 4s 时 质 点 的 加 速 度 (请 把 位 置 矢 量 、 位 移 、 平 均 速 度 、 瞬 时 速 度 、 平 均 加 速 度 、 瞬 时 加 速 度 都 表 示 成 直 角 坐 标 系 中 的 矢 量 式 ) 1 解： （1） r (3t 5)i (2(2)将 t 1, t 2 代入上式即有t 2 3t 4) j m r1 8i 0.5 j m 0r2 11 j 4 j m r r2 r1 3 j 4.5 j m (3
7、) r0 5 j 4 j , r4 17i 16 j v rt r4 r04 0 12i 20 j4 3i 5 j m s 1 (4) v drdt 3i (t 3) j m s1 1则 v4 3i 7 j m s (5) v0 3i 3 j , v4 3i 7 j a vt v4 v044 1 j4 m s 2 (6) a dvdt 1 j m s2 这说明该点只有 y 方向的加速度，且为恒量。 1-4 在 离 水 面 高 h米 的 岸 上 ， 有 人 用 绳 子 拉 船 靠 岸 ， 船 在 离 岸 S处 ， 如 题 1-4图 所 示 当 人 以v (m s 1 )的 速 率 收 绳 时 ，
8、 试 求 船 运 动 的 速 度 和 加 速 度 的 大 小 图 1-4 解： 设 人 到 船 之 间 绳 的 长 度 为 l ， 此 时 绳 与 水 面 成 角，由图可知 l 2 h2 s 2 将上式对时间 t 求导，得 2l dldt2s dsdt题 1-4 图 00v根据速度的定义，并注意到 l , s 是随 t 减少的， dl ds v绳 dt v0 , v船 dtds即 v船 dt l dls dt l vs 0 v0cos或 v lv0 (h2 s 2 )1 / 2 v0 船 s s将 v船 再对 t 求导，即得船的加速度 s dl l dsdva 船dt dts 22dt0 v
9、s lv 0 船 v s 2 0(s l )v 2s h 2 v 2s 2 s31-5 质点沿 x 轴运动 ， 其加速度和位置的关系为 a 2+6 x 2 ， a 的单位为 m s2 ， x 的 单 位为 m. 质 点 在 x 0处 ， 速 度 为 10 m s1 ,试 求 质 点 在 任 何 坐 标 处 的 速 度 值 解： a dvdt dv dx dx dt v dvdx分离变量： dadx (2 6x2 )dx 两边积分得 1 v 2 2x 2x3 c 2由题知， x 0 时， v0 10 , c 50 v 2 x3 x 25 m s 1 1-6 已 知 一 质 点 作 直 线 运 动
10、 ， 其 加 速 度 为 a 4+3 t m s2 ，开始运动时， x 5 m， v =0， 求 该 质 点 在 t 10s 时的速度和位置 解： a dv 4 3t dt分离变量，得 dv (4 3t)dt 3积分，得 v 4t t 22由题知， t 0 , v0 0 , c1 0 c1n故 v 4t 3 t 2 2又因为 v dx 4t 3 t 2 dt 2分离变量， dx (4t 3 t 2 )dt 22 1 3积分得 x 2t由题知 t 0 , x0 5 , c2 5 t c2 2故 x 2t 2 1 t 3 5 2所以 t 10 s 时v10 x104 10 3 102 19022
11、102 1 103 5 7052m s 1m1-7 一质 点 沿半径为 1 m 的圆周运动 ， 运动方程为 =2+3 t 3 ， 式中以弧度计 ， t 以秒计，求 ： (1) t 2 s 时 ， 质 点 的 切 向 和 法 向 加 速 度 ； (2)当 加 速 度 的 方 向 和 半 径 成 45角 时 ， 其 角 位 移 是 多 少 ? 解： ddt9t 2 , d18t dt(1) t 2 s 时， a R1182 36 m s2 a R2 1(9 22 )2 1296 m s 2 (2)当 加 速 度 方 向 与 半 径 成 45 角时，有 tan 45aan1 即 R2 R 亦即 (9
12、t 2 )2 18t 则解得 t 3 29于是角位移为 2 3t 3 2 3 2 2.679rad 42441-8 质 点 沿 半 径 为 R 的圆周按 s v t 1 bt 2 的 规 律 运 动 ， 式 中 s 为质点离圆周上某点的弧0 2长, v0 ， b 都是常量， 求： (1) t 时刻质点的加速度； (2) t 为何值时， 加速度在数值上等于 b 解 ： （ 1） v ds vdt 0 bt a dv b dtv 2 (v bt)2a 0n R R则 a a 2 a 2 b2 (v0 bt) n R 2加速度与半径的夹角为 (2)由 题 意 应 有 arctan aan Rb(v0
13、 bt)a b b2 (v0 bt)R 2即 b2 b2 (v0 bt)R 2, (v0 bt)4 0 当 t v0 时， a b b1-9 半径为 R 的轮子， 以匀速 v0 沿水平线向前滚动： (1)证明轮缘上任意点 B 的运动方程为x R (t sin t) ， y R (1 cost) ， 式 中 v0 / R 是轮子滚动的角速度，当 B 与水 平 线 接 触 的 瞬 间 开 始 计 时 此 时 B 所 在 的 位 置 为 原 点 ， 轮 子 前 进 方 向 为 x 轴 正 方 向 ； (2) 求 B 点速度和加速度的分量表示式 解：依题意作出下图，由图可知 题 1-9 图 (1) x
14、 v0 t 2R sin 2v0 t R sincos 2R(t R sin t)vvnxva dv1o21y 2R sin sin 2 2R(1 cos) R(1 cost)(2) dxv R(1 cost) dt dy R sin t)y dt 2ax Rsin t dvxdt R2 cost yy dt1-10 以 初 速 度 v0 20 m s 抛 出 一 小 球 ， 抛 出 方 向 与 水 平 面 成 幔 60的 夹 角 ， 求 ： (1)球 轨 道 最 高 点 的 曲 率 半 径 R1 ； (2)落 地 处 的 曲 率 半 径 R2 (提 示 ： 利 用 曲 率 半 径 与 法 向
15、 加 速 度 之 间 的 关 系 ) 解：设小球所作抛物线轨道如题 1-10 图 所 示 题 1-10 图 (1)在 最 高 点 ， v1 vx v0 cos 60an1 g 10 m s2又 a 1n1121 a1(20 cos 60)21010 mv1n2n2(2)在 落 地 点 ， v2 v0 20 m s , 而 a2g cos 60o 2 2 (20)2 80 man2 10 cos 601-11 飞 轮 半 径 为 0.4 m， 自 静 止 启 动 ， 其 角 加 速 度 为 = 0.2 rad s2 ，求 t 2s时 边 缘 上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度 解：当
16、 t 2 s 时 ， t 0.2 2 0.4 rad s 1 则 v R0.4 0.4 0.16 m s 1 a R2 0.4 (0.4)2 0.064 m s 2 aR0.4 0.2 0.08 m sa a 2 a 2 (0.064)2 (0.08)2 0.102 m s 2 n 1-12 如题 1-12 图 ， 物 体 A 以相对 B 的速度 v 2gy 沿斜面滑动， y 为 纵 坐 标 ， 开 始 时A 在斜面顶端高为 h 处， B 物体以 u 匀速向右运动，求 A 物滑到地面时的速度 解： 当滑至斜面底时， y h ， 则 vA 因此， A 对地的速度为 2gh , A 物运动过程中又
17、受到 B 的牵连运动影响， 题 1-12 图 vA地 u vA(u 2gh cos)i ( 2gh sin) j-1 -11-13 一 船 以 速 率 v1 30kmh 沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率 v2 40kmh沿 直 线 向 北 行 驶 ， 问 在 船 上 看 小 艇 的 速 度 为 何 ?在 艇 上 看 船 的 速 度 又 为 何 ? 解 ： (1)大 船 看 小 艇 ， 则 有 v21 v2 v1 ，依题意作速度矢量图如题 1-13 图 (a) 1题 1-13 图 由图可知 v v 2 v 2 50 km h 1 21 1 2方向北偏西 arctan v1v2arctan
18、3 36.87 4 (2)小 船 看 大 船 ， 则 有 v12 v1 v2 ，依题意作出速度矢量图如题 1-13 图 (b)， 同 上 法 ， 得 v12 50 km h方向南偏东 36.87o 1-14 当 一 轮 船 在 雨 中 航 行 时 ， 它 的 雨 篷 遮 着 篷 的 垂 直 投 影 后 2 m的 甲 板 上 ， 篷 高 4 m 但当 轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3 m ， 如 雨 滴 的 速 度 大 小 为 8 ms-1， 求 轮船的速率 解： 依 题 意 作 出 矢 量 图 如 题 1-14 所 示 题 1-14 图 v雨船 v雨 v船 v雨 v雨船 v船 由图中比例关系可知 v船 v雨 8 m s 1
