1、抑阳痈港治漱残觅磨起纪馅拾谁冈蓑泳粱杉螺泪捡丽蕉炒骸趋涯系搞屁廊大学物理矢量分析大学物理矢量分析第一章 矢量分析1.1、矢量的基本运算 (1.2学时 )1.2、矢量的通量和散度 ( 3.4学时)1.3、矢量的环量和旋度 ( 5.6学时)1.4、标量的方向导数和梯度 ( 7.8学时)返回找镇绿榷乌搜绿锁山灌梢狭册浪论维酥侨挞界稗禄姨妨盂蓟建忧拓嘘帛萎大学物理矢量分析大学物理矢量分析第 1、 2 学时1.1 矢量的基本运算1.1.1标量和矢量电磁场中遇到的绝大多数物理量, 能够容易地区分为标量( Scalar)和矢量 (Vector)。 一个仅用大小就能够完整描述的物理量称为标量, 例如, 电压、
2、温度、时间、质量、电荷等。 实际上, 所有实数都是标量。 一个有大小和方向的物理量称为矢量, 电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。例如, 矢量 A可以表示成A=aA其中, A是矢量 A的大小 ; a代表矢量 A的方向, a=A/A其大小等于 1。 返回妙鱼酪繁五吊允岸窘涉促镍庐莹快筏姬压扣邹塔祝驭障讼诚烂硝贱夯瑟嘻大学物理矢量分析大学物理矢量分析一个大小为零的矢量称为 空矢 ( Null Vector)或 零矢 (Zero Vector),一个大小为 1的矢量称为单位矢量( Unit Vector)。在直角坐标系中,用单位矢量 ax、 ay、 az表征矢量分别沿 x、 y、 z轴分量的方向。
3、 空间的一点 P(X,Y,Z)能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定,如图 1-1所示。从原点指向点 P的矢量 r称为位置矢量 (Position Vector),它在直角坐标系中表示为 r=axX+ayY+azZ 农邱擎溢践勃任捌钙况锑腮基杖俱藏涪庙漏御煽吠坚火镇扯舔跪棉妻猩口大学物理矢量分析大学物理矢量分析图 1-1 直角坐标系中一点的投影 犹于按宅乃黄铆韶湿孟深勇腺巾母党罩丘线唁怔透丘韭饼走挣枝且哑荧裙大学物理矢量分析大学物理矢量分析X、 Y、 Z是位置矢量 r在 x、 y、 z轴上的投影。 任一矢量 A在三维正交坐标系中都可以给出其三个分量。例如,在直角坐标系中,矢量 A的三
4、个分量分别是 Ax、 Ay、 Az,利用三个单位矢量 ax、 ay、 az 可以将矢量 A表示成: A=axAx+ayAy+azAz 矢量 A的大小为 A: A=(A2x+A2y+A2z)1/2 绩瞒抨稀洪凄耻矽裹弦菏海且汉咽秧就招舅懈伏涟郊柱熙鄂建罪咽舰囊俄大学物理矢量分析大学物理矢量分析1.1.2矢量的加法和减法矢量相加的平行四边形法则 ,矢量的加法的坐标分量是两矢量对应坐标分量之和,矢量加法的结果仍是矢量 真杰毯脐队郊专私凭涅壶煤氓戍措娃雄官掷瓜侥碗外渔停鲁岸拧亥缔芹拭大学物理矢量分析大学物理矢量分析1.1.3矢量的乘积矢量的乘积包括标量积和矢量积。 1) 标量积任意两个矢量 A与 B的
5、标量积(Scalar Product)是一个标量, 它等于两个矢量的大小与它们夹角的余弦之乘积,如图1-2所示, 记为AB=AB cos 图 1-2 标量积嗅妹药蕉尝若丰烹而藩接韶扯谨纷糟堂驻秆舆硕逮绒姓穆眠林焙濒卉颓毕大学物理矢量分析大学物理矢量分析 例如,直角坐 标 系中的 单 位矢量有下列 关 系式: axay=ayaz= axaz=0 axax=ayay=azaz=1 任意 两 矢量的 标 量 积 ,用矢量的三 个 分量表示为 AB=AxBx+AyBy+AzBz 标 量 积 服 从 交 换 律和分配律,即 AB=BA A(B+C)=AB+AC歹讹诵戚币阔垒秩狸里撤函戒拙构栈粉鱼命隐橡撒
6、饿移则跟壮荔散谬姆离大学物理矢量分析大学物理矢量分析2) 矢量积任意两个矢量 A与 B的矢量积( Vector Product)是一个矢量,矢量积的大小等于两个矢量的大小与它们夹角的正弦之乘积,其方向垂直于矢量 A与 B组成的平面, 如图 1-3所示,记为C=AB=anAB sin an=aAaB (右手螺旋)乾针喂帐匀备让灼邑烂秉积浮惩敏糜令激爪赊臻敝懂汉抱戴靴哇样情诽证大学物理矢量分析大学物理矢量分析图 1 - 3 矢量积的图示及右手螺旋(a) 矢量积 (b) 右手螺旋招须铲领骤凉珍学晚燎握膛翅弗民峦玄绒妓辅删吱任双葱懊罢号鲜堂推极大学物理矢量分析大学物理矢量分析矢量积又称为 叉积 (Cr
7、oss Product),如果两个不为零的矢量的叉积等于零,则这两个矢量必然相互平行,或者说,两个相互平行矢量的叉积一定等于零。矢量的叉积不服从交换律,但服从分配律,即 AB= -BA A(B+C)=AB+AC 稽满幢渭嚷纤溶腺蔼正勋凉潭音婉蕉纂宪卞傍五芜项习尸拒吕槐某贵津喷大学物理矢量分析大学物理矢量分析直角坐标系中的单位矢量有下列关系式: axay=az, ayaz=ax, azax=ayaxax=ayay=azaz= 0 在直角坐标系中, 矢量的 叉积 还可以表示为=ax(AyBz-AzBy)+ay(AzBx-AxBz)+az(AxBy-AyBx)霸麻旬苹场躬疥悯玲观匿芜欺达铆若发识劲窖
8、脓盘幢焰炭凛慎辜想傅辨宵大学物理矢量分析大学物理矢量分析矢量函数的导数与积分 矢量函数一般是 空间坐标 的函数,有时它也是 时间 的函数。在我们以后研究的有关内容中必将涉及到矢量函数随空间坐标和时间的变化率问题,既对上述变量的导数问题 苛钥倒派戒成方婆夏窗他构温磷鞋渺徽茶盒忍稀击秧次诡赁熔菏崔崎宣榷大学物理矢量分析大学物理矢量分析矢量函数的导数与积分矢量函数对空间的偏导数仍是一个 矢量 ,它的分量等于原矢量函数各分量对该坐标的 偏导数 。这一结论同样矢用于矢量函数对时间求导数。矢量函数的积分包括 不定积分 和 定积分 两种,它们和一般函数的积分在形式上类似,所以一般函数积分的基本法则对矢量函数
9、积分也适用。购钝轨椿无库士历果烬孙愤慧寿震娠咖俗氏股水欲怪详冠篷溶排诚节兑谨大学物理矢量分析大学物理矢量分析矢 量 场矢量场的矢量线矢量场中任意一点 P处的矢量可以用一个矢性函数A=A(P)来表示。当选定了直角坐标系后,它就可以写成如下形式: A=A(x, y, z) 设 Ax, Ay, Az为矢性函数 A在直角坐标系中的三个坐标分量, 且假定它们都具有一阶连续偏导数,则 A又可以表示为A=axAx(x,y,z)+ayAy(x,y,z)+azAz(x,y,z) 所谓 矢量线 是这样一些曲线:在曲线上的每一点处,场的矢量都位于该点处的切线上(如图 1-4所示),像静电场的电力线、磁场的磁力线、流
10、速场中的流线等,都是矢量线的例子。坝假蕊荤眺辉盏冷羊纠茧哥沤冒盾槐消肘翰肚缄碘烬榴糙位盯鹊颊部浆迁大学物理矢量分析大学物理矢量分析图 1 - 4 矢量线图 设 P为矢量线上任一点,其矢径为 r, 则根据矢量线的定义, 必有 Adr= 0 在直角坐标系中, 矢径 r的表达式为 r=axx+ayy+azz 矢量场的矢量线满足的微分方程为色锡轰罗贴坝室烙臆痴隐半惧库达吵乏捕固锹东贫哀旗狄裸保杠贷扔借朋大学物理矢量分析大学物理矢量分析第 3、 4 学时1.2 矢量的通量和散度1. 2.1矢量场的通量在矢量场 A中取一个面元 dS及与该面元垂直的单位矢量 n(外法向矢量,如图所示),则面元矢量表示为:
11、dS=ndS 返回矢量场的通量及散度翼劫虏计辨犁陵匣蹲咆磕钒讶春薛芭漆静望禁恭驶韧缚防捐跟梦杀韦玻讫大学物理矢量分析大学物理矢量分析由于所取的面元 dS很小 ,因此可认为在面元上各点矢量场 A的值 相同 , A与面元 dS的标量积称为矢量场A穿过 dS的 通量 记作AdS=AcosdS 因此矢量场 A穿过整个曲面 S的通量为挞风镭拼关揪挑怕胳承烁囤敷圃附映泥期凰宰习能遣乡善泄榨纪阎朴薄佐大学物理矢量分析大学物理矢量分析1.2.2. 矢量场的散度1) 散度的定义设有矢量场 A,在场中任一点 P处作一个包含 P点在内的任一闭合曲面 S, 设 S所限定的体积为 V, 当体积V以任意方式缩向 P点时,
12、 取下列极限 : 如果上式的极限存在,则称此极限为矢量场 A在点 P处的散度, 记作税肖进茶友萄驮啊错造密禾京五用抨敦丈挎棱溅厩缄徒耪炼吵娄永史独乙大学物理矢量分析大学物理矢量分析显然,其物理意义是从点 P单位体积内散发的通量。在直角坐标系中, 散度的表达式为柱井茸让康律厚底教妨站它刁钮膊拧凤聊临他乍羊停悉珐愉堆寝耗板闭淮大学物理矢量分析大学物理矢量分析 2) 哈米尔 顿 ( Hamilton)算子 为 了方便,引入一 个 矢性微分算子: 在直角坐 标 系中 称 之 为 哈米尔 顿 算子,是一 个 微分符 号 ,同 时 又要 当 作矢量看待。算子 与 矢性函 数 A的点 积为 一 标 量函 数
13、 。在直角坐 标 系中,散度的表 达 式可以 写为颂股黎剁蔚狂妙躬逞尹豁燕闺单躯漳污饭厦壬窄争存渡钓室炭泽戎奋瑟鹅大学物理矢量分析大学物理矢量分析 矢量函 数 A在 圆 柱坐 标 系和球坐 标 系中的散度表 达 式分别为虎瞅升笺尤悲姻菩肉脏记仕探啥俘酗篆湿式席蛆杉昏般班傍肺皿杰读僵碰大学物理矢量分析大学物理矢量分析 1.2.3 高斯散度定理( Divergence Theorem) 在矢量分析中, 一 个 重要的定理 为 散度定理却蜂核丫澡趁吓耳基感最上砷危妒行冷失平林砚吧凯贷鲁才樱甄柒参隧锻大学物理矢量分析大学物理矢量分析1.3 .1环量的定义设有矢量场 A, l为场中的一条封闭的有向曲线,
14、定义矢量场 A环绕闭合路径 l的线 积分为该矢量的 环量 ,记作矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样,都是描绘矢量场 A性质的重要物理量,同样都是积分量。为了知道场中每个点上旋涡源的性质,引入矢量场 旋度 的概念。第 5、 6 学时1.3 矢量的环度和旋度返回肇咋酞魁幂驶汛承熟弃可扰哮捏国英旁庙伐姑楔臃据用钦恤旱承终弘切斡大学物理矢量分析大学物理矢量分析矢量场的环量 闭合曲线方向与面元的方向示意图 无渭袒价拼到拍杯杯贿叠尉漫衍嗡尉悸免淤示钩渐酬重沫翁俯篱邮雁菱要大学物理矢量分析大学物理矢量分析1.3. 2. 矢量场的旋度 1) 旋度的定义 设 P为矢量场中的任一点,作一个包含 P点的微小面元
15、S,其周界为 l,它的正向与面元 S的法向矢量 n成右手螺旋关系 (如下图所示 )。当曲面 S在 P点处保持以 n为法矢不变的条件下,以任意方式缩向 P点,取极限另装永股蔓砾输光案窜私扯帚兴晰釉蕉群想吮涌赘侍窗腑瞬堑喇惕钩碾室大学物理矢量分析大学物理矢量分析称固定矢量 R为矢量A的 旋度 ,记作rotA=R 上式为旋度矢量在 n方向的投影,如图所示,即旋度及其投影 丑壬代远迄湍硷葡禽管衡脂淹疲葡施侍冯裔补固容茫洋告润脾耗晕禽框失大学物理矢量分析大学物理矢量分析矢量场的 旋度 仍为 矢量 。在直角坐标系中,旋度的表达式为 为 方便起 见 ,也引入算子, 则 旋度在直角坐 标 系中 为:惠恬书甚屈离尘呻舍扬雨泡缝夷橙颐性撅近干粹回任毁鸯走鳖缎处蜀愿邪大学物理矢量分析大学物理矢量分析矢量函数 A在 圆柱坐标系 和 球坐标系 中的旋度表达式分别为搐仔猪逻缕坛鸣便墓偶蜡箭狂毯悸篷蝇米蔫桑嚼馆袋氨柄拒桃旺烃订炒粳大学物理矢量分析大学物理矢量分析旋度的一个 重要性质 就是任意矢量旋度的 散度恒等于零 , 即 ( A)0 即如果有一个矢量场 B的散度等于零,则该矢量 B就可以用另一个矢量 A的旋度来表示,即当 B=0 则有B= A 因寄滤告妊蜘葬悠矣孤尊堵疽倚仍宅转畏受套哇安妻堡寸拐筑谍铁谤氢揣大学物理矢量分析大学物理矢量分析