1、第三章 3.1 课时作业 25 一、选择题1若 a、b 是平面 内的两个向量，则( )A. 内任一向量 pa b(， R )B. 若存在 ， R 使 ab0，则 0C. 若 a、b 不共线，则空间任一向量 p a b(，R)D. 若 a、b 不共线，则 内任一向量 pab( ， R)解析：当 a 与 b 共线时，A 项不正确；当 a 与 b 是相反向量，0 时，ab0，故 B 项不正确；若 a 与 b 不共线，则平面 内任意向量可以用 a，b 表示，对空间向量则不一定，故 C 项不正确， D 项正确答案：D 2已知向量 c、d 不共线，设向量 akc d，bck 2d.若 a 与 b 共线，则
2、实数 k 的值为( )A. 0 B. 1C. 1 D. 2解析：c、d 不共线，c 0，且 d0.a 与 b 共线，存在实数 ，使得 a b 成立，即 kcd(ck 2d)，整理得(k) c(1k 2)d0.Error!，解得 k1.故选 C.答案：C 3对于空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C 有 6 2 3 ，则( )OP OA OB OC A. 四点 O，A，B，C 必共面B. 四点 P，A，B，C 必共面C. 四点 O，P，B，C 必共面D. 五点 O，P，A，B ，C 必共面解析： 2( )3( )OP OA OB OP OC OP 2 3AP PB PC 向量 ， ， 共线
3、又因它们有公共点 P，且 A、B、C 三点不共线，必有AP PB PC P、A 、B 、C 共面答案：B 4在下列条件中，使 M 与 A、B、C 一定共面的是( )A. 2 OM OA OB OC B. OM 15OA 13OB 12OC C. 0MA MB MC D. 0OM OA OB OC 解析： 0， .MA MB MC MA MB MC M 与 A、B、C 必共面只有选项 C 符合答案：C 二、填空题5在空间四边形 ABCD 中，连接 AC、BD ，若BCD 是正三角形，且 E 为其中心，则 的化简结果为_AB 12BC 32DE AD 解析：如图，取 BC 的中点 F，连接 DF，
4、则 ，DF 32DE 0.AB 12BC 32DE AD AB BF DF DA AF FD DA 答案：06已知 P 和不共线三点 A，B，C 四点共面且对于空间任一点 O，都有2 ，则 _.OP OA OB OC 解析：P 与不共线三点 A，B，C 共面，且 x y z (x，y，zR )，则OP OA OB OC xyz 1 是四点共面的充要条件答案：27已知 A，B ，C 三点共线，则对空间任一点 O，存在三个不为 0 的实数 ，m，n，使 m n 0，那么 m n 的值为_ OA OB OC 解析：A，B，C 三点共线，存在唯一实数 k，使 k ，AB AC 即 k( )OB OA
5、OC OA (k1) k 0.OA OB OC 又 m n 0，OA OB OC 令 k1，m1，nk ，则 mn0.答案：0三、解答题8如右图，在空间四边形 ABCD 中，AB 的中点为 E，DC 的中点为 F，请判断 与EF 是否共线AD BC 解：设 AC 的中点为 G，连接 EG、FG .E、F 分别为 AB、CD 的中点， ， .GF 12AD EG 12BC ( )，EF EG GF 12AD BC 即 与 共线EF AD BC 9如图，正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E、F 分别为 BB1 和 A1D1 的中点证明：向量、 、 是共面向量A1B B1C EF 证明：法一： EF EB BA1 A1F 12B1B A1B 12A1D1 ( )12B1B BC A1B .12B1C A1B 由向量共面的充要条件知， 、 、 是共面向量A1B B1C EF 法二：连结 A1D、BD，取 A1D 中点 G，连结 FG、BG ，则有 FG 綊 DD1，12BE 綊 DD1，12FG 綊 BE.四边形 BEFG 为平行四边形EFBG .EF平面 A1BD.同理，B 1CA 1D，B 1C平面 A1BD， 、 、 都与平面 A1BD 平行A1B B1C EF 、 、 共面A1B B1C EF
