1、第三章测评 B(高考体验卷)(时间:90 分钟 满分:100 分)第 卷( 选择题 共 50 分)一、选择题(本大题共 10 小题 ,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2014广东高考 )已知向量 a=(1,0,-1),则下列向量中与 a 成 60夹角的是( )A.(-1,1,0) B.(1,-1,0)C.(0,-1,1) D.(-1,0,1)解析:对于 A 中的向量 a1=(-1,1,0),cos=-,a1 与 a 的夹角为 120,不合题意;对于 B 中的向量 a2=(1,-1,0),cos=,a2 与 a 的夹角为 60,符合题意;对
2、于 C 中的向量 a3=(0,-1,1),cos=-,a3 与 a 的夹角为 120,不合题意;对于 D 中的向量 a4=(-1,0,1),cos=-1,a4 与 a 的夹角为 180,不合题意,故选 B.答案:B来源:学优高考网 gkstk2.(2014广东高考 )已知向量 a=(1,2),b=(3,1),则 b-a=( )A.(-2,1) B.(2,-1)C.(2,0) D.(4,3)解析:由题意得 b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1),故选 B.答案:B3.(2015吉林模拟 )已知向量 m,n 分别是直线 l 和平面 的方向向量、法向量,若 cos=-,则 l 与 所成的角为(
3、 )A.30 B.60 C.120 D.150解析:设 l 与 所成的角为 ,则 sin =|cos|=,故 =30.答案:A4.(2014云南昆明模拟 )如图,正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直,AB=,AF=1,M 在 EF 上,且 AM平面 BDE.则 M 点的坐标为( )A.(1,1,1) B.C. D.解析:设 AC 与 BD 相交于 O 点,连接 OE,由 AM平面 BDE,且 AM平面 ACEF,平面 ACEF平面BDE=OE, AM EO.又 O 是正方形 ABCD 对角线交点, M 为线段 EF 的中点.在空间坐标系中,E(0,0,1), F(,1),由中点
4、坐标公式,知点 M 的坐标.答案:C5.(2012陕西高考 )如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为( )来源:gkstk.ComA. B.C. D.解析:不妨设 CB=1,则 B(0,0,1),A(2,0,0),C1(0,2,0),B1(0,2,1). =(0,2,-1),=(-2,2,1).cos=,即 A1B 与 B1C 夹角为 .答案:13.(2015辽宁大连模拟 )设点 C(2a+1,a+1,2)在点 P(2,0,0),A(1,-3,2),B(8,-1,4)确定的平面上,则 a= . 解析:=(
5、-1,-3,2),=(6,-1,4).根据共面向量定理,设=x+y(x,y R),则(2a-1,a+1,2)=x(-1,-3,2) +y(6,-1,4)=(-x+6y,-3x-y,2x+4y),解得 x=-7,y=4,a=16.答案:1614.(2013云南玉溪一中月考 )设动点 P 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的对角线 BD1 上,记=.当APC 为钝角时,则 的取值范围是 . 解析:由已知建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),则= (1,1,-1),=(,-),=(1,0,-1),=(0,1,-1
6、).故= (1-,-,-1),=(-,-,)+(0,1,-1)=(-,1-,-1).显然APC 不是平角,由APC 为钝角,得|=. 直线 AD 与平面 BCD 所成角的大小为 90-45=45.答案:45三、解答题(本大题共 4 小题 ,共 25 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(6 分)(2015天津高考)如图,在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,侧棱 A1A底面ABCD,ABAC,AB=1,AC=AA 1=2,AD=CD=,且点 M 和 N 分别为 B1C 和 D1D 的中点.(1)求证:MN平面 ABCD;(2)求二面角 D1-AC-B1 的正弦值 ;来源:g
7、kstk.Com(3)设 E 为棱 A1B1 上的点,若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为 ,求线段 A1E 的长.解:如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系,依题意可得 A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D1(1,-2,2).又因为 M,N 分别为 B1C 和 D1D 的中点,得 M,N(1,-2,1).(1)证明:依题意,可得 n=(0,0,1)为平面 ABCD 的一个法向量.由此可得n =0,又因为直线 MN平面 ABCD,所以 MN平面 ABCD.(2)=(1,-2,2),=
8、(2,0,0).设 n1=(x1,y1,z1)为平面 ACD1 的法向量,则不妨设 z1=1,可得 n1=(0,1,1).设 n2=(x2,y2,z2)为平面 ACB1 的法向量,则又= (0,1,2),得不妨设 z2=1,可得 n2=(0,-2,1).因此有 cos=-,于是 sin=.所以,二面角 D1-AC-B1 的正弦值为.(3)依题意,可设=,其中 0,1,则 E(0,2),从而= (-1,+2,1).又 n=(0,0,1)为平面 ABCD 的一个法向量,由已知,得 cos=,整理得 2+4-3=0,又因为 0,1,解得 =-2.所以,线段 A1E 的长为- 2.17.(6 分)(2
9、015山东高考)如图,在三棱台 DEF-ABC 中,AB=2DE,G,H 分别为 AC,BC 的中点.(1)求证:BD 平面 FGH;(2)若 CF平面 ABC,ABBC,CF=DE,BAC=45,求平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角(锐角)的大小.(1)证法一:连接 DG,CD,设 CDGF=O,连接 OH.在三棱台 DEF-ABC 中,AB=2DE,G 为 AC 的中点,可得 DFGC,DF=GC,所以四边形 DFCG 为平行四边形.则 O 为 CD 的中点,又 H 为 BC 的中点,所以 OHBD,又 OH平面 FGH,BD平面 FGH,所以 BD平面 FGH.证法二:在三棱台 D
10、EF-ABC 中,由 BC=2EF,H 为 BC 的中点,可得 BHEF,BH=EF,所以四边形 BHFE 为平行四边形.可得 BEHF.在ABC 中,G 为 AC 的中点,H 为 BC 的中点,所以 GHAB.又 GHHF=H,所以平面 FGH平面 ABED.因为 BD平面 ABED,所以 BD平面 FGH.(2)解法一:设 AB=2,则 CF=1.在三棱台 DEF-ABC 中,G 为 AC 的中点,由 DF=AC=GC,可得四边形 DGCF 为平行四边形,因此 DGFC.又 FC平面 ABC,所以 DG平面 ABC.在ABC 中,由 ABBC,BAC=45,G 是 AC 中点,所以 AB=
11、BC,GBGC ,因此 GB,GC,GD 两两垂直.以 G 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 G-xyz.所以 G(0,0,0),B(,0,0),C(0,0),D(0,0,1).可得 H,F(0,1),故= (0,1).来源 :学优高考网 gkstk设 n=(x,y,z)是平面 FGH 的一个法向量,则由可得可得平面 FGH 的一个法向量 n=(1,-1,).因为是平面 ACFD 的一个法向量 ,=(,0,0),所以 cos=.所以平面 FGH 与平面 ACFD 所成角(锐角)的大小为 60.解法二:作 HM AC 于点 M,作 MNGF 于点 N,连接 NH.由 FC平面 ABC,得
12、 HMFC,又 FCAC=C,所以 HM平面 ACFD.因此 GFNH,所以MNH 即为所求的角.在BGC 中,MHBG,MH=BG=,由GNMGCF,可得,从而 MN=.由 HM 平面 ACFD,MN平面 ACFD,得 HMMN,因此 tanMNH=,所以MNH=60 .所以平面 FGH 与平面 ACFD 所成角(锐角)的大小为 60.18.(6 分)(2015浙江高考)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BAC=90,AB=AC=2,A 1A=4,A1 在底面 ABC 的射影为BC 的中点,D 是 B1C1 的中点.(1)证明:A 1D平面 A1BC;(2)求二面角 A1-BD-B1
13、 的平面角的余弦值 .(1)证明:设 E 为 BC 的中点,由题意得 A1E平面 ABC,所以 A1EAE.因为 AB=AC,所以 AEBC.故 AE 平面 A1BC.由 D,E 分别为 B1C1,BC 的中点,得 DEB 1B 且 DE=B1B,从而 DEA 1A 且 DE=A1A,所以 A1AED 为平行四边形 .故 A1DAE.又因为 AE平面 A1BC,所以 A1D平面 A1BC.(2)解:方法一:作 A1FBD 且 A1FBD=F,连接 B1F.由 AE=EB=,A 1EA=A 1EB=90,得 A1B=A1A=4.由 A1D=B1D,A1B=B1B,得A 1DB 与B 1DB 全等
14、.由 A1F BD,得 B1FBD,因此 A1FB1 为二面角 A1-BD-B1 的平面角 .由 A1D=,A1B=4,DA 1B=90,得 BD=3,A1F=B1F=,由余弦定理得 cosA 1FB1=-.方法二:以 CB 的中点 E 为原点,分别以射线 EA,EB 为 x,y 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 E-xyz,如图所示.由题意知各点坐标如下:A 1(0,0,),B(0,0),D(-,0,),B1(-).因此=(0,-),=(-,-),=(0,0).设平面 A1BD 的法向量为 m=(x1,y1,z1),平面 B1BD 的法向量为 n=(x2,y2,z2).由可取 m=(0,1).
15、由可取 n=(,0,1).于是|cos|=.由题意可知,所求二面角的平面角是钝角,故二面角 A1-BD-B1 的平面角的余弦值为-.19.(7 分)(2015北京高考)如图,在四棱锥 A-EFCB 中,AEF 为等边三角形,平面 AEF平面EFCB,EFBC,BC=4,EF=2a,EBC=FCB=60,O 为 EF 的中点 .(1)求证:AO BE;(2)求二面角 F-AE-B 的余弦值;(3)若 BE平面 AOC,求 a 的值.解:(1)因为AEF 是等边三角形,O 为 EF 的中点,所以 AOEF.又因为平面 AEF平面 EFCB,AO平面 AEF,所以 AO平面 EFCB,所以 AOBE
16、.(2)取 BC 中点 G,连接 OG.由题设知 EFCB 是等腰梯形,所以 OGEF.由(1)知 AO平面 EFCB,又 OG平面 EFCB,所以 OAOG.如图建立空间直角坐标系 O -xyz,则 E(a,0,0),A(0,0,a),B(2,(2-a),0),=(-a,0,a),=(a-2,(a-2),0).设平面 AEB 的法向量为 n=(x,y,z),则令 z=1,则 x=,y=-1.于是 n=(,-1,1).平面 AEF 的法向量为 p=(0,1,0).所以 cos =-.由题知二面角 F-AE-B 为钝角,所以它的余弦值为-.(3)因为 BE平面 AOC,所以 BEOC ,即= 0.因为=( a-2,(a-2),0),=(-2,(2-a),0),所以=-2(a-2)-3(a- 2)2.由= 0 及 0a2,解得 a=.
