1、3.3 导数的应用3.3.1 利用导数判断函数的单调性1.函数 y=x+ln x 的单调递增区间为( )A.(0,+) B.(-,-1),(1,+)C.(-1,0) D.(-1,1)解析:函数 y=x+ln x 的定义域为(0,+) .令 f(x)=1+ 0,得 x0.答案:A2.设 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),则 f(x)为增函数的一个充分条件是( )A.b2-4ac0 B.b0,c0C.b=0,c0 D.b2-3ac0解析:f(x) =3ax2+2bx+c,又 a0,所以当 b=0,c0 时,f(x )0 恒成立.答案:C3.若函数 y=f(x)的导函数在区间a,b上是增函
2、数,则函数 y=f(x)在区间a, b上的图象可能是( )解析:因为导函数 f(x)是增函数 ,所以切线的斜率随着切点横坐标的增大逐渐增大.而 B 图中切线斜率逐渐减小,C 图中 f(x)为常数,D 图中切线斜率先增大后减小.答案:A4.如果函数 f(x)=2x3+ax2+1 在区间(-,0)和(2,+) 内单调递增,在区间(0,2)内单调递减,则 a 的值为( )A.1 B.2 C.-6 D.-12解析:f(x) =6x2+2ax,令 6x2+2ax0 时,解得- 0,f(x)在此区间上是增函数 ;在( -1,0)上,f( x)0,f(x)在此区间上是增函数.结合所给选项知应选 C.答案:C
3、6.函数 y=x3+x2-5x-5 的单调递增区间是 . 解析:令 y=3x2+2x-50,得 x1.答案: ,(1,+)7.若 f(x)=ax3+x 恰有三个单调区间, 则实数 a 的取值范围是 . 解析:因为 f(x)=ax3+x 恰有三个单调区间,所以 f(x)=0 有两个不相等的实数根,即 3ax2+1=0 有两个不相等的实数根,所以 =-12a0,所以 a0.所以 y0,即函数 y=xsin x+cos x 在 上是增函数.10.设函数 f(x)=ax- -2ln x.(1)若 f(2)=0,求 f(x)的单调区间 ;(2)若 f(x)在定义域上是增函数 ,求实数 a 的取值范围.解:(1) 因为 f(x)的定义域为(0,+),f(2)=0,且 f(x)=a+ ,所以 a+ -1=0,所以 a= .所以 f(x)= (2x2-5x+2),由 f(x)0 结合 x0,得 02;由 f(x)0,得 0 恒成立,因为 f(x)=a+ ,所以需 x0 时 ax2-2x+a0 恒成立.化为 a 对 x0 恒成立.因为 1,当且仅当 x=1 时取等号,所以 a1.
