1、北京市人大附中 2012 届高三数学尖子生专题训练：点、直线、平面之间的位置关系I 卷一、选择题1已知 l、 m表示直线， 、 、 表示平面，则下列命题中不正确的是（ ）A若 ,l则 B若 ,/l则 C若 则 D若 ,m则 【答案】D2设 P 表示一个点， a、 b 表示两条直线， 、 表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是( ) P a， P a a b P， b a a b， a ， P b， P b b， P ， P P bA BC D【答案】D3已知平面 平面 ， l，点 A ， Al，直线 AB l，直线 AC l，直线m ， m ，则下列四种位置关系中，不一定成立的是(
2、)A AB m B AC mC AB D AC 【答案】D4已知 m 是平面 的一条斜线，点 A ， l 为过点 A 的一条动直线，那么下列情形可能出现的是( )A l m， l B l m， l C l m， l D l m， l 【答案】C5已知直线 ,n平面 ,，给出下列命题：若 且 则 ;若 ,/m且 ,/则 /若 n且 则 ;若 ,/且 ,/则 ./其中正确的命题是（ ） .A .B .C .D【答案】A6下列命题中错误的是( )A如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 B如果平面 垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C如果平面 平面 ，平面 平面 ，
3、l，那么 l平面 D如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 【答案】D7 点 P 在直线 a上，直线 在平面 内可记为 ( )AP a， BP a， CP a， DP a， 【答案】A8下列命题中不正确的是 ( ）A若 lBblAlb则， ,B若 a c， ，则 aC若 ， ， ，则 D若一直线上有两点在已知平面外，则直线上所有点在平面外【答案】D9设 m， n是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，给出一列四个命题：若 ,/，则 n；若 ， ， ,则 m；若 ,/mn，则 /；若 ， ，则 .其中正确命题的序号是A和 B和 C和 D和【答案】A10 已 知 a， b 是 两
4、 条 不 重 合 的 直 线 ， ， 是 两 个 不 重 合 的 平 面 ,下 列 命 题 中 正 确 的 是 （ ）A /， /，则 /a B a， ， ， b，则 /C ， /，则 D当 ，且 时，若 ，则 a b【答案】C11已知三条直线 a,b,c 和平面 ，则下列推论中正确的是（ ）A若 a/b,b,则 a/B /，b/ ，则 a/bC若 a,b/,共面，则 /bD ac,b，则 a/b【答案】C12若 a、 b 是空间两条不同的直线， 、 是空间的两个不同的平面，则 a 的一个充分条件是( )A a ， B a ， C a b， b D a ， 【答案】DII 卷二、填空题13 三
5、个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成_个部分【答案】714 若 l为一条直线， 、 为三个互不重合的平面，给出下面三个命题： ， ； /,； ,/； l， . 其中正确的命题有 .（填写序号）【答案】15在空间中，有如下命题：互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；若平面 平面 ，则平面 内任意一条直线 m平面 ；若平面 与平面 的交线为 m，平面 内的直线 n直线 m，则直线 n平面 ；若平面 内的三点 A， B， C 到平面 的距离相等，则 .其中正确命题的个数为_【答案】116如图 132，四面体 OABC 的三条棱 OA， OB， OC 两
6、两垂直， OA OB2， OC3， D 为四面体OABC 外一点给出下列命题图 132不存在点 D，使四面体 ABCD 有三个面是直角三角形；不存在点 D，使四面体 ABCD 是正三棱锥；存在点 D，使 CD 与 AB 垂直并且相等；存在无数个点 D，使点 O 在四面体 ABCD 的外接球面上其中真命题的序号是_【答案】17在图中， G、 H、 M、 N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH、 MN 是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)【答案】18 在各个面都是正三角形的四面体 PABC 中， D， E， F 分别是 AB， BC， CA 的中点，下面四个结论中成立的
7、是_(填序号) BC平面 PDF； DF平面 PAE；平面 PDF平面 ABC；平面 PAE平面 ABC.【答案】三、解答题19如图，在空间四边形 ABDP 中， AD ， AB ， AB AD， PD ，且 PD AD AB， E 为AP 中点(1)请在 BAD 的平分线上找一点 C，使得 PC平面 EDB；(2)求证： ED平面 EAB.【答案】(1)设 BAD 的平分线交 BD 于 O，延长 AO，并在平分线上截取 AO OC，则点 C 即为所求的点证明：连接 EO、 PC，则 EO 为 PAC 的中位线，所以 PC EO，而 EO平面 EDB，且 PC平面 EDB， PC平面 EDB.
8、(2) PD AD， E 是边 AP 的中点， DE PA又 PD (平面 ABD)， PD AB，由已知 AD AB， AB平面 PAD，而 DE平面 PAD， AB DE由及 AB PA A 得 DE平面 EAB.20一个多面体的直观图及三视图如图所示：(其中 M、 N 分别是 AF、 BC 的中点)(1)求证： MN平面 CDEF；(2)求多面体 A CDEF 的体积【答案】由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱 ADE BCF，且 AB BC BF2， DE CF2 ， CBF 2 2(1)证明：取 BF 的中点 G，连结 MG、 NG，由 M、 N 分别为 AF、 BC
9、的中点可得， NG CF， MG EF，平面 MNG平面 CDEF，又 MN平面 MNG， MN平面 CDEF.(2)取 DE 的中点 H. AD AE， AH DE，在直三棱柱 ADE BCF 中，平面 ADE平面 CDEF，平面 ADE平面 CDEF DE. AH平面 CDEF.多面体 A CDEF 是以 AH 为高，以矩形 CDEF 为底面的棱锥，在 ADE 中， AH 2S 矩形 CDEF DEEF4 ，2棱锥 A CDEF 的体积为V S 矩形 CDEFAH 4 13 13 2 2 8321如图，在四面体 ABOC 中， OC OA， OC OB， AOB120，且 OA OB OC
10、1.(1)设 P 为 AC 的中点，证明：在 AB 上存在一点 Q，使 PQ OA，并计算 的值ABAQ(2)求二面角 O AC B 的平面角的余弦值【答案】解法一：(1)证明：在平面 OAB 内作 ON OA 交 AB 于 N，连结 NC.又 OA OC， OA平面 ONC. NC平面 ONC， OA NC.取 Q 为 AN 的中点，则 PQ NC. PQ OA.在等腰 AOB 中， AOB120， OAB OBA30.在 Rt AON 中， OAN30. ON AN AQ.12在 ONB 中， NOB1209030 NBO， NB ON AQ. 3.ABAQ(2)连结 PN、 PO.由 O
11、C OA， OC OB 知： OC平面 OAB.又 ON平面 OAB， OC ON.又由 ON OA 知： ON平面 AOC. OP 是 NP 在平面 AOC 内的射影在等腰 Rt COA 中， P 为 AC 的中点， AC OP.根据三垂线定理，知： AC NP. OPN 为二面角 O AC B 的平面角在等腰 Rt COA 中， OC OA1， OP 22在 Rt AON 中， ON OAtan30 33在 Rt PON 中，PN ，OP2 ON2306cos OPN POPN22306 155解法二：(1)证明：取 O 为坐标原点，分别以 OA， OC 所在的直线为 x 轴， z 轴，建
12、立空间直角坐标系 O xyz(如图所示)则 A(1,0,0)， C(0,0,1)， B( ， ，0)12 32 P 为 AC 中点， P( ，0， )12 12设 ( (0,1)，( ， ，0)，32 32(1,0,0) ( ， ，0)(1 ， ，0)32 32 32 32( ， ， )12 32 32 12 PQ OA，0，即 0， 12 32 13存在点 Q( ， ，0)使得 PQ OA 且 3.12 36 ABAQ(2)记平面 ABC 的法向量为 n( n1， n2， n3)，则由 n， n，且(1,0，1)，得Error! 故可取 n(1， ，1) 3又平面 OAC 的法向量为 e(0
13、,1,0)，cos n， e (1， r(3)， 1)(0， 1， 0)51 35二面角 O AC B 的平面角是锐角，记为 ，则 cos 15522如图，已知长方体 1DCBA底面 为正方形， E为线段 1AD的中点，F为线段 1BD的中点. (）求证： E平面 AC；(）设 1M为 线 段 的中点，当 1D的比值为多少时， 1,DFMB平 面 并说明理由.FEBD 1AMCB1C1A1D【答案】 （I） E为线段 1A的中点， F为线段 1BD的中点， EF AB, ,FCDC平 面 平 面面 B. (II）当 12A时， 1.FMB平 面 1.CDB是 正 方 形 ，平 面 1.DAC
14、1A平 面.F ,FM分 别 是 中 点 ， M .F 12,D 1.DB矩形 1B为正方形， 为 B的中点， F 1,F 1.平 面23如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AC BC，点 D 是 AB 的中点(1)求证： CD平面 A1ABB1；(2)求证： AC1平面 CDB1.【答案】(1) ABC A1B1C1是直三棱柱，平面 ABC平面 A1ABB1， AC BC，点 D 是 AB 的中点， CD AB，平面 ABC平面 A1ABB1 AB， CD平面 A1ABB1.(2)连接 BC1，设 BC1与 B1C 的交点为 E，连接 DE，则 E 为 BC1的中点 D 是 AB 的
15、中点， E 是 BC1的中点， DE AC1. DE平面 CDB1， AC1平面 CDB1， AC1平面 CDB1.24如图所示，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AB BB1 BC， AC1平面 A1BD， D 为 AC 的中点(1)求证： B1C平面 A1BD；(2)求证： B1C1平面 ABB1A1；(3)在 CC1上是否存在一点 E，使得 BA1E45，若存在，试确定 E 的位置，并判断平面 A1BD与平面 BDE 是否垂直？若不存在，请说明理由【答案】(1)连结 AB1与 A1B 相交于 M，则 M 为 A1B 的中点连结 MD，又 D 为 AC 的中点， B1C MD，又 B1
16、C平面 A1BD， MD平面 A1BD， B1C平面 A1BD.(2) AB B1B，平行四边形 ABB1A1为正方形， A1B AB1.又 AC1平面 A1BD， AC1 A1B， A1B平面 AB1C1， A1B B1C1.又在直三棱柱 ABC A1B1C1中， BB1 B1C1， B1C1平面 ABB1A1.(3)设 AB a， CE x， B1C1 A1B1，在 Rt A1B1C1中有 A1C1 a，同理 A1B1 a，2 2 C1E a x， A1E ， BE ，2a2 (a x)2 x2 3a2 2ax a2 x2在 A1BE 中，由余弦定理得BE2 A1B2 A1E22 A1BA
17、1Ecos45，即a2 x22 a2 x23 a22 ax2 a ，2 3a2 x2 2ax22 2 a x，3a2 x2 2ax x a，即 E 是 C1C 的中点，12 D、 E 分别为 AC、 C1C 的中点， DE AC1. AC1平面 A1BD， DE平面 A1BD.又 DE平面 BDE，平面 A1BD平面 BDE.25已知四棱锥 P ABCD 的直观图和三视图如图所示， E 是 PB 的中点(1)求三棱锥 C PBD 的体积；(2)若 F 是 BC 上任一点，求证： AE PF；(3)边 PC 上是否存在一点 M，使 DM平面 EAC，并说明理由【答案】(1)由该四棱锥的三视图可知
18、，四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 2 和 1 的矩形，侧棱PA平面 ABCD，且 PA2， VC PBD VP BCD 122 13 12 23(2)证明： BC AB， BC PA， AB PA A. BC平面 PAB， BC AE，又在 PAB 中， PA AB， E 是 PB 的中点， AE PB.又 BC PB B， AE平面 PBC，且 PF平面 PBC， AE PF.(3)存在点 M，可以使 DM平面 EAC.连结 BD，设 AC BD O，连结 EO.在 PBD 中， EO 是中位线 PD EO，又 EO平面 EAC， PD平面 EAC， PD平面 EAC，当点 M 与点
19、P 重合时，可以使 DM平面 EAC.26如图(1)所示，在直角梯形 ABCP 中， BC AP， AB BC， CD AP， AD DC PD2. E， F， G分别为线段 PC， PD， BC 的中点，现将 PDC 折起，使平面 PDC平面 ABCD(图(2)(1)求证： AP平面 EFG；(2)在线段 PB 上确定一点 Q，使 PC平面 ADQ，试给出证明【答案】(1)证明 E、 F 分别是 PC， PD 的中点， EF CD AB.又 EF平面 PAB， AB平面 PAB， EF平面 PAB.同理： EG平面 PAB.平面 EFG平面 PAB.又 AP平面 PAB， AP平面 EFG.(2)解 取 PB 的中点 Q，连结 AQ， QD，则 PC平面 ADQ.证明如下：连结 DE， EQ， E、 Q 分别是 PC、 PB 的中点， EQ BC AD.平面 PDC平面 ABCD， PD DC， PD平面 ABCD. PD AD，又 AD DC， AD平面 PDC. AD PC.在 PDC 中， PD CD， E 是 PC 的中点 DE PC， PC平面 ADEQ，即 PC平面 ADQ.
