1、1,主 要 内 容：,1、复数项级数及其敛散性,2、幂级数,3、泰勒级数,4、洛朗级数,第四章 级 数,2,1、 复数列的极限,1 复数项级数,定义1,不收敛的数列称为发散数列.,3,定理1,证明,4,5,2、 复数项级数,级数前n项的和,-级数的部分和,-无穷级数,定义2,设复数列,6,根据复数项级数收敛的定义，我们有,定理2,由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为两个实数项级数的收敛问题.,7,常见实级数敛散性判别法：,1）比较法；2）比值法；3）根值法；,4）交错级数的莱布尼兹判别法.,注意：定理3的逆命题不成立！,注意经常应用定理3的逆否命题！,性质,8,定理4,证明,定理5,由不等式
2、*，我们得到,9,定义4,10,解,例2,11,12,2 幂级数,1、 函数项级数,定义1,设复变函数列：,-称为复变函数项级数；,级数前n项的和,-级数的部分和；,13,2、 幂级数,定义2,的函数项级数称为幂级数.,14,关于幂级数的收敛性问题，我们有著名的阿贝尔定理：,定理1 (-Abel定理）,15,级数皆收敛且绝对收敛.,级数皆发散.,16,证明,17,(2)用反证法，,对于幂级数（1），请写出相应的阿贝尔定理.,18,3、幂级数的收敛圆与收敛半径,由Abel定理，幂级数（3）的收敛情况不外乎 下述三种情况：,(1)对所有的z，级数(3)都收敛.,(2 )仅在z=0处级数(3)收敛.
3、 这时， 级数(3)在复 平面上除z=0外处处发散.,19,显然， .,否则，级数(3)将在处发散.,20,21,幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散， 在圆周上可能收敛可能发散.,请分析幂级数(2)的收敛范围.,如何求幂级数的收敛半径呢?我们先讨论下面的一个定理:,22,23,24,例1,解,所以,25,综上,思考题:,提示:本题不能直接利用定理3（为什么？）.,26,例2 求下列幂级数的收敛半径：,解 (1),27,28,4、幂级数的性质,定理4,-幂级数的逐项求导运算,实际上，幂级数在收敛圆内可以逐项求导至任意阶导数.,29,-幂级数的逐项积分运算,注：定理4为今后将函数展开成幂级数提供了极大的方便.,30,5、 幂级数的运算,与实幂级数一样，复幂级数也可以进行代数运算.,-幂级数的加、减运算,则,31,-幂级数的乘法运算,（即用第一个幂级数的每一项乘第二个级数，然后合并同次幂系数.）,注：上面的运算在两个级数中的较小的收敛圆内成立. 但这并不意味着运算后级数的收敛半径就是上面两个级数中的较小一个收敛半径.,32,-幂级数的代换(复合)运算,在函数展 成幂级数中 很有用.,例3,解：注意到,33,所以,34,本讲小结,1、级数收敛的定义和性质,2、Abel定理,3、幂级数的收敛半径,4、幂级数的性质,
